0,999999… = 1

[Liet Kynes]

en fait c'est le principe de la suite non, l'on y ajoute précisément ad lib toujours quelquechose... donc n'est-il pas vain de faire ce que l'idée même de suite fait de soi-même fort bien , non ?

Effectue l'opération suivante 1-0.999...=
Qu'obtiens tu ?
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[JJacquelin]

Bien que je craigne que ce soit hors niveau du sujet de cette discussion, il me semble que seule l'Analyse Non Standard répond à 0,00000...=0 ou à 0,9999999...=1 et à bien d'autres questions du même acabit.

[pm42]

il me semble que seule l'Analyse Non Standard répond à 0,00000...=0 ou à 0,9999999...=1 et à bien d'autres questions du même acabit.

Le fil a justement expliqué le contraire : on y répond très bien sans l'analyse non standard. Celle-ci propose d'autres outils pour traiter d'autres questions.

[gg0]

Non, la réponse de GBZM au message #2 montre qu'en appliquant les définitions classiques des écritures classiques des réels en développement décimal illimité on justifie parfaitement ces écritures. C'est connu depuis bien avant l'invention de l'ANS, et l'utilisation des infiniment petits aux dix- septième et dix-huitième siècles ne venait que de l'absence d'une définition précise des limites. Depuis Cauchy, il n'y a plus de mystère.

Cordialement.

NB : Le renvoi à l'ANS est dangereux, il permet à des baratineurs de refuser d'appliquer les règles habituelles des maths et de gloser sur des "restes" et autres "rajouts à la fin".

[stefjm]

Avec le recul, je suis presque plus gêné par le fait que 1/3 n'a qu'une seule représentation décimale que pour les deux représentations décimale de 1.
Ressenti tout personnel...

[pm42]

Avec le recul, je suis presque plus gêné par le fait que 1/3 n'a qu'une seule représentation décimale que pour les deux représentations décimale de 1.

En même temps vu que les nombres qui acceptent deux représentations décimales doivent être de longueur nulle dans R à la louche, 1/3 n'est pas tout seul, il est même dans l'écrasante majorité.

[Liet Kynes]

Dans le lien wikipedia qui donne des explications, il y a quelque chose qui me fait poser une question:

Wikipedia:

Dans le cas particulier de 0,999… = 1, cette démonstration s'écrit simplement :




Selon cela l'égalité suivante serait possible ? :

On défini n comme la valeur des trois petits points quand la limite de n est l'infini on aurait
0.333...*6=1.999...8=2 ?

[gts2]

On défini n comme la valeur des trois petits points quand la limite de n est l'infini on aurait : 0.333...*6=1.999...8=2 ?

J'écrirai plutôt

[Liet Kynes]

ben oui mais est-ce que cela donnerai aussi ?
La limite est définie par la position des trois petits points

[gts2]

ben oui mais est-ce que cela donnerai aussi
La limite est définie par la position des trois petits points

ben non, puisque justement les trois petits points indiquent que cela se répète à l'infini, il ne peut rien y avoir après les ...

[Liet Kynes]

Donc la notation dans wikipedia est fausse

[pm42]

Donc la notation dans wikipedia est fausse

Non, c'est une variante de la notation où on met quelque chose après en indiquant le "n" avec l'accolade horizontale pour dire combien il y en a.
C'est une notation pour indiquer quelque chose de fini alors que les ... sans rien derrière sont pour de l'infini.

[gts2]

Donc la notation dans wikipedia est fausse

Non :
la série s'écrit :
et le lien wikipedia donne le terme général d'ordre n de la série (vocabulaire à revoir par les mathématiciens ...) : qui lui n'est pas égal à 0 mais à

[Liet Kynes]

Non, c'est une variante de la notation où on met quelque chose après en indiquant le "n" avec l'accolade horizontale pour dire combien il y en a.
C'est une notation pour indiquer quelque chose de fini alors que les ... sans rien derrière sont pour de l'infini.

Il y a quand même une égalité qui dit 1/10^n=0 avec n infini reliée à la notation par un "et" donc n infini serait utilisable: pour moi c'est pas super bien présenté de cette façon-là après, je ne sais pas faire mieux. Le plus simple et ce qu'à dit mach3

Entre deux réels, on peut toujours trouver un autre réel. Si on ne peut pas, c'est que ces réels sont égaux.

[pm42]

La notation dit que la limite est égale à 0 quand n tends vers l'infini.
Si tu ne connais pas les bases des maths, tu ne devrais pas critiquer et encore moins en oubliant 50% de ce qui est écrit à chaque fois.

[gg0]

Liet Kynes : Si n est "infini", ce n'est pas un entier, et la notation 10^n n'a pas le sens d'être un réel. Elle existe bien, mais dans un sens très différent de ce que tu veux dire.
Il n'y a rient de tel pour raconter n'importe quoi que de faire des "calculs" avec l'infini sans savoir de quoi on parle. Depuis le temps qu'on te dit de ne pas écrire n'importe quoi, de ne pas parler sans savoir, tu aurais dû progresser, tu ne devrais pas en être encore là.

