Espace vectoriel fonctionnel.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Soit, la famille des fonctions , telle que, , .
Connaissez vous un exemple de - espace vectoriel fonctionnel , où, la famille en forme une famille orthonormale, et donc, en forme une famille libre ?

Merci d'avance.
-----

[gg0]

Bonjour.

Dans n'importe quel espace vectoriel complexe qui les contient, tes e_n forment une famille libre. À toi de le prouver.
Quant à la question de famille orthonormale, ce n'est pas un problème d'espace vectoriel simplement. Tu oublies une notion importante ...

NB : "fonctionnel" signifie simplement que les vecteurs sont des fonctions.

[Anonyme007]

Bonjour,

Quant à la question de famille orthonormale, ce n'est pas un problème d'espace vectoriel simplement. Tu oublies une notion importante ...

Il faut que l’espace vectoriel en question soit normé, et que sa norme dérive d'un produit scalaire ? C'est ça ce que tu voulais préciser gg0 ?

Merci d'avance.

[gg0]

En gros, oui ! Il faut un produit scalaire. Donc tu aurais dû demander si quelqu'un connaît un produit scalaire qui ...
Mais la notion de famille libre est indépendante des produits scalaires éventuels, donc tu mélangeais ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Oui, je cherche à définir un produit scalaire sur qui orthonormalise la famille de fonctions .
Pour cela, j'essaye de définir ce produit scalaire sous la forme, , pour tout , mais, j'ai du mal à définir les bornes , et le poids, qui soient indépendants de .
Pouvez vous m'aider s'il vous plait à les définir ?

Merci d'avance.

[MissJenny]

à quoi correspond précisément l'intégration entre a et b dans ton produit hermitien, sachant que z est un nombre complexe ?

[Anonyme007]

Bonjour,

L’intégration entre et correspond à n'importe quel chemin allant de à contenu dans un domaine connexe par arcs contenu dans le domaine de définition de la fonction, .

[gg0]

Qui est ?

Et à priori, l'intégrale va dépendre du chemin, tes fonctions n'étant pas holomorphes sur .

Encore une idée mal ficelée !!

[Anonyme007]

Qui est ?

Et à priori, l'intégrale va dépendre du chemin, tes fonctions n'étant pas holomorphes sur .

Encore une idée mal ficelée !!

est l'objet recherché depuis le début du fil. Relis le début du fil.
Est ce que si la fonction est holomorphe, alors l'intégrale ne dépend pas du chemin suivi ? Pourquoi ?

[MissJenny]

Est ce que si la fonction est holomorphe, alors l'intégrale ne dépend pas du chemin suivi ? Pourquoi ?

n'est-ce pas ce que dit le théorème de Cauchy (sur l'intégrale le long d'une courbe fermée)? Mais là justement est-ce que tu as une fonction holomorphe?

[gg0]

"Est ce que si la fonction est holomorphe, alors l'intégrale ne dépend pas du chemin suivi ? "
Bon sa&ng, Pablo, depuis plus de 15 ans que je lis tes messages, quand vas-tu te décider à apprendre les maths des 2 années après le bac ? Comme on te l'a conseillé sans arrêt. Au lieu de rêver que tu fais des maths de bac+7 - rêver puisque tu ne sais pas vraiment de quoi ça parle.

[Anonyme007]

n'est-ce pas ce que dit le théorème de Cauchy (sur l'intégrale le long d'une courbe fermée)? Mais là justement est-ce que tu as une fonction holomorphe?

Oui, c'est ça, merci, mais la fonction est définie sur un domaine seulement connexe par arcs et non simplement connexe, donc, l´integrale dépendra du chemin suivi.

[ThM55]

Non, a priori si le domaine est et la fonction est une simple exponentielle, donc le domaine de définition est simplement connexe. Dans ton cas, ce n'est pas là qu'est le problème: la fonction dépend de , donc elle n'est pas holomorphe. Une fonction holomorphe dépend de z seulement. Autrement dit, de manière plus traditionnelle, les conditions de Cauchy-Riemann ne sont pas vérifiées. Donc le théorème de Cauchy ne s'applique pas.

[MissJenny]

la fonction en question m'a bien l'air d'être une fonction de z, je ne comprends pas la remarque de thm55.

[MissJenny]

c'est bon, j'ai compris. J'avais perdu de vue la définition de f et g.

[ThM55]

Je me demande toutefois si ce serait possible en fixant un chemin (par exemple le segment réel [0,1], ou l'imaginaire [0,i]).

Avant de chercher, il serait peut-être utile de nous expliquer le contexte de ce problème. D'où vient cette question?

[gg0]

A savoir : Les fonctions de Anonyme007 étant linéairement indépendantes, il existe un espace vectoriel évident (minimum) qui les contient et sur lequel on peut définir un produit scalaire qui les rend orthonormales. J'attendais qu'il pense à cette construction dès mon message #2, mais il est parti sur des idées farfelues (imitation de ce qu'il lit), et s'il veut que le produit scalaire dérive d'une intégrale, c'est mal parti !

