Bonjour à tous,
Je pense avoir résolu par radicaux les équations algébriques de degré 5. La méthode se généralise aux équations de tout degré.
Je vous explique la méthode directement à travers un exemple,
On se propose de résoudre par exemple l'équation quintique suivante,
Cette équation ci-dessus équivaut à,.
qui équivaut aussi au système suivant,avec
à déterminer.
La résolution de ce système équivaut à la résolution de l'équation algébrique de degré 2 suivante,.
Il reste à détermineret
.
Le cas le plus simple deest quant
.
Le système à résoudre qu'on obtient est,
Cela nous amène à résoudre l'équation suivante,
Essayons de trouverqui vérifie cette équation ou cette égalité,
Pour, on a,
, mais, le membre de gauche de l'égalité donne,
qui est une équation de degré 5 qu'on n'est pas capable de résoudre. Donc, on a mal choisi
.
Cette fois, ci on va choisirde façon à ce que le membre gauche
de l'égalité
pour
soit, de degré 4, donc, qu'on peut résoudre à l'aide de la méthode de Ferrari par exemple.
Voici comment on choisit.
Dans, le système,, on peut remarquer que, le
de
se factorise comme suit,
, d’où,
équivaut à,
, et donc, on choisit
, et donc, le système qu'il faut résoudre est,
Cela équivaut à résoudre l'équation,.
Pour, on a,
, tandis que le membre de gauche de l'égalité donne,
qui est un polynôme de degré 4 dont l'équation algébrique correspondante est possible à résoudre par exemple, à l'aide de la méthode de Ferrari.
Donc,, une solution de l'équation,
est racine de l'équation quintique qu'on cherche à résoudre et qui est,
.
Est ce que d'après vous, cette méthode de résolution est correcte ? Si la réponse est non, est ce qu'il est possible de la corriger ou l'améliorer ?
Merci d'avance.
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