Je ne comprends rien aux portraits de phase

[VictimairW3b]

Salut tout le monde, j'espère que je ne vais pas vous inonder de sujets les jours qui viennent, je suis en préparation intensive de mes partiels.... Merci beaucoup

Prenons une matrice A 2x2 et X'=AX

Définition : partitions constituée des orbites de A, donc pour une valeur X0=x0,y0 donnée, j'ai une trajectoire, l'image d'une solution de X'=AX passant par ce point.

Je ne comprends pas du tout comment obtenir toutes ces trajectoires... Dans un portrait, il y a l'abscisse et l'ordonnée, qu'y a-t-il en abscisse ??? et en ordonnée ??

Prenons l'exemple de A=[1 3] [3 1], j'ai des VP 4 et -2, associées à 1 1 et à -1 1 comme vecteurs.

D'après mon cours, je trace les droites dirigées par ces vecteurs, qui forment une croix. Comment obtenir tout le reste maintenant ??

https://media.discordapp.net/attachm...08&height=1066

Merci beaucoup, j'ai vraiment besoin d'éclaircissements car je ne trouve pas de cours clairs.

Mon cours : https://www.imo.universite-paris-sac...-cours-EDO.pdf
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[VictimairW3b]

Disons que je veux tracer la trajectoire associée au point 0 1, comment je fais ?

[VictimairW3b]

re tout le monde

je viens de comprendre que ces trajectoires étaient en fait des courbes paramétrées passant par certains points

mais je ne vois toujours pas comment les tracer, c'est pas évident du tout, d'autant qu'il faut en tracer plusieurs pour obtenir un portrait...

[Anonyme007]

Bonjour,

Tu trouveras toutes les indications requises sur le lien suivant : https://www.imo.universite-paris-sac...P2S3-Chap7.pdf
Regarde entre la page, 17 et la page, 28.
Pour la cas de ton système différentiel, associé aux valeurs propres 4 et -2, il s'agit d'un col, regarde page, 19 du même document.

Dans un portrait, il y a l'abscisse et l'ordonnée, qu'y a-t-il en abscisse ??? et en ordonnée ??

Si on prend une trajectoire , c'est une courbe paramétrée ( reprends ton cours sur les courbes paramétrées ), alors, pour, donnée, est un point géométrique du plan associé à un repère pas nécessairement orthonormé , tel que, a pour abscisse, , et pour ordonnée , .

Edit : Croisement avec le message de VictimairW3b.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Vous savez que (décomposition sur les vecteurs propres) et permet de calculer α et β. Vous avez alors la courbe y(x) en paramétrique.

L'abscisse c'est x, l'ordonnée y.

Réponse pratique

[gg0]

Bonjour Vic.

Tu as tout dit dans cette phrase : "pour une valeur X0=x0,y0 donnée, j'ai une trajectoire, l'image d'une solution de X'=AX passant par ce point."
En notant X=(x(t),y(t)), une solution est une couple (x(t),y(t)), donc justement une courbe paramétrée, une trajectoire. Pour chaque choix de x0 et y0, tu obtiens (généralement) une solution différente, donc une courbe différente, et pour en avoir plusieurs, il te suffit de choisir différentes valeurs de (x0,y0).

Cordialement.

[VictimairW3b]

Merci à tous pour vos réponses.

En effet, l'essence d'un portrait de phase est plus claire pour moi. Mais je ne vois pas comment on en trace aussi facilement.

Tracer une courbe paramétrique n'est pas une mince affaire d'après ce dont je me souviens. D'ailleurs il y en a plusieurs à faire.

Je regarde le document de Anonyme007 et je reviens ici. Merci encore.

[gts2]

Il est demandé de tracer comment ? A la main ?

Ici avec les exponentielles, on un point et les deux asymptotes parallèle à l'une des branches de la croix et parallèle à l'autre. Donc on raccorde ...

[VictimairW3b]

Je ne sais pas vraiment, dans la correction, le portrait est donné sans plus d'explication alors que j'ai l'impression que c'est tout une affaire de tracer un portrait.

Ici, d'après le cours j'ai une croix. Une fois que j'ai tracé ces deux droites, comment je fais le reste ? De quel point parlez-vous svp ?

[gts2]

Je parle de votre point de départ (0,1) qui permet de calculer α et β.

Si c'est un examen papier, on vous demandera une allure : si on se limite aux systèmes linéaires en dimension 2 votre cours dit "Il est indispensable de bien connaître l'allure des portraits de
phase des  equations linéaires autonomes en dimension 2. On vient de voir qu'il suffit de déterminer les portraits de phase pour une seule matrice dans chaque classe de conjugaison"
Dans ce cas, après diagonalisation (ou non !), vous connaissez l'allure, il suffit de placer vos vecteurs propres.
... Mais je ne connais pas le programme de votre partiel ...

[VictimairW3b]

Oui, une allure est demandée aux partiels.

Ok merci gts2, ça me semble beaucoup plus clair.

En gros, je détermine quelle allure est censé avoir mon portrait. Je trace les deux droites en question grâce à la proposition "Si v∈Rn est vecteur propre de A de valeur propre λ∈R, on a A(v) = λv,
et donc etAv = etλv (t ∈R). Une droite propre (pour une valeur propre
non nulle λ ∈R∗), est donc r´eunion de trois orbites : l’origine, et les deux
demi-droites ouvertes."

Et je trace les courbes par rapport à ces deux droites en respectant l'allure, est-ce que c'est tout ?