Démontrer que cette appli est une bijection

[Wrandall]

Salut tous le monde,

J'ai cet exercice à faire et j'avoue ne pas vraiment savoir comment m'y prendre :

Soit n≥2 et τ une transposition de Tn
1°/ Démontrer que φ : σ → σ o τ est une bijection de Tn → Tn
2°/ En déduire le cardinal de An

Dans un premier temps la bijection, je ne vois pas comment la démontrer

Merci pour votre aide
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[Seirios]

Bonjour,

J'imagine que Tn correspond au groupe des permutations sur ?

Pour montrer que est une bijection, il suffit de montrer successivement qu'elle est injective et surjective. Si , que peux-tu dire ? Une permutation étant donnée, comment peux-tu trouver une permutation vérifiant ?

Il suffit d'appliquer les définitions.

EDIT: \mathfrak ne permet pas d'avoir un joli S en gothique...

[Wrandall]

salut et merci pour ta réponse, concernant Tn ça correspond effectivement au groupe des permutations Sn sur {1,...,n}

Alors si σ1 o τ = σ2 o τ , je peux en déduire que σ1 = σ2 ? et pour trouver une permutation η vérifiant η o τ = σ , j'imagine qu'il faut que je trouve le produit de transpositions qui me permet d'arriver à ce résultat

Mais après je vois pas trop comment me servir de ça pour montrer que cette application est une bijection :\

[Seirios]

Alors si σ1 o τ = σ2 o τ , je peux en déduire que σ1 = σ2 ?

Oui, mais il faut le justifier ; d'un autre côté, tu es dans un groupe donc ce n'est pas particulièrement difficile...

et pour trouver une permutation η vérifiant η o τ = σ , j'imagine qu'il faut que je trouve le produit de transpositions qui me permet d'arriver à ce résultat

Tu te compliques la vie, il suffit d'utiliser la structure de groupe.

Mais après je vois pas trop comment me servir de ça pour montrer que cette application est une bijection :\

Je n'ai fait que reformuler l'injectivité et la surjectivité de . Il te suffit d'écrire les définitions respectives.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Wrandall]

Ou sinon j'ai pensé à quelque chose qui me semble plus simple,

J'ai montré que

( φ o φ ) ( σ ) = σ o τ o τ = σ
=> φ o φ = id
Donc φ = φ^-1

Donc puisque φ admet une application reciproque alors elle est bijective

[toothpick-charlie]

en fait pour la question 1) tu n'as pas vraiment besoin de savoir que Tn est le groupe symétrique. Tu peux suivre le même raisonnement dans n'importe quel groupe, sauf qu'ici l'inverse de tau est encore tau, mais dans un groupe tout élément a un inverse et donc c'est facile de trouver l'inverse de phi.