[Anonyme007]

Bonjour,

A savoir : Les fonctions de Anonyme007 étant linéairement indépendantes, il existe un espace vectoriel évident (minimum) qui les contient et sur lequel on peut définir un produit scalaire qui les rend orthonormales. J'attendais qu'il pense à cette construction dès mon message #2, mais il est parti sur des idées farfelues (imitation de ce qu'il lit), et s'il veut que le produit scalaire dérive d'une intégrale, c'est mal parti !

Oui, c'est vrai, toute famille dénombrable de vecteurs orthonormales engendrent un espace de Hilbert séparable, et puisque tout espace de Hilbert séparable s'identifie isométriquement à dont le produit scalaire est défini par, , pour tout, , alors, le produit scalaire associé à la famille est le produit scalaire défini par, , pour tout, . Est ce que c'est ça ?

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Je me demande toutefois si ce serait possible en fixant un chemin (par exemple le segment réel [0,1], ou l'imaginaire [0,i]).

Avant de chercher, il serait peut-être utile de nous expliquer le contexte de ce problème. D'où vient cette question?

C'est la première fois que j'essaye d'apprendre à fond les notions liées aux séries de Dirichlet ( Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Dirichlet ).
Alors, pour me faciliter le travail, puisque, à la base, les notions de cette théorie un peu chaotique sont un peu éparpillés et mal organisées, je voulais savoir si à priori, il est possible de mettre ces séries de Dirichlet dans un espace de Hilbert muni d'un produit scalaire, et voir si le prolongement analytique tout toute série de Dirichlet sur un domaine plus large peut s'exprimer comme un développement en série comme pour le cas du développement en série de Fourier dont les coefficients sont fournies par des produits scalaires.

[gg0]

"Est ce que c'est ça ?"
Pas vraiment ! tu fais encore dans la comparaison, alors que le fonctionnement des maths est la preuve. Le "c'est comme" n'est pas une preuve.
Définis clairement ton espace E, puis le produit scalaire convenable. Fais des maths.

[Anonyme007]

... et s'il veut que le produit scalaire dérive d'une intégrale, c'est mal parti !

Est ce que tu peux m'expliquer pourquoi hormis le fait que le hasard a voulu qu'on soit placé dans le contexte d'une intégrale complexe, et donc ces histoires de monodromie et fonctions multiformes font que l’intégrale entre deux bornes n'est pas unique. Si nous étions dans le contexte d'une intégrale réel, pourquoi alors cette phrase suivante que tu as rétorquée :

... et s'il veut que le produit scalaire dérive d'une intégrale, c'est mal parti !

Quant a-t-on que le produit scalaire dérive d'une intégrale, en général ?

Merci infiniment.

[ThM55]

Je ne connais rien du tout aux séries de Dirichlet malheureusement mais je crois voir ce que tu veux faire.

Mais je dirais que pour des fonctions, ce n'est pas forcément une mauvaise idée de définir le produit scalaire par une intégrale (à définir). On n'aura pas automatiquement l'orthonormalité mais on peut y arriver sous certaines conditions par le procédé de Gramm-Schmidt, non?

On pourrait commencer par le cas réel , définir (f,g) par (mais je ne sais pas si c'est un bon choix! je n'ai pas vérifié) et puis appliquer l'algorithme de GS.

[gg0]

L'anonyme :
Dans les espaces fonctionnels, il arrive qu'on définisse le produit scalaire par une intégrale, comme tu le proposais au message #5. Mais pas toujours. N'importe comment, tu es trop pauvre en connaissances basiques pour pouvoir faire plu qu'imaginer des possibilités et demander aux autres de les valider. Et tes idées sont toujours des comparaisons, par exemple ici, le mot "séries" te fait vouloir faire avec les séries de Dirichlet ce qu'on fait avec les séries de Fourier. Et tu viens demander qu'on fasse le travail que n'importe comment, tu ne saurais pas faire. Alors je te propose d'autres idées : fais comme pour les séries entières, imite !

Ou alors fais le travail mathématique sérieusement. Tu voulais que tes fonctions soient possiblement un système orthonormal, ce qui n'est possible que si elles sont linéairement indépendantes. Démontre déjà qu'elles le sont (exercice de niveau bac+1).
Puis suis la remarque que je donnais au message #17 pour trouver ton espace E et le produit scalaire adapté qui fait de tes fonctions une base hermitienne.
Tout ça, c'est du niveau basique bac+1, bac+2, après, tu pourras chercher si ton produit scalaire peut éventuellement être défini par une intégrale bien particulière en choisissant un domaine spécifique.
Mais comme tu n'es pas capable de faire le travail basique, on risque d'attendre !