séries de puissances d'entiers

[La Limule]

Bonjour,
Il me semble bien m'etre posé ce problème il y a bien 50 ans...
et j'ai des trucs qui ne me reviennent pas spontanément.
J'ai une suite
(alpha est un nombre positif réél et n fait partie des entiers supérieurs a 0)
Je me pose la question de la convergence de la série associée
pour quel alpha commence t elle a converver vu que pour alpha = 0 on une somme de nombres tous égaux a 1.
Si alpha = 1 on a une divergence logarithmique.
peut etre que ca converge pour alpha > 1 ?
J'aimerais trouver un calcul de ce alphau frontière.
merci
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[Resartus]

Bonjour,
C'est la série de Riemann, qui converge en effet si alpha>1 (ou plus précisément, si Alpha est complexe, quand Re(alpha)>1
Ce lien indique que cela peut se démontrer en utilisant une majoration par l'intégrale de 1/x^alpha...
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Riemann

[La Limule]

Merci pour ce lien,
je ne connaissais pas cette méthode de comparaison avec une intégrale.

[stefjm]

Et la régularisation de Dirichlet permet d'avoir convergence vers une valeur de la fonction zeta de Riemann.

[A voir en vidéo sur Futura]

[La Limule]

A l'origine de ma question qui parfois divergent et ensuite convergent il y a la découverte des
limites généralisées et du théorème de Hahn Banach:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...de_Hahn-Banach
on y parle d'une application sous linéaire de d'EV V dans les rééls R
si je je regarde l'article
https://fr.wikipedia.org/wiki/Applic...0l'origine.
On y lit que si on a comme auparavent un espace vectoriel V
alors une applicaction de V dans V union +infini
est sous linéaire si....etc
dans le premier lien on ne parlait de sous linéarité que pour un application de V dans R (sans l'infini)
Est ce une convention d'écriture?
le prmier lien parlait de sons linéarit

[La Limule]

On a là deux articles différents de wikipédia sans doute écrits par deux
personnes différentes ou la cohérence peut poser probleme.
il me semble que c'est plutot le second qui pose problème
l'article anglais
https://en.wikipedia.org/wiki/Sublinear_function
n'introduit pas l'infini dans la définition des application sous linéaires.

[gg0]

Bonjour.

Suivant les contextes, on aura besoin ou non de +oo. Ce qui explique deux définitions légèrement différentes, en fonction des auteurs. Il ne s'agit pas d'une divergence, seulement de situations différentes.

Cordialement.

NB : ton message #5 est en partie incompréhensible. Peux tu te relire avant de valider ?