Sens de dy, dx

[jall2]

Bonjour

dy/dx représente la dérivée de la fonction y de la variable x.

Mais que représente dy et dx quand on les sépare comme dans l'exercice suivant ?


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[gg0]

Bonjour.

Il y a plusieurs façons de voir :
* Une écriture relâchée de l'équation différentielle x sin(y/x)y'(x)=y sin(y/x)-x; écriture autrefois pratique quand les machines à écrire ne travaillaient que sur la ligne.
* Et de la même façon, une écriture "à la physicienne", dx représentant une portion très petite de x, et idem pour dy.
* Une écriture de différentielles (théorie élémentaire : si y=f(x), alors dy=f'(x) dx; pure convention d'écriture)
* Une égalité de formes différentielles, dont on veut retrouver l'antécédent en résolvant.
* Une écriture en analyse non standard.
* Et peut-être d'autres que je ne connais pas ...

En tout cas, en se plaçant dans un intervalle de valeurs de x où x sin(y/x) ne s'annule pas, on se ramène de façon évidente à une équation différentielle de la forme y'=f(x,y) dont les théorèmes élémentaires justifient qu'elle a des solutions. Et ce type d'écriture ne peut pas fausser les résultats.

Cordialement.

[La Limule]

Qund on écrit dx ou dy on a intuirivement l'idée que c'est queque chose tres petit (plus petit que tout nombre donné a l'avance ) sans etre pourtant nul. mas ca pose probleme
Alain Connes a décrit cette situation:
prenez une cible de fléchettes et un point quelconque sur celle ci (mais pas au centre)
une droite passe par le centre et ce point.
choisissez un axe faisant un angle avec lui dont la valeur est irrationnelle.
cet axe coupe la cible en deux et on a une chance sur deux pour un lancer de tomber dans le bon
demi plan. on continue avec des quats de cible des 1/8 etc
et a chaque fois la probabilité diminue en tendant vers 0.
pour chaque poin la probabilité de tomber juste sur un point choisi aindi est donc nulle
et c'est vrai pout tout point et poutant a chaque foin un (bon) lanceut plante sa fléchette quelque part.
c'est le paradoxe des infinitésimaux : ils ne sont pas nuls.

[La Limule]

C'est l'analyse non standrad qui a formalisé ce genre d'objet mathématique:
nos nombres habituels sont dit standards et l'analyse standard leur ajoute des nombres non srandarts non nuls
et plus petits que tout nonbre standard epsilon.
C'est bien l'idée intuitive qu'on avait d'un dx ou dy
De plus on peut multiplier ou diviser ces nombres infinitésimaux
dy/dx a un sens, on peut les comarer entre eux , parler de leurs ordres de grandeurs etc

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Bonjour,

C'est l'analyse non standrad qui a formalisé ce genre d'objet mathématique:

Non, c'est faux. D'une part, la formalisation de comme forme différentielle n'a pas attendu l'analyse non standard. D'autre part, l'analyse non standard ne donne pas de sens à ; ce serait quel infiniment petit, précisément ? Quel élément du halo de 0 ?

[gg0]

Bonjour.

En fait, ces notations datent d'une époque où la notion de limite n'était pas formalisée, et dx représentait une "quantité évanouissante", plus proche de 0 que tout nombre non nul. Ce qui manquait totalement de sérieux, comme le fit remarquer l'évêque Berkeley à Leibnitz, en défendant les notations de Newton (dont la méthode n'était pas plus mathématique - d'ailleurs il ne l'utilise nulle part dans ses "Principia"). Mais c'était tellement pratique qu'on a fini par l'adopter, et d'une façon intuitive, ça ramène à la définition de la dérivée, qu'on traite depuis 200 ans avec des limites (limite de l'augmentation de y(=f(x)) divisée par l'augmentation de x).

Cordialement.

[ThM55]

Dans le contexte des formes différentielles, le symbole intervient dans la définition de la différentielle d'une fonction. Si est une fonction différentiable définie sur une variété différentiable (qui peut être simplement ), la différentielle de f en un point x est une application linéaire de l'espace tangent à M en x (qui est aussi dans le cas simple) dans . Cette application linéaire peut être définie par exemple par son application au vecteur vitesse d'une courbe dans la variété passant par x comme la dérivée directionnelle de f le long de ce vecteur vitesse.

La différentielle de la fonction f sur M (donc non liée à un point particulier) est alors une application du fibré tangent dans définie comme ci-dessus sur chaque fibre.

Cette différentielle est une 1-forme algébrique sur chaque qui, de plus, est différentiable par rapport à x.

Les notations se définissent alors comme pour toute fonction, pour des coordonnées qui sont définies sur la variété, en considérant ces coordonnées comme des fonctions sur cette variété. Elles forment une base des 1-formes différentiables.

Voir ici: https://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_diff%C3%A9rentielle et références sur cette page (toutefois je n'aime pas tellement le livre d'Henri Cartan, lecture difficile).