Dérivée et flux

[gts2]

Bonjour,

Question d'un physicien aux mathématiciens :
Les physiciens notent les flux comme des dérivées, par exemple dQ/dt la puissance thermique dans laquelle dQ est l'énergie traversant une surface pendant dt, il n'y a pas de fonction Q(t), on a aussi dq/dt le courant électrique dans un fil pour laquelle il n'y a pas non plus de fonction q(t).
Quel est le statut mathématique de ces flux ? Quelle notations utiliser pour distinguer d'une dérivée ...
J'ai un livre de JM Bony "méthode math pour la physique" qui se penche dans ses annexes sur ce genre de problème.
Auriez-vous un lien où renvoyer des questionnements de physique à ce propos ?
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[MissJenny]

Et pourquoi est-ce qu'il n'y aurait pas de fonction Q(t) ?

[gts2]

Par définition Q est l'énergie qui passe d'un objet A à un autre B, on peut bien sûr définir Q(t) comme l'énergie qui est passée de l'un à l'autre pendant t, sauf que ce que dQ considérée du point de vue de A n'est pas une différentielle totale, donc on ne peut définir Q(A).
Cela signifie-t-il que c'est un problème de physique et non de maths, le classique problème des 26 lettres de l'alphabet : le Q(t) et le Q(A) sont en fait deux choses différentes (mathématiquement).

Idem pour le courant I=dq/dt, on peut bien sûr définir q(t) comme la charge qui est passée en un point pendant t, mais on ne peut attribuer q à un objet q(fil) est constamment nul.

[MissJenny]

Je ne connais pas la physique mais en biologie on utilise parfois des "modèles à compartiments" dans lesquels on a des flux, et ils sont traités comme les dérivées de fonctions qui sont les quantités (en général des tailles de populations) dans les différents compartiments. Dans ton cas qu'est-ce qui t'empêche de considérer une fonction Q(t) qui serait l'énergie du compartiment A au temps t ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Q(A) n'a pas de sens, la variable est t (le temps). Q existe bien dans la plupart des cas, sinon c'est un potentiel; dans les deux cas, comme c'est une primitive du flux, Q(t) est défini à une constante près, et généralement on n'a pas besoin de préciser la constante. Mais dans le cas d'un condensateur, Q0, la charge initiale est parfaitement définie.

Cordialement.

[mach3]

Il y a bien une fonction Q(t) ou q(t), c'est simplement le nombre de Joules ou de Coulomb passés par la surface depuis t=0, ce sont les intégrales des puissance thermiques ou des courants par rapport au temps. En tant que fonction de t, elles admettent bien des différentielles exactes dQ et dq.

Il faut garder à l'esprit qu'il y a autant de fonctions Q(t) différentes que de chemins dans l'espace des états thermodynamiques, pire même, autant qu'il y a de façons différentes de parcourir tout ces chemins. En effet, la puissance thermique dérivée de Q(t) dépend, par exemple, des dérivées par rapport au temps de la température et de la pression. Q vue en générale n'admet pas de différentielle exacte, mais Q sur une chemin particulier parcouru d'une façon bien particulière admet bien une différentielle exacte (qui est dt multiplié par une combinaison linéaire des dérivées par rapport au temps de la température, de la pression, etc).

Dans l'espace des états thermodynamiques, il y a en tout point une forme linéaire q qui si on lui donne une un petit vecteur u=delta T, delta P, delta etc donne la chaleur Q échangée par le système s'il parcourt ce petit vecteur (Qu=<q,u>). Il se trouve que cette forme linéaire n'est pas fermée (c'est à dire dq n'est pas 0), donc on ne doit pas l'écrire dQ (il n'y a pas fonction Q, sinon dq=ddQ=0 car dd=0 par définition de l'opérateur de dérivée extérieure d). Si on travaille le long d'un chemin, on va faire la somme des <q,u> sur chaque petit vecteur u qui forme le chemin, en faisant tendre la taille de ces vecteurs vers 0 : on intègre. On obtient du coup Qchemin. On peut ensuite paramétrer le chemin arbitrairement et du coup on aura Qchemin(p), une fonction qui donnera la chaleur échangée depuis le début du chemin jusqu'à un certain point du chemin désigné par le paramètre p. C'est une fonction dont on peut prendre la dérivée par rapport à p. Si on choisit que le paramètre est le temps, la boucle est bouclée.

m@ch3

[stefjm]

Edit croisement mach3
Bonjour,
J'ai bien l'impression que c'est surtout un problème de notation entre le champ ou potentiel au sens large q(x,t) et ses dérivées partielles (ou différentielle totale) ou sommations temporelle, spatiale ou intrinsèque.
Non?

