Analyse et fonctions trigonométriques

[alexsimon]

Bonjour,

Pourriez-vous m'indiquer s'il est possible de trouver une formule analytique pour trouver l'amplitude (c'est-à-dire valeur maximum moins valeur minimum) de la fonction suivante :

f(S) = a*sin(S) + b*cos(S) + c*sin(2*S) + d*cos(2*S) avec S variant de 0 à 2*pi et a,b,c,d des coefficients (fixés) dans R (réels)

Merci d'avance pour votre aide.
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[Resartus]

Bonjour,
En théorie, oui.
Une méthode possible : calculer la dérivée (étape facile), puis exprimer cette dérivée en fonction de t=tg(S/2), ce qui va donner une fraction polynomiale contenant (1+t^2)^2 au dénominateur et un numérateur du 4ème degré en t (étape pas trop compliquée))
Ensuite "il suffit" de trouver les racines du numérateur, donc équation du 4ème degré, ce qu'on sait résoudre par radicaux depuis le 16ème siècle (méthode de Ferrari). On va trouver selon les cas 2,3, ou 4 racines réelles. Ensuite réintroduire ces 2,3 ou 4 valeurs de t dans la formule de f(S), pour trouver le max et le min.
Si vous avez déjà vu les formules de cette résolution du polynome du 4ème degré (voir par exemple ici)
http://www.galois.ihp.fr/ressources/...par%20radicaux.
vous comprendrez que c'est pratiquement inextricable, sauf valeurs particulières de a, b, c, d.

[gg0]

Bonjour.

Avec des formules classiques on transforme en

où A et f s'expriment en fonction de a et b, et B et g en fonction de c et d.
La méthode de Resartus est alors plus simple à appliquer. Bien entendu pour des valeurs connues de a, b, c et d.
Y a t'il un contexte particulier ?

Cordialement.

[pm42]

A titre indicatif, Wolfram Alpha donne les points où la dérivée s'annule et c'est effectivement des expressions très lourdes.
Je ne sais pas quel est le besoin mais s'il est concret, une recherche numérique est sans doute plus efficace.

[A voir en vidéo sur Futura]

[alexsimon]

Bonjour,
Merci à Resartus et gg0 pour vos réponses éclairées.
Quelques précisions sur les coefficients a,b,c,d : ils sont obtenus par régression linéaire multiple sur des mesures de surveillance et suivent globalement une sinusoïde d'harmonique 2. Je cherche à automatiser le calcul de l'amplitude sans faire une manoeuvre numérique inélégante qui qui consiste à balayer finement toutes les valeurs de S.
Je connaissais Cardan mais j'avais oublié qu'on pouvait en fait judicieusement l'appliquer pour résoudre tous les polynômes de degré 3. Merci ! Et Ferrari je ne connaissais pas mais j'ai bien compris le principe.
Au final ça fait quand même pas mal de changements de variables... La méthode gg0 permet sans doute de simplifier un peu. Je pensais aussi initialement développer cos2S=cosS^2-sinS^2 mais ensuite ça amène des racines carrées si l'on veut tout exprimer en fonction de sinS ou cosS.
Et merci beaucoup pour le lien, il est très clair et intéressant et répond à ma question sur les polynômes de degré 5
Pour moi le sujet est clos, sauf si quelqu'un a une idée miracle ?! (mais les coefficients a,b,c,d sont vraiment des décimaux presque quelconques, même si en général c'est l'harmonique 1 qui domine !)

[Resartus]

Bonjour,
Plutôt qu'un balayage, une recherche des zero de la dérivée par la méthode de newton serait plus efficace et plus rapide (et pas trop difficile à programmer)

Si le terme de fréquence double est toujours plus faible que le fondamental, on peut se contenter de prendre comme points de départ des itérations les max et min du fondamental après la transformation indiquée par gg0 des a*cos(S)+b*sin(S) en A.sin(S+f)

Si on n'est pas sûr que l'harmonique soit toujours faible, cela marchera toujours en utilisant systematiquement comme points de départ les 4 extrema de la fonction Bsin(2S+g) . Quatre Newton, puis comparaison des 4 valeurs trouvées pour F(S). Programme un peu plus long à écrire...