Relation d'equivalence et bijection a demontrer

[invite1f6890e0]

Bonjour à tous,
Je bloque completement sur cet exercice.

Soit la relation d’équivalence de dans par :

Question. Prouvez que l’ensemble quotient est en bijection avec l’ensemble de tous les nombres complexes de module 1.

Ma methode habituelle:
1. Tout d'abord j'ecris sous forme (forme de fonction); mais la je ne vois pas comment...
2. En general cela aide a ensuite demontrer la bijection

Mais la... je seche completement car je ne trouvre pas de forme de fonction

Merci !
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[gg0]

Voir sur cet autre forum.

[invite9dc7b526]

Il y a (au moins) deux façons de faire:

1) puisqu'on te demande de montrer qu'il existe une bijection mais pas d'en construire une tu peux juste raisonner sur les cardinaux, i.e. montrer que les deux ensembles ont le même cardinal.

2) tu peux remarquer que le cercle est lui-même un quotient de R par Z (en fait 2piZ) et construire la bijection de cette façon.

[Amanuensis]

1) puisqu'on te demande de montrer qu'il existe une bijection mais pas d'en construire une tu peux juste raisonner sur les cardinaux, i.e. montrer que les deux ensembles ont le même cardinal.

Cela demanderait que les différents cardinaux infinis soit connus, on peut penser que l'exercice n'est pas posé à ce niveau.

2) tu peux remarquer que le cercle est lui-même un quotient de R par Z (en fait 2piZ) et construire la bijection de cette façon.

Un peu tautologique comme approche (que signifie R/Z ...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[raymolk]

Chaque classe d'équivalence s'identifie avec la partie fractionnaire des nombres qu'elle contient, donc on a une injection de E/R dans [0,1[, qui est évidemment une bijection.
Ensuite, trouver une bijection de [0,1[ dans le cercle.

[Médiat]

Trouver une bijection entre les complexes de module 1 et [0, 2pi[, est trivial, et entre [0, 2pi[ et [0, 1[ l'est encore plus.

[raymolk]

La question de départ elle-même est triviale si on va par là, mais je suppose que si elle a été posée par Ukaneb, c'est que ça n'est pas le cas pour lui.

[invite1f6890e0]

oui en effet c'est tres loin d'etre trivial pour moi

Merci a tous pour vos reponses, ca me donne des pistes de reflexions interessantes

[gg0]

Si tu bloques en cours de résolution, reviens expliquer ce que tu as fait, on pourra t'aider. Mais à priori, tu as toutes les pistes.

Cordialement.