Approximation

[sailx]

Bonsoir à tous.
Alors voilà, dans un énoncer de physique, ils "rapelle" une approximation :
pour x trés petit devant 1
Et, je me demande d'où y sorte cette formules...
J'avai penser à utiliser les limites (comme pour demontrer qu'on à lorsque est trés petit mais ça m'a mener nul part ...
quelqu'un aurait une demostration de cette approximation ?
Merci encore
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[invite1237a629]

Plop,

Tu peux utiliser le développement de (le machin de Newton, avec les combinaisons )

Et ensuite, x^2 est très négligeable devant x, puisque x est très pitit (on peut le voir en faisant x/x^2 = 1/x et comme x tend vers 0 (idem que x très pitit), ça tend vers l'infini, donc x est >> x^2). Pareil pour x^3 et toutes les autres puissances de x...

Dans l'absolu, on peut dire que ça s'apparente à un développement limité, mais tu ne dois pas encore connaître



(explication made in molette, donc si tu veux t'en servir, ce serait plus comme une piste dans la démonstration )

[sailx]

Merci d'avoir répondu.
Alors j'ai fait des recherche sur le binôme de Newton (je ne l'ai pas encore vu)

(Merci Wiki )

Mais c'est pour
et, justement j'utilise la formule pour
et c'est pas un entier relatif... (en faite, si j'ai tout compris ça marche pour )
Ensuite, peut être que je ne sais pas manier le binôme de newton. Mais l'histoire de n entier naturel m'apparait comme problématique. nan ?

[invite1237a629]

http://forums.futura-sciences.com/thread191867.html

C'est généralisable à tout réel =)

Et je viens de m'apercevoir que je m'en suis déjà servie -__-

[A voir en vidéo sur Futura]

[sailx]

Bon alors, si j'ai tout suivis, on à :

et où l'on à :
donc, je remplace par les valeurs qui m'intéressent:


on peut donc simplifier à :


après, heu comment on utilise le coefficient binomial (j'ai vu que ça s'appelait comme ça) pour développer la somme ? parce que ça va me donner beaucoup beaucoup de coefficient et un bazar indescriptible.
En faite, à partir de là, je sais plus comment aller. Je pense qu'il faut enelever la parenthèse du coefficient binomial. Mais comment ?

[invite1237a629]

Ben justement, visualise la somme.

(en fait, 1 et x sont intervertibles, donc tu te retrouves avec des x^k)

Tu prends les premiers termes, avec ton alpha = 1/2

Pour k=0, tu as 1
Pour k=1, tu as 1/2*x
Pour k=2, tu as qqch *x^2
Etc, tu auras des puissances croissantes de x, qui, comme on est au voisinage de 0, seront négligeables devant x.

'fin euh... je pense que quelqu'un de meilleur pourra mieux t'expliquer

[Gwyddon]

Bon en attendant de plancher sur ce que propose la molette qui te guide ( ), je te donne une autre solution.

Tu as dit

J'avai penser à utiliser les limites (comme pour demontrer qu'on a lorsque est trés petit mais ça m'a mener nul part ...

donc je suppose que tu sais que cela revient à montrer que



On va faire pareil ici, en plus subtil ; montre-moi que



Note : je suis étonné que tu connaisse les développements limités, et pas le binôme de Newton

[sailx]

Alors, Oui, c'était à ça que je pensait avec les sinus.
pour la limite, on à :



Alors, pour la suite, je pose :

et
Donc on peut écrire la limite comme ceci :

ce qui nous donne :

or,
et

On à donc bien


en bidouillant, on à :
pour x trés petit
pour x trés petit
Voilà ça y'est !!!. Merci beaucoup Gwyddon.

Et heu, je ne sais absolument pas ce qu'est un développement limité... Donc à les connaitre...

[Gwyddon]

Non mais en fait effectivement ce n'est pas un DL (on m'a soufflé dans l'oreille que je faisais ma patate ) donc normal que tu ne connaisses pas.

En fait ce que tu connais c'est ce que l'on appelle les équivalents et la définition est celle que je t'ai rappelée

[Gwyddon]

Sinon sailx le truc que tu as avec le binôme c'est justement l'étape d'après l'équivalent, c'est ce que l'on appelle un développement en série entière ; tu noteras que c'est une vraie égalité (pour |x|<1)

Pour tes besoins, tu n'as que les termes k=0 et k=1 à calculer, tu vérifies que tu retombes bien sur la formule du début pour l'équivalent.

[sailx]

Alors, je suis aller sur le lien wikipédia. j'ai pas tout tout compris. Mais je vais regarder un peu plus en detail.
Pour la formule machin chouette (j'sais pas comment l'appeller) avec le binôme de Newton, j'ai remarqué que on devait avoir x/y|<1 .


Or, ce n'était pas le cas dans mon exemple. ( x << 1 )
Donc, j'aurai du écrire ceci :

aprés, on à
Donc on peut écrire ceci :

Mais aprés, je ne comprend pas. Pourquoi je n'ai que besoin de calculer pour k=0 et k=1 ?
Mais ça marche comme tu l'a dit, on à :


Mais, je comprend pas pourquoi on ne doit prendre que k=0 et k=1
Au fait merci encore.

[invite1237a629]

Je ne pourrai répondre qu'à la question "Mais, je comprend pas pourquoi on ne doit prendre que k=0 et k=1"

C'est parce que la formule donnée est la valeur exacte. Or, toi tu veux une approximation. Et quand x est < 1, x^n est négligeable devant x (et 1). Donc tu peux prendre autant de termes qui t'intéressent pour l'approximation et "négliger" les autres

[sailx]

d'accord. Mais dans ce cas, on n'a pas autant de rigueur qu'en utilisant les limites ... ? parce que on néglige des termes. (en faite, ça me gène un peu, de négliger des termes)

Donc, si j'ai compris, plus on veut un nombre de chiffres significatif important, plus on va augmenter le "nombre" de k (on va jusqu'à k= n pour avoir une approximation n fois précise)

J'ai vu (grâce au lien Wikipédia) que c'est comme ça qu'on calculait pas mal de valeurs approché. C'est fantastique (je trouve que ça à dire)
Merci mille fois à tout les deux. J'ai compris ce que je voulait et j'en ai appris pas mal en plus.

[invite1237a629]

Mais dans ce cas, on n'a pas autant de rigueur qu'en utilisant les limites ... ? parce que on néglige des termes. (en faite, ça me gène un peu, de négliger des termes)

C'est comme une limite
Si tu mets en facteur x, tu te retrouveras avec 1/x+a + qqch facteur de x.
Or x négligeable devant 1

Donc, si j'ai compris, plus on veut un nombre de chiffres significatif important, plus on va augmenter le "nombre" de k (on va jusqu'à k= n pour avoir une approximation n fois précise)

Exactement !

Enfin pas "chiffres significatifs", mais plutôt "précision".

C'est comme dans toute limite, il y a une certaine imprécision qui peut faire rager les plus maniaques d'entres tous.

Mais de rien pour les explications (j'suppose que le guidon dira la même chose )...je les trouve un peu tronquées, d'autant plus qu'à ton niveau, on ne voit pas forcément cela, mais on fait avec les moyens du bord

[Gwyddon]

Mais de rien pour les explications (j'suppose que le guidon dira la même chose )...je les trouve un peu tronquées, d'autant plus qu'à ton niveau, on ne voit pas forcément cela, mais on fait avec les moyens du bord

Il est d'accord le guidon, et aussi d'accord pour la suite du message