Valeurs propres d'un opérateur compact.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Existe-il une méthode numérique permettant de trouver les valeurs propres d'un opérateur compact ?

Merci d'avance.
-----

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Cela dépend:

Pour un opérateur sur un espace vectoriel de dimension finie et si ces valeurs propres existent*: oui (il y a une palanquée de méthodes).

En général, si ces valeurs propres existent: non; sauf cas particuliers où une expression analytique peut être calculée (à la main ou par un logiciel de calcul formel).

*Par exemple, une matrice de rotation n'admet pas de valeurs propres dans R, mais bien dans C.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Merci pour ta réponse.

Est ce que tout opérateur compact peut se mettre sous forme d'un opérateur à noyau ? ( Voir ici ce qu'est un opérateur à noyau : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...int%C3%A9grale )
Si oui, il me semble qu'il soit plus facile de trouver les valeurs propres d'un opérateur à noyau que celui d'un opérateur compact ? Est ce que c'est vrai ?

Merci d'avance.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Mes souvenirs sur les opérateurs compacts sont trop lointains pour que je puisse répondre de manière catégorique.

Il me semble que les opérateurs à noyaux ne sont pas forcément compact, mais je ne sais pas si l'inverse est vrai (à priori je dirais non, mais sans certitude). Il faudrait trouver un théorème qui l'affirme ou un contre-exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[La Limule]

Une chose intéréssante est que les opérateurs compacts sont plus petits que les opérateurs non compacts
https://math.stackexchange.com/quest...perators-small
Connes a écrit que ces opérateurs formalisent les infinitésimaux dont parlait Newton
https://vimeopro.com/user53267605/hi...ideo/328803321

J'avais cité cette vidéo dans l'hommage a Dixmier
mais réécoutéz le passage sur les opérateurs compacts et sur les ordreq alpha inférieur a 1

[La Limule]

J'aimerais poser une une autre question à propos de ces opérateurs compacts et de leurs valeurs propres:
Prenons un opérateur compact A opérant sur un espace de Hilbert H de dimension infinie,
On considèson le produit
Ses valeurs propres sont positives et on peut consisérer leurs racines carrées (positives)
Il me semble qu'elles sont appelées valeurs singulières
On obtient un ensemble infini dénombrable de valeurs positives
Peut on en établir une liste non croissante? avec un plus grand élément? tendant vers zéro quand l'indice tend vers l'infini?

Merci de me signaler s'il y a des ambiguités dans l'énoncé.