comment démontrer que cette fonction est constante

[invite29055bb9]

Salut à tout
Soit f fonction numérique définie sur R et continue chez 0 :
∀x∈R ; f(2x) = f(x)
Démontrer que f est constante
Comment répondre à ce question ?
Et merci d’avance à tout

-----

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Vous savez que votre fonction est continue en 0, ce qui signifie par la caractérisation séquentielle de la continuité que si une suite (x_n) tend vers 0 alors la suite (f(x_n)) tend vers f(0).

Pour montrer que f(x)=f(0) l'idée sera donc d'essayer de construire une suite (x_n) qui tend vers 0 tout en vérifiant f(x_n)=f(x) ce qui permettra de conclure.

[Seirios]

Une remarque pour te mettre sur la voie : l'égalité peut également s'écrire f(x)=f(x/2).

[invite29055bb9]

Bonjour,

Vous savez que votre fonction est continue en 0, ce qui signifie par la caractérisation séquentielle de la continuité que si une suite (x_n) tend vers 0 alors la suite (f(x_n)) tend vers f(0).

Pour montrer que f(x)=f(0) l'idée sera donc d'essayer de construire une suite (x_n) qui tend vers 0 tout en vérifiant f(x_n)=f(x) ce qui permettra de conclure.

Tout d’abord merci bien mon prof .
et Si je comprends . Notre fonction continue chez 0 ce qui indique ⁡〖lim┬(n→0) f〗⁡〖〖(x)=f(0)〗^1 〗
C’est-à-dire :
si nous choisissons la suite ( Xn )=1/n
lim┬(n→∞)⁡〖(1/n)^1 〗=0
lim┬(n→∞)⁡〖f(1/n)^1 〗=f(0)

Est-ce-que mon démarrage comme ça est juste ?
Si il est juste que-ce-que je fais pour terminer jusqu’à la fin parce que je ne peux pas de montrer que f(x)=f(0)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite29055bb9]

Une remarque pour te mettre sur la voie : l'égalité peut également s'écrire f(x)=f(x/2).

merci beaucoup mais je ne comprends

[PlaneteF]

et Si je comprends . Notre fonction continue chez 0 ce qui indique ⁡〖lim┬(n→0) f〗⁡〖〖(x)=f(0)〗^1 〗
C’est-à-dire :
si nous choisissons la suite ( Xn )=1/n
lim┬(n→∞)⁡〖(1/n)^1 〗=0
lim┬(n→∞)⁡〖f(1/n)^1 〗=f(0)

Bonjour,

C'est pas très clair tes hiéroglyphes ... de toute manière ce n'est pas la bonne suite qu'il faut utiliser.

Ce que voulait dire Seirios avec son tuyau, c'est que :

Cela devrait te mettre sur la voie pour déterminer une suite qui convienne.

[invite29055bb9]

Bonjour,

C'est pas très clair tes hiéroglyphes ... de toute manière ce n'est pas la bonne suite qu'il faut utiliser.

Ce que voulait dire Seirios avec son tuyau, c'est que :

Cela devrait te mettre sur la voie pour déterminer une suite qui convienne.

lorsque je les écrit en word ils été clairs mais lorsque je les collé en forum deviennent pas clair. et en tout cas je suis désolé .
pour vos réponses je compris que vous me dites mais je ne peux pas appliquer les idées qu'ils vous me donnez . j'essaye de faire ce question beauccoup des fois et je ne peux pas le faire .
s'il vous plais j'espère que vous m'expliquer plus simple que ça .
et merci d'avance .

[gg0]

OK.

Soit x un réel non nul. Que peux-tu dire de la suite
.
Quelle est sa limite (2 réponses puisque f est continue).
Conclusion.

Maintenant, c'est à toi de faire le travail, c'est ton exercice.

Cordialement.

[invite29055bb9]

OK.

Soit x un réel non nul. Que peux-tu dire de la suite
.
Quelle est sa limite (2 réponses puisque f est continue).
Conclusion.

Maintenant, c'est à toi de faire le travail, c'est ton exercice.

Cordialement.

merci bien mon prof . maintenant je peux atteindre à : f(x) = f(0) .
est-ce-que ce résultat est insuffisant pour dire f est constante ? de ma part oui
pour le chois de la suite . on peut choisir autre suites tels que 1/n , 2x/n , 2x/n , 3x/4^n ....etc . n'est-ce-pas ?

[invite29055bb9]

OK.

Soit x un réel non nul. Que peux-tu dire de la suite
.
Quelle est sa limite (2 réponses puisque f est continue).
Conclusion.

Maintenant, c'est à toi de faire le travail, c'est ton exercice.

Cordialement.

merci bien mon prof . maintenant je peux atteindre à : f(x) = f(0) .
est-ce-que ce résultat est insuffisant pour dire f est constante ? de ma part oui
pour le chois de la suite . on peut choisir autre suites tels que 1/n , 2x/n , 2x/n , 3x/4^n ....etc . n'est-ce-pas ?