[gts2]

Je ne connais pas la physique mais en biologie on utilise parfois des "modèles à compartiments" dans lesquels on a des flux, et ils sont traités comme les dérivées de fonctions qui sont les quantités (en général des tailles de populations) dans les différents compartiments. Dans ton cas qu'est-ce qui t'empêche de considérer une fonction Q(t) qui serait l'énergie du compartiment A au temps t ?

Le problème est bien là : on peut bien définir Q(t) comme la chaleur échangée sur cette transformation particulière, mais on ne peut pas relier cela de manière générale à l'énergie du compartiment A : Q(A) n'a pas de sens (voir message de @mach3)
La différence avec les populations, est que la population d'un compartiment est définie.

[gts2]

Q existe bien dans la plupart des cas, sinon c'est un potentiel; dans les deux cas, comme c'est une primitive du flux, Q(t) est défini à une constante près.

Oui, c'est bien cela, donc c'est un pb physique et non mathématique, pour un courant circulant dans un fil, q(t) est bien définie mathématiquement, mais physiquement à part la tautologie q(t) est la charge ayant transité pendant t, on ne peut interpréter q(t) comme la charge de qqch.

[gg0]

Pourquoi voudrais-tu attribuer la charge à quelque chose ? Si tu as dépensé 10 euros aujourd'hui, 10 € n'est pas nécessairement le prix de quelque chose.

Attention aussi à "q(t) est la charge ayant transité pendant t" !! t est un moment du temps, pas une durée.

[stefjm]

Oui, c'est bien cela, donc c'est un pb physique et non mathématique, pour un courant circulant dans un fil, q(t) est bien définie mathématiquement, mais physiquement à part la tautologie q(t) est la charge ayant transité pendant t, on ne peut interpréter q(t) comme la charge de qqch.

C'est pas plutôt dq qui est la variation de charge pendant dt?

Autant je trouve très clair le C.dv = i.dt pour un condensateur (une variation de tension dv pour un courant i pendant dt), autant le dq=i.dt m'a toujours paru abscons en l'absence de condensateur (une variation de charge dq pour un courant i pendant dt).

Pour moi il y a des confusions pas claires entre q et dq.

C'est exactement pareil que le dx=v.dt (une variation de position dx pour une vitesse v pendant dt) ou le dv=a.dt (une variation de vitesse dv pour une accélération a pendant dt).
On assimile jamais la variation de la grandeur à la grandeur.

Dans tous les cas, c'est un comptage intégral (somme intégrale).
d€ = (Cout Horaire).dt pour l'exemple de gg0.

[stefjm]

Le titre m'a rappelé mes bases en bond graphe.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Graphe_de_liaisons

Électrique	Tension (V)	Courant (A)	Flux (Wb)	Charge (C)
Mécanique en translation	Effort (N)	Vitesse (m/s)	Impulsion (N s)	Déplacement (m)
Mécanique en rotation	Couple (N m)	Vitesse (rad/s)	Impulsion (N m s)	Angle (rad)
Hydraulique	Pression (Pa)	Débit volumique (m3/s)	Impulsion de pression (Pa s)	Volume (m3)
Magnétique	Force magnéto-motrice (A)	Dérivée flux (V)	-	Flux (Wb)
Chimique	Potentiel Chimique (J/mol)	Flux molaire (mol/s)	-	Quantité de matière (mol)
Thermodynamique	Température (K)	Flux entropique (W/K)	-	Entropie (J/K)
Acoustique	Pression (Pa)	Débit acoustique (m3/s)	Impulsion de pression (Pa s)	Volume (m3)

ainsi que Tetrahedron of state
https://en.wikipedia.org/wiki/Bond_g...edron_of_state

[stefjm]

Bonjour,
J'ai séché l'ambiance avec le bond graph?