relation d'équivalence et bijection

[mrstortellini]

Bonjour/Bonsoir tout le monde!
Je suis en première année prépas pcsi et notre professeur de maths nous avait proposé un exercice tournant autour des relations d'équivalence et des applications qui m'a beaucoup préoccupé l'esprit. Voici l'énoncé:

on appelle A l'ensemble des applications de R dans R, le sous ensemble de A formé de bijections de R dans R est noté B. La relation de conjugaison de A sur A : fRg <=> il existe un h appartenant à B tel que : g=hofoh^-1
f et g sont conjuguées. Le but de cet exercice est d'étudier quelques prop de la conjugaison.
1) montrer que R est une relation d'équivalence sur A.
2) déterminer la classe de f, c'est-à-dire l'ensemble des éléments g de A pour lesquels fRg dans le cas où:
f est l'application f: de R à R , x->x et où f est l'application: de R à R, x->0.
ensuite on demande de prouver que f est injective <=> g est injective, f est surjective <=> g est surjective

il reste une autre question sur la composée n-ieme. je pense qu'il faudrait que je comprenne d'abord le début de l'exercice avant de vouloir répondre à cette question (elle semble plus compliquée).
Bref, pour la premiere question, je sais qu'une relation est une relation d'équivalence quand la relation est reflexive, symetrique et transitive. j'ai un peu de soucis avec la rédaction et je doute de la validité de ma réponse mais bon, je bloque surtout sur la deuxieme et la troisieme question, flou total. une petite indication s'il vous plait?
Merci d'avance!
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[gg0]

Bonjour.

Déjà, rédiger ici la première question nous donnera une idée de à quel niveau on peut te répondre.

Pour la deuxième question applique la définition dans chacun des deux cas, c'est immédiat !!
Pour la suite, il manque sans doute l'hypothèse que f et g sont conjuguées. Si tu revois ton cours sur les composées de fonctions tu devrais avoir quasiment la réponse (si h et k sont injectives, alors hok est ...).
Si tu bloques, reviens ici en présentant ton travail (règlement du forum).

Bon travail personnel !

[mrstortellini]

Bonsoir!
Merci infiniment pour votre réponse rapide, et veuillez pardonner mon étourderie. Pour la deuxième question, je finis avec une classe d'équivalence qui contient g=h(h^-1) et g=h(0). Et pour la suite, oui en effet j'ai oublié de mentionner que f et g sont conjuguées. h est bijective, donc elle est injective et surjective, et si h et f sont injectives alors hof est injective et hofoh^-1 est injective (h est injective > h^-1 aussi n'est-ce pas?) donc g est injective, même chose pour la surjectivité. Je n'ai fait que mentionner directement cela sans travailler avec les équivalences (ma réponse est sous la forme d'un petit paragraphe), c'est toujours juste?
merci d'avance!

[gg0]

C'est un peu confus, parfois faux (g=h(0) ??? h(0) est un nombre, pas une fonction; et h(h^-1) n'a pas de signification).

Pour la troisième question, un raisonnement bien écrit est aussi probant qu'un calcul avec des équivalences, plus même lorsqu'on ne peut pas savoir ce qui justifie ces équivalences.
Globalement, je ne peux pas en dire plus, je ne sais pas ce que tu as écrit. Avec des réponses rédigées, je pourrais donner un avis.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mrstortellini]

oui c'est vrai, pardon. du coup, que sera la classe d'équivalence? Dans le premier cas, on a f est une application de R dans R avec x->x, donc f(h^-1)=(h^-1). on finit par avoir h(h^-1). Je crois pas savoir quoi faire car comme vous dites ça n'a pas de signification. Dans le deuxieme cas, f : R->R, x->0 donc f(h^-1)=0, donc g=h(0).
pour la troisième, voilà ce que j'ai écrit:
on a d'abord h appartient à B et B est un sous-ensemble formé de bijections de R dans R, donc h est bijective, ce qui implique que h est en même temps injective et bijective.
Supposons que f est injective. puisque f et h sont toutes les deux injectives : foh^-1 est injective, et donc hofoh^-1 est injective. On en déduit que g est injective.
Même chose pour la surjectivité.
Merci d'avance!

[gg0]

f(h^-1) n'a pas de sens !

Il va falloir que tu apprennes vraiment la signification des notations de ton sujet, et aussi que tu revoies ton cours pour comprendre la composition des applications. Pour l'instant, tu fais de la bouillie !

"on a d'abord h appartient à B et B est un sous-ensemble formé de bijections de R dans R, donc h est bijective, ce qui implique que h est en même temps injective et bijective. Pourquoi répéter bijective ??

Supposons que f est injective. En général, on se contente d'écrire "si f est injective, .."

puisque f et h sont toutes les deux injectives : foh^-1 est injective Je ne vois aucun théorème de cours appliqué ici, d'ailleurs, tu n'as jamais parlé de h^-1 avant !!

Voilà, ta rédaction doit suivre de très près les règles du cours et les règles de logique. Il ne s'agit pas de convaincre par du baratin, mais de convaincre quelqu'un qui pense le contraire, mais accepte les applications strictes des règles. Donc à reprendre !

Bon travail !

[mrstortellini]

pardon, j'ai fait une erreur, dans ma feuille j'ai écrit: ...donc h est bijective, ce qui implique que h est en même temps injective et surjective non pas bijective. d'accord je vais reprendre, merci beaucoup pour votre aide! Je suivrai vos conseils!

[PlaneteF]

Bonsoir,

Dans le premier cas, on a f est une application de R dans R avec x->x, donc f(h^-1)=(h^-1). on finit par avoir h(h^-1). Je crois pas savoir quoi faire car comme vous dites ça n'a pas de signification. Dans le deuxieme cas, f : R->R, x->0 donc f(h^-1)=0, donc g=h(0).

En plus des problèmes de rédaction soulevés par gg0, en raisonnant avec des "donc" tu obtiendras au final une ou plusieurs conditions nécessaires, ... mais pas suffisantes.

Cordialement