[inviteaf48d29f]

merci bien mon prof . maintenant je peux atteindre à : f(x) = f(0) .
est-ce-que ce résultat est insuffisant pour dire f est constante ? de ma part oui

Vous avez réussi à démontrer que pour tout x vous avez f(x)=f(0), c'est à dire qu'en tout point la fonction prend la même valeur qu'en 0. Si vous pensez que c'est insuffisant pour dire que la fonction est constante, qu'est-ce que c'est pour vous une fonction constante ? Définissez la constance d'une fonction.

[PlaneteF]

pour le chois de la suite . on peut choisir autre suites tels que 1/n , 2x/n , 2x/n , 3x/4^n ....etc . n'est-ce-pas ?

Il faut choisir une suite qui te permette d'exploiter la propriété . Par exemple la suite ne le permet pas.

P.S. : Je serais curieux de voir la rédaction de ta démonstration, ... car si tu poses cette question, je me demande si le raisonnement que tu as fait est vraiment correct ?!

[gg0]

Oui, PlaneteF,

cette fin de message est bien l'indice d'une non compréhension. J'ai un peu l'impression que Chromosoma n'a pas compris pourquoi on lui a proposé de faire ça !!

Cordialement.

[invite29055bb9]

Vous avez réussi à démontrer que pour tout x vous avez f(x)=f(0), c'est à dire qu'en tout point la fonction prend la même valeur qu'en 0. Si vous pensez que c'est insuffisant pour dire que la fonction est constante, qu'est-ce que c'est pour vous une fonction constante ? Définissez la constance d'une fonction.

je veux dire que : est-ce-que ce résultat est suffisant pour dire f est constante ? de ma part oui
je ne sais pas pourquoi j'ai écrit insuffisant il est vraiment grande faute

désolé pour cette faute

je rie à moi

[invite29055bb9]

Oui, PlaneteF,

cette fin de message est bien l'indice d'une non compréhension. J'ai un peu l'impression que Chromosoma n'a pas compris pourquoi on lui a proposé de faire ça !!

Cordialement.

si vous avez un peu l'impression que Chromosoma n'a pas compris il est mieux expliquer autre fois

[invite29055bb9]

Il faut choisir une suite qui te permette d'exploiter la propriété . Par exemple la suite ne le permet pas.

mais comment je connais que la suite me permette d'exploiter la propriété ?

[gg0]

Donc j'avais bien raison,

tu ne comprends pas vraiment ce qu'on t'a proposé de faire.

En dehors de la continuité en 0, la seule hypothèse est f(2x)=f(x). Comme on veut savoir ce qui se passe partout, on n'est pas près de 0. Il ne reste à exploiter que f(2x)=f(x).
mais évidemment, on va utiliser la continuité en 0, d'où l'idée d'utiliser une suite qui tend vers 0, et qui est une suite constante puisque la conclusion doit être que la fonction est constante. Pour se rapprocher de 0, 2x n'est pas la bonne idée. Mais il n'y a pas besoin d'être intelligent pour penser que x est le double de sa moitié, et donc qu'on pourra passer à x/2. Et justement, en divisant par 2 de façon répétée, on se rapproche de 0.

Mais tout ça est sous-entendu dans les aides qui t'ont été apportées. Manifestement, tu n'avais pas réfléchi au rapport entre les propositions qui t'ont été faites et l'énoncé (as-tu compris le premier message de Seirios, qui te faisait remarquer que l'hypothèse s'écrit aussi f(x)=f(x/2) ? As-tu seulement vérifié que c'est vrai ?).

Cordialement.

NB : Quand j'ai un doute sur le fait que quelqu'un ait compris, je ne sais pas ce qu'il ne comprend pas. Donc expliquer, oui, mais quoi ???

[invite29055bb9]

. d'où l'idée d'utiliser une suite qui tend vers 0, et qui est une suite constante puisque la conclusion doit être que la fonction est constante.

il me semble que la suite Un=x/2^n est pas constante car U0 ≠ U1 ≠U2 ...
et nous , il faut choisir une suite constante .n'est-ce-pas?

[invite29055bb9]

et comment je connais que la suite me permette d'exploiter la propriété f(x)=f(2x)?

[gg0]

En regardant !

1/n , 2x/n , 2x/n , 3x/4^n ....etc le permet-il ? Si oui, explique.

Un=x/2^n le permet-il ? si oui, explique.

le permet-il ? si oui, explique.

En tout cas, si tu veux comprendre, c'est à toi de réfléchir. Nous, on a compris, on a réfléchi.

Rappel : l'hypothèse est f(x)=f(2x).

Bonne réflexion !

[PlaneteF]

et comment je connais que la suite me permette d'exploiter la propriété f(x)=f(2x)?

La réponse à cette question est dans le message#6 de manière quasi-explicite.