[Liet Kynes]

Je trouve juste que ce n'est pas forcement très judicieux pour expliquer: cela peut laisser penser au lecteur que n puisse être infini dans l'égalité à cause du "et" qui peut être interprété comme une concomitance entre l'égalité et la limite. J'ai justement bien fait cette différence (pour une fois)

[gg0]

Ben non ! C'est toi qui fais la confusion ! Les notations sont bien parlantes, même si on utilise à chaque fois la notation "...". Mais évidemment, avec un peu de mauvaise foi ...

[pm42]

Je trouve juste que ce n'est pas forcement très judicieux pour expliquer: cela peut laisser penser au lecteur que n puisse être infini dans l'égalité à cause du "et" qui peut être interprété comme une concomitance entre l'égalité et la limite. J'ai justement bien fait cette différence (pour une fois)

Merci. On attendait que tu nous expliques comment changer toutes les notations mathématiques pour que les gens qui ne connaissent pas le sujet comprennent.
Tu nous préviens quand l'Unesco t'a appelé pour mettre en œuvre tes idées à l'échelle mondiale ?

Ou bien tu redescends sur terre et tu arrêtes de raconter n'importe quoi sur un sujet qui t'échappe totalement comme un troll de base ?

[Liet Kynes]

Bon les maths sont un sujet qui me dépassera toujours.

[gg0]

Ben... Il faut en faire, pas baratiner sur des idées approximatives. Et c'est tout de suite très contraignant. Ceux qui n'acceptent pas cette contrainte ne pourront même pas en parler correctement.

Cordialement.

[stefjm]

Bon les maths sont un sujet qui me dépassera toujours.

La difficulté, c'est que certains raccourci qui paraissent intuitifs sont parfois corrects et parfois incorrects.

[pm42]

La difficulté, c'est que certains raccourci qui paraissent intuitifs sont parfois corrects et parfois incorrects.

Non, aucun raccourci et aucune intuition ne sont corrects tant qu'on n'a pas une très sérieuse formation. Et même quand c'est le cas, on vérifie rigoureusement avant de parler sinon on passe pour un joyeux rigolo au mieux, pour quelqu'un qui se fait pourrir par le prof ou l'examinateur si ce dernier est un peu compétent.

Les maths, c'est d'abord l'école de la rigueur et quand on maitrise et qu'on est très bon, on peut envisager de devenir plus créatif. Mais très peu de monde peut se le permettre.

[stefjm]

Je ne parle pas de créativité, mais simplement de savoir utiliser correctement les raccourcis, c'est à dire des points admis parce que trop difficile à redémontrer avec des moyens et un temps raisonnables.
On le fait tous à différent niveaux.
Comme pour tout, il y a un juste milieu.

[polo974]

Les trois petits points c'est une suite infini du même chiffre qui précède le premier point comment veux tu placer un chiffre différent au bout de cette suite puisque tu ne peux justement pas aller au bout donc tu ne peux pas écrire 1.999...8

Mais est-ce que Chuck Norris le peut?

Ok, en courant...

[albanxiii]

Mais est-ce que Chuck Norris le peut?

Ok, en courant...

Chuck Norris a déjà compté jusqu'à l'infini. Deux fois.


Je vous suis...

[oualos]

J'avais appris il y a longtemps que tout nombre est limite d'une suite.
C'est une question d'axiomatique mais je suis pas assez calé pour en parler, il faut se référer à Dedekind et Cauchy et encore quelques autres....
À partir de là peut-on confondre le résultat soit la limite et la suite ou sa sommation ?
Dans Wiki, l'ambiguité est assez bien expliquée et détaillée: toutes ces discussions font progresser les mathématiques, au moins une chose de sûre

[gg0]

"... tout nombre est limite d'une suite."
Oui, Oualos.

Soit x un nombre. x est la limite de la suite constante égale à x : la suite x,x,x,...
Mais c'est une évidence.

Sans doute confonds-tu avec la construction des réels comme classe d'équivalence de suites de rationnel. Mais pas comme limite. Et il y a d'autres façons de les définir (coupures de Dedekind, ...).

Là où je ne suis plus, c'est à la fin : "toutes ces discussions font progresser les mathématiques, au moins une chose de sûre " ??? De quoi parles-tu, manifestement pas des baratins apparus sur ce fil de discussion; pas non plus de Wikipédia, qui ne fait pas progresser les mathématiques, mais reprend les contenus classiques. Donc de quoi parles-tu ?

Cordialement.

[stefjm]

Perso, j'avais des souvenirs du genre :

Les rationnels forment une partie dense de R ie tout réel est la limite d’une suite de rationnels.

C'est devenu faux cette histoire?

[gg0]

Non, ce n'est pas faux, c'est même généralisable : Tout nombre complexe est limite d'une suite de rationnels complexes. Et le fait que Q soit dense dans R dit même bien plus, ça implique que tout réel est limite d'une infinité de suites rationnelles distinctes (*).
Mais "... tout nombre est limite d'une suite" est tellement une évidence ....

Et tout ça n'a pas grand chose à voir avec le sujet.

Cordialement.

(*) distinctes par leurs termes ultimes, car sinon, c'est une évidence, il suffit de changer de premier terme.