Démontrer une bijection.

**Anonyme007** · 10/07/2024, 03h39

Bonsoir à tous,

Soient $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ trois $\text{[math]}$ -modules, et $\text{[math]}$ une application $\text{[math]}$ -linéaire.

L'application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ qui envoie $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ est bilinéaire, et induit donc une application linéaire $\text{[math]}$ , qui dépend manifestement linéairement de $\text{[math]}$ . On a donc, construit une application $\text{[math]}$ -linéaire, $\text{[math]}$ .

On définit par ailleurs, une application $\text{[math]}$ -linéaire, $\text{[math]}$ , par la formule, $\text{[math]}$ .

Questions,

- Comment montrer que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des bijections ?

- Comment montrer que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont réciproques l'une à l'autre ?

Merci d'avance.

**GBZM** · 10/07/2024, 16h45

Bonjour,
Il suffit de passer par $\text{[math]}$ . C'est isomorphe à $\text{[math]}$ (propriété universelle du produit tensoriel) et à $\text{[math]}$ (définition d'une application bilinéaire).

**Anonyme007** · 10/07/2024, 19h56

Bonjour GBZM,

Merci pour ta réponse.

Ne peut-t-on pas montrer la bijectivité du morphisme, $\text{[math]}$ directement, sans passer par, $\text{[math]}$ ? Parce que, au début, j'allais posé les mêmes questions, mais pour le morphisme, $\text{[math]}$ , mais dans la catégorie des ensembles, au lieu du morphisme, $\text{[math]}$ dans la catégorie des $\text{[math]}$ - modules. Dans la catégorie des ensembles, je sais le faire, mais, dans la catégorie des $\text{[math]}$ -modules, je ne sais pas le faire.

Merci d'avance.

**GBZM** · 10/07/2024, 22h04

La réponse que j'ai faite est tout à fait directe : la propriété universelle du produit tensoriel est la bonne façon de travailler avec cet objet.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 11/07/2024, 01h20

Oui, tu as raison. Merci.
La même chose se dit ici, https://webusers.imj-prg.fr/~patrick...s/ATG05ch9.pdf , page, $\text{[math]}$ .

**Anonyme007** · 11/07/2024, 18h26

Bonjour,

Si on se place dans la catégorie des ensembles, on connait tous la formule d'adjonction suivante, $\text{[math]}$ .
Soit maintenant $\text{[math]}$ trois ensembles, et $\text{[math]}$ le produit fibré de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ au dessus de $\text{[math]}$ .
Existe-t-il un adjoint à droite $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tel que, $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ à déterminer, qui présente une géneralisation de la formule d'adjonction, $\text{[math]}$ , lorsque, $\text{[math]}$ est un singleton ?

Merci d'avance.

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