[invite29055bb9]

moi je ne comprend pas que vous voulez me dire et vous ne comprenons pas que moi veux vous dire .
en tout cas merci bien pour tous vos réponses
au revoir

[invite6462dd6d]

Supposons que f(x) ne soit pas une fonction constante. Alors f'(x) serait différente de zéro en x. Supposons que f'(x):=a en x.
Sachant que f(x)=f(2x), si f(x) n'est pas constate, f(2x) non plus et comme f(x)=f(2x), la dérivée de f(2x) doit être égale à celle de f(x), i.e. a.
Or (f(2x))'=2f'(x)=2a. Une contradiction, sauf si f(x) est constante auquel cas f(x) ne dépend plus de x et sa dérivée est nulle.
cqfd

[invite6462dd6d]

Supposons que f(x) ne soit pas une fonction constante. Alors f'(x) serait différente de zéro en x. Supposons que f'(x):=a en x.
Sachant que f(x)=f(2x), si f(x) n'est pas constate, f(2x) non plus et comme f(x)=f(2x), la dérivée de f(2x) doit être égale à celle de f(x), i.e. a.
Or (f(2x))'=2f'(x)=2a. Une contradiction, sauf si f(x) est constante auquel cas f(x) ne dépend plus de x et sa dérivée est nulle.
cqfd

Là c'est mieux :
Supposons que f(x) ne soit pas une fonction constante.
- (i) Soit x tel que f'(x) est différente de zéro en x (f'(x):=a par exemple). Sachant que f(x)=f(2x), la dérivée de f(2x) doit être égale à celle de f(x), i.e. a. Or (f(2x))'=2f'(x)=2a. Une contradiction, sauf si f(x) est constante auquel cas f(x) ne dépend plus de x et sa dérivée est nulle.
- (ii) Soit x* tel que f'(x*)=0 alors f atteint un extrémum en x*, mais comme on vient de montrer en (i) que f est une fonction constante, f(x*) n'est autre que f(x).
cqfd

[PlaneteF]

Suppression : Croisement de messages

[invite6462dd6d]

PlanèteF : faut lire jusqu'au bout . Je suppose ... pour aboutir justement à une contradiction. Ca s'appelle une démonstration par l'absurde, non ?

[PlaneteF]

PlanèteF : faut lire jusqu'au bout . Je suppose ... pour aboutir justement à une contradiction. Ca s'appelle une démonstration par l'absurde, non ?

Manifestement tu n'as pas compris ce qu'était un raisonnement par l'absurde.

J'avais supprimé mon message parce j'ai vu ensuite que tu faisais une rectification, ... mais manifestement ce que tu avais écrit en première intention ne te choque pas plus que cela, ... donc je vais remettre le message.

Supposons que f(x) ne soit pas une fonction constante. Alors f'(x) serait différente de zéro en x.

Donc je réécris ce que j'avais supprimé --> " Ben dis donc, elle démarre fort ta démonstration "

Là c'est mieux :
Supposons que f(x) ne soit pas une fonction constante.
- (i) Soit x tel que f'(x) est différente de zéro en x (f'(x):=a par exemple). Sachant que f(x)=f(2x), la dérivée de f(2x) doit être égale à celle de f(x), i.e. a. Or (f(2x))'=2f'(x)=2a. Une contradiction, sauf si f(x) est constante auquel cas f(x) ne dépend plus de x et sa dérivée est nulle.
- (ii) Soit x* tel que f'(x*)=0 alors f atteint un extrémum en x*, mais comme on vient de montrer en (i) que f est une fonction constante, f(x*) n'est autre que f(x).
cqfd

30 milliards de choses à dire sur ce que tu viens d'écrire, ... allez au hasard :

(f(2x))'=2f'(x)

[gg0]

Bonjour Evens_salies.

Où as-tu vu que f est dérivable ? Elle n'est même pas supposée continue, sauf en 0.

Cordialement.

[inviteaf48d29f]

Supposons que f(x) ne soit pas une fonction constante. Alors f'(x) serait différente de zéro en x.

En fait c'est tout simplement cette première ligne qui est fausse. Il est tout à fait légitime d'essayer de faire un raisonnement par l'absurde et vous avez le droit de supposer que f n'est pas constante dans le but de parvenir à une contradiction. Le problème c'est que la non constance de f n'implique pas du tout qu'il existe x tel que f'(x)≠0.
Il existe des fonctions non constantes qui ne sont pas dérivables. Par exemple la fonction partie entière qui n'est pas constante et dont la dérivée est nulle partout où elle est définie.

Or (f(2x))'=2f'(x)=2a

Non, même si f était dérivable en 2x la formule serait (f(2x))'=2f'(2x) ce qui ne vous aide pas beaucoup.

[inviteaf48d29f]

Oh j'oubliais un autre élément

Soit x* tel que f'(x*)=0 alors f atteint un extrémum en x*

Il va falloir réviser vos théorèmes.

Si f est une fonction dérivable et que sa dérivée s'annule en changeant de signe en x* alors f admet un extremum local en x*