Bonsoir a tous. S'il vous plait j'ai une preoccupation Dans l'exercice qui est corrige dans la piece jointe ci dessous a la premiere ligne de la question b). je ne comprends pas comment on etablit l'isomorphisme. je me dis qu'il y'a peut etre un theoreme a utiliser que j'ignore
le troisième isomorphisme est trivial, vrai pour tous les corps. Le deuxième isomorphisme vient du fait que F2[X] est un anneau principal. Reste à montrer le premier.
Bonjour,
Pour p, en quotientant par 2, tous les coefficients des polynomes se ramènent à 0 ou 1, ce qui équivaut à se retrouver dans F2(Z). Le polynome minimal pour alpha devient X^2-X (soit X^2+X)
Pour q, comme on quotiente par 3, on se retrouve dans F3(Z). Ici le polynome minimal devient X^2-X
Par contre, il me semble qu'il y a ensuite une petite omission dans le corrigé. Pour p on doit bien chercher si a²=23b²=8 a une solution dans Z2. Mais pour q, c'est dans Z3 qu'il faudrait chercher une solution de a²+23b²=12. il aurait fallu rajouter une parenthèse (resp Z3)
Dernière modification par Resartus ; 24/05/2024 à 07h16.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Bonjour, merci pour votre reponse. c'est justement ce premier isomorphisme qui me tracasse depuis 3 jours. je vois bien que Z_k est isomorphe a Z[x]/(X^2-X+6). mais je vois pas comment obtenir l'isomorphisme entre entre Z_k/p et cet autre anneau.
bonjour. merci pour votre reponse. mais s'il vous plait je ne comprends pas encore bien. pourquoi faudrait il quotienter l'ideal p par 2?
Bonjour,
Euh, on ne quotiente pas p mais Zk par p.
Comme 2 est un des générateurs de p, tous les coefficients multiples de 2 dans les polynomes de Zk seront dans la même classe d'équivalence pour p que 0, et tous les coefficients impairs dans la même classe que 1. Dans le quotient, il ne restera comme coefficients possibles pour les polynomes que 0 et 1, ce qui est équivalent à avoir des polynomes sur Z2
Idem pour q mais avec 3 comme générateur, coefficients équivalents à 0,1,2 donc équivalence avec les polynomes de Z3
Puis quand on continue avec le quotient par alpha, le polynome minimal dans ce nouveau corps Z2 (resp. Z3) se simplifie: le terme 6 disparait
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Daccord merci beaucoup je crois que c'est bon.
