[TS Spé Maths] Réciproque Identité Bezout

[inviteb42601b7]

Bonjour à tous,

Notre professeur de Spé Maths nous a donné un DM qui commence par un exercice assez surprenant :

"Soit .
Une "sorte de réciproque" du théorème 2 du cours ( On a pas de Théorème 2 ... ) : Supposons que et et qu'il existe tels que .
Démontrer que ."

Je bloque pas mal dessus, la plupars de mes camarades aussi. C'est assez embêtant car :
- C'est le premier exercice
- Qu'en cours on a dit que la réciproque n'était vrai que pour PGCD = 1.

En passant en revue Google, j'ai bien trouvé sur différents sites et même sur ce forum que la réciproque n'était pas vérifiée.


Une idée pour résoudre cet exercice ?

Merci,

RaSk
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[invite57a1e779]

Bonjour à tous,

Notre professeur de Spé Maths nous a donné un DM qui commence par un exercice assez surprenant :

"Soit .
Une "sorte de réciproque" du théorème 2 du cours ( On a pas de Théorème 2 ... ) : Supposons que et et qu'il existe tels que .
Démontrer que ."

Je bloque pas mal dessus, la plupars de mes camarades aussi. C'est assez embêtant car :
- C'est le premier exercice
- Qu'en cours on a dit que la réciproque n'était vrai que pour PGCD = 1.

En passant en revue Google, j'ai bien trouvé sur différents sites et même sur ce forum que la réciproque n'était pas vérifiée.


Une idée pour résoudre cet exercice ?

Merci,

RaSk

Si divise et , peux-tu comparer et au sens de la divisibilité ?

[inviteb42601b7]

Si divise et , peux-tu comparer et au sens de la divisibilité ?

J'ai du mal à voir à quoi ça peut aboutir

[invitea250c65c]

Salut !

C'est vrai la réciproque n'est vraie que dans le cas ou d=1. Mais ici on n'est pas exactement dans le cas réciproque de Bezout : en effet, on a bien au+bv=d mais on a également d qui divise a et b.
Donc d divise a et b, essaye de traduire ca mathématiquement, et puis de voir ce que ca peut donner au niveau de ton égalité (au+bv=d). Tu peux en déduire une info qui te permettra de conclure.

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb42601b7]

Merci de vos conseils, j'ai persevéré un peu plus. J'arrive au résultat mais je sais pas si mon raisonnement est vraiment logique ou couvenable.

Voici ce que j'ai fait :



On peut diviser par d l'équation de départ :
et premiers entre eux
Donc :




J'espère que c'est juste car il me reste une grosse partie du DM

[invite57a1e779]

Merci de vos conseils, j'ai persevéré un peu plus. J'arrive au résultat mais je sais pas si mon raisonnement est vraiment logique ou couvenable.

Voici ce que j'ai fait :



On peut diviser par d l'équation de départ :
et premiers entre eux
Donc :




J'espère que c'est juste car il me reste une grosse partie du DM

C'est correct.

Je te proposais : si divise et , il divise , d'où le pgcd...

[inviteb42601b7]

Merci beaucoup.

Je risque d'avoir d'autres problèmes sur le DM, je rearrange le premier message en fonction de mes besoins, ou je créé un autre topic ?

[invite1237a629]

Plop,

Tu ne peux pas modifier ton premier message après 5 minutes. Si c'est dans la continuité du dm, tu peux toujours poster ici

Concernant la démonstration, tu peux te souvenir (pour maintenant ou plus tard) que si d divise d' et d' divise d, alors d = d'

[inviteb42601b7]

Ca y est tout le DM est presque en place, il me manque quelques trucs.

En voici une partie :
"Soit
Montrer à l'aide du théorème de Bezout, que PGCD, puis que PGCD.
En déduire que : PGCD si, et seulement si, PGCD."


J'arrive à le démontrer avec l'ensemble des diviseurs ( Les diviseurs de sont les diviseurs de mais à la puissance 2 donc ça ne change rien au seul dénominateur commun qui est un. ), mais en passant par Bezout je patoge un peu.

Une piste ? [ Voir une solution vu l'heure ]

[inviteb42601b7]

* appel au secours discret d'un matheux en retard dont les neurones s'endorment de façon exponentielle avec les secondes *

[invitea9351d88]

tu n'as pas oublié de mettre une relation entre a et b dans l'énoncé?

[invite57a1e779]

* appel au secours discret d'un matheux en retard dont les neurones s'endorment de façon exponentielle avec les secondes *

Si et sont premiers entre eux, il existe et dans tels que .
Mézalor , et en reportant : .
Finalement, on a : et sont premiers entre eux.
Et tu recommences pour passer à et .

[invitec053041c]

Ou 2ème méthode (même genre) :

au+bv=1

On met tout au carré:

(au+bv)²=1
(au)²+(bv)²+2aubv=a[au²+2ubv]+b²[v²]=1

[invite35452583]

Juste un détail :

Je remplacerais volontiers {1;d} par D(d).