Exercice de réduction oral mines et RMS 2021 !

[enimath]

Bonjour ! merci a ceux qui liront et/ou prendront le temps de repondre a ce message. Je suis étudiant en MP* et j’ai besoin d’aide sur cet exercice posé aux mines et repertorié dans la RMS en 2021:



la 1) est relativement aisée: Mz est diagonalisable pour tout z different de 0 et 27/4 (le cas 27/4 devant etre traité a la main) en regardant les z pour lesquels le polynome caracteristique a des racines doubles.

la 2) est plus dure. je reussis a montrer que la suite converge si |z|<=1/2 par un raisonnement par l’absurde (si vous le voulez vous pouvez me demander des details)
ensuite j’ai regardé sur internet (je sais, pardon…) en calculant des puissances 100 de Mz pour quelques valeurs et il apparait qu’experimentalement, la suite diverge pour |z|>1/2 mais la je bloque COMPLET depuis maintenant 2 semaines. Mon professeur bloque au meme moment et j’ai aussi demandé a des amis. Il n’y a aucun corrigé en ligne et il faut payer pour acceder aux corrigés RMS. Voila !
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[enimath]

Je mets juste ici la piste que j’exploitais jusqu’a présent.

Il s’agit donc de montrer l’equivalence suivante:
|z|<=1/2 <=> la suite converge
dont j’ai réussi à montrer le sens direct (par un raisonnement par l’absurde que je detaillerai a qui veut l’entendre et qui ne fonctionne pas pour le sens indirect)

On met de coté les valeurs de 0 (M0 est nilpotente donc la suite converge) et 27/4 de z, de sorte que Mz soit diagonalisable.

Le sens indirect revient a montrer en ecrivant le polynome caracteristique X^3 - zX - z comme produit d’irreductibles (X-a)(X-b)(X-c) où a, b et c sont les 3 valeurs propres (à noter qu’elles sont distinctes car pour les z choisis, le polynome est a racines simples) que si a, b et c sont de module inferieur ou egal a 1, alors le systeme suivant (issu des relations coefs-racines) :
|abc = z
|ab+bc+ac = -z
|a+b+c = 0
implique que |z|<=1/2.
(on remarque qu’avec la premiere ligne on a deja |z|<=1)

et la je bloque. J’ai essayé une contraposée mais rien non plus.

[MissJenny]

tu peux peut-être raisonner sur le déterminant de cette matrice.

[enimath]

qu’est ce que tu veux dire plus precisemment stp ? le determinant de Mz^k vaut z^k et donc une condition necessaire mais pas suffisante de convergence de la suite est |z|<=1. si tu veux parler du polynome caracteristique je l’ai deja exploité et detaillé dans mon post.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

effectivement ça n'avance pas à grand-chose... en tout cas puisque l'énoncé ne la précise pas, tu peux choisir la norme matricielle que tu veux. Essaie d'en trouver une qui dépend d'une manière simple de z.

[enimath]

on est en dimension finie (9) donc on peut prendre la norme qu’on veut car elles sont toutes equivalentes (pas parce que l’enoncé precise pas) mais ok merci je vais chercher
elle doit etre aussi sous multiplicative sinon on n’aura rien sur la suite

[Resartus]

Bonjour,

J'ai (ou plutôt Wolfram alpha a) trouvé un contre-exemple ou |z|>1/2 et toutes les racines sont de module <1

Cela passe de justesse, mais

z=0,505i donne les racines suivantes :

x1=0,796767+0,577622i |x1|= 0,968484827173
x2=0,216303 -0,797777i |x2|= 0,683235129538
x3=-0,580464+ 0,220155i |x3|= 0,385406679321

toutes de module inférieur à 1.

[Resartus]

RE,
Il y a plus simple et plus flagrant avec z réel négatif : z=-0,61 donne des racines de module max 0,994889...

[enimath]

Vous n’avez pas idée a quel point votre message me soulage. 1 mois de galère vient de se terminer. UN GRAND MERCI !! Je n’aurais jamais pu trouver seul que la suite convergeait pour ces valeurs de z…
Je pense donc qu’on ne peut pas trouver de condition necessaire mais qu’une condition suffisante (|z|<1/2 => la suite converge).
Peut etre qu’en disant «*a quelle condition*» l’enoncé veut seulement une condition suffisante, sinon il aurait ete ecrit condition necessaire et suffisante…

[erff]

Bonjour,

Une remarque :
La convergence est équivalente à montrer que U[n] = a^n + b^n + c^n converge, où a,b,c sont les racines du polynôme caractéristique.
Avec les relations coeff-racines, on montre que U[n+3]=z(U[n+1]+U[n]) avec U[0]=3, U[1]=0, U[2]=2z. (développer -z*U[n]=(ab+bc+ca)(a^n+b^n+c^n))
Donc si on peut trouver les conditions sur z pour que cette suite converge c'est gagné. Mais je me doute bien que c'est aussi difficile que de trouver les racines de X^3 - zX -zI

Bonne soirée

[enimath]

Bonjour, d’ou vient votre premiere equivalence ? Il me semble que la convergence de la suite equivaut a la converge de a^n, b^n et c^n et non leur somme si ?

[erff]

Bonjour,

Effectivement, j'ai pensé un peu vite que |z|<1 permettait de faire l'équivalence (alors c'est peut-être vrai, mais je ne le vois pas en effet).

Cependant, en développant (ab+bc+ca)((ab)^n+(bc)^n+(ca)^ n) j'arrive écrire que la suite V[n]=(ab)^n + (bc)^n + (ca)^n vérifie V[n+3]=z(V[n+2]+zV[n]) avec V[0]=3, V[1]=-z, V[2]=z^2.
Étant acquis que |z|<1, on pourrait affirmer que la convergence est équivalente à la convergence des deux suites Un (cf message #n-2) et Vn.
Le souci reste que le seul outil que je connaisse pour prouver la convergence de ces suites est de justement trouver des propriétés sur les racines des polynômes X^3 -zX-z et de X^3-zX^2-z^2 ; donc à mon avis cette approche fait tourner en rond.