Dérivé d un polynôme

[Maths]

pourriez-vous m expliquer quelle est l utilité de la dérivé d un polynôme je connais l interprétation de celle d une fonction mais j aimerais découvrir celle d un polynome merci d avance
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[gg0]

Bonjour.

Je suppose que tu veux parler de la dérivation formelle d'un polynôme formel. Dans ce cas, si on est sur un anneau de caractéristique nulle, les résultats classiques sur les fonctions polynômes se retrouvent.

Cordialement.

NB : Pour une suite ou une nouvelle question, il serait agréable que tu trouves la touche apostrophe (') sur ton clavier et que tu précises mieux le cadre de ta question. ici, j'ai fait au mieux avec le peu que tu disais ("polynôme" a plusieurs acceptions).

[MissJenny]

le polynôme dérivé intervient dans la question de la multiplicité d'une racine.

[Maths]

merci pour vos réponses , toutefois ce que je me demande c'est si la dérivé d'une fonction c'est la pente de cette fonction la dérivé d' un polynôme formel ce serait quoi ?. J' espère que c'est clair

[A voir en vidéo sur Futura]

[Maths]

Désolé pour le manque d'informations que je précise dans mes questions, je suis en sup ce qui fait je commence à me familiariser avec les notions de base .

[gg0]

La dérivée d'un polynôme formel est un autre polynôme formel. Il s'agit d'une notion algébrique.
D'ailleurs, tu vas trop vite dans "la dérivé d'une fonction c'est la pente de cette fonction". La dérivée d'une fonction f est une autre fonction, pas un nombre (la pente). Et sa valeur en a est bien la pente de la tangente en (a,f(a)) de la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. Si tu es en sup, habitue-toi vite à ne pas sauter les mots et surtout à ne pas confondre les notions. C'est plus pénible de tout dire ou écrire, mais ça permet de penser clairement.

Il y a plusieurs usages du polynôme dérivé, tu les apprendras en temps utile. Par exemple pour la factorisation, la recherche des racines doubles, la décomposition de Taylor, etc.

[Maths]

Merci pour ton temps ,d' autre part , auriez vous la sympathie de m'expliquer la notion de polynôme et précisément celle d une indéterminé je sais bien que l 'indéterminé c'est bien une suite presque nulle mais est ce qu'on peut considérer les polynômes comme fonction qui transforme suite en suite par exemple : P transforme X en P(X)

[gg0]

Non, justement, en algèbre on évacue la notion de fonction pour ne conserver que l'aspect calculatoire; le but est d'étudier l'objet qu'est l'expression algébrique.

[gg0]

Il y a plusieurs façons de considérer le polynôme formel, et tu as sans doute, dans ton cours, une définition en terme de suite nulle à partir d'un certain indice. C'est une définition très pratique, mais ce n'est pas ce qu'on utilise en fait.
Intuitivement, un polynôme est simplement un assemblage, très exactement une somme de monômes. Les monômes étant eux même des assemblages. par exemple un polynôme réel est une somme de termes de la forme aX^n où a est un réel (le coefficient) et X est une lettre (généralement X), l'indéterminée. On a des règles pour simplifier les polynômes, les additionner, les multiplier. Et c'est bien cela qu'on manipule ensuite.

Après, un polynôme étant défini, il peut donner différentes fonctions polynomiales, suivant ce par quoi on remplace l'indéterminée dans une évaluation. Par exemple, prenons un polynôme à coefficients entiers, P(X)=1-X+X² (*); si on l'évalue sur les entiers, on obtient la fonction n-->P(n)=1-n+n² de Z dans Z (ici, n n'est plus l'indéterminée, mais une variable).

Voilà, inutile d'aller chercher plus loin.

Cordialement..

(*) J'ai écrit P(X), mais le (X) ne sert à rien, j'aurais pu écrire P=1-X+X². L'écriture P(X) ne sert qu'à rappeler la notation de l'indéterminée.

[gg0]

Attention à " je sais bien que l 'indéterminé c'est bien une suite presque nulle ". C'est, dans la définition des polynômes par les suites presque nulles, très exactement la suite (0,1,0,0,0,...).

[gg0]

Faux.

Maths, ne tiens pas compte de ce message mensonger d'un incompétent.

[albanxiii]

Maths, ne tiens pas compte de ce message mensonger d'un incompétent.

Je l'ai supprimé.
amineyasmine, il faudrait que vous soyez conscient que votre niveau en maths vous empêche de répondre à la plupart des questions posées sur le forum.
Il est très problématique d'écrire des choses aussi fausses que ce que vous avez l'habitude d'écrire.
Le choix est clair, soit vous tenez compte de vos limites, soit vous serez prémodéré.

[GBZM]

Bonjour,

est ce qu'on peut considérer les polynômes comme fonction qui transforme suite en suite par exemple : P transforme X en P(X)

Cette idée n'est pas entièrement fausse. Soit le corps de base. Un polynôme à coefficients dans peut être vu comme une manière uniforme de transformer un élément d'une -algèbre en un autre élément d'une -algèbre. Précisément : la donnée pour toute -algèbre d'une application telle que, pour tout morphisme de -algèbres , on a .
Comment récupère-t-on la collection des à partir d'un polynôme ? Tout simplement en évaluant le polynôme sur les éléments de la -algèbre : . L'algèbre peut être lui-même (est alors la fonction polynomiale associée à ), l'algèbre (substitution du polynôme à la variable), l'algèbre (non commutative) des matrices carrées de taille à coefficients dans (polynôme de matrice), etc..
Réciproquement, si on se donne la collection des , alors le polynôme est bien sûr .
Tu sais sans doute que si le corps est infini, alors la fonction polynomiale suffit à déterminer . Dans le cas général, comme vu ci-dessus, suffit à déterminer : voila pourquoi ton idée de polynôme comme façon (uniforme) de transformer polynôme (suite de coefficients) en polynôme (suite de coeffcients) n'est pas fausse.
J'espère que mon explication ne va pas te donner le tournis !

[MissJenny]

Si tu considères une fonction f de R dans R, tu peux définir la dérivée en x par la limite que tu connais, et la fonction dérivée de f est la fonction qui à tout x associe la dérivée de f en x.

Mais si tu considères globalement l'ensemble des fonctions de R dans R, alors tu peux penser à la dérivation comme à une fonction de cet ensemble (qui est une algèbre sur R) dans lui-même. Et tu vois apparaître le fait que cette fonction est linéaire et de plus vérifie la propriété que l'on sait concernant le produit de fonctions (du coup la dérivation n'est pas un homomorphisme d'algèbres). Et en fait on se rend compte qu'on peut généraliser cette notion à une algèbre quelconque (commutative peut-être) et en particulier à l'algèbre des polynômes (qui n'est pas une algèbre de fonctions). C'est comme ça qu'il faut voir la dérivation pour les polynômes.

[GBZM]

Pour une référence concernant ce qu'écrit MissJenny, on peut voir https://en.wikipedia.org/wiki/Deriva...ntial_algebra).
Le problème c'est que ça ne caractérise pas la dérivation formelle des polynômes. Une façon assez simple de voir la dérivée formelle du polynôme , c'est d'écrire comme polynôme en :

Ça fait bien, me semble-t-il, le lien avec la notion de dérivée d'une fonction.

[MissJenny]

oui, je voulais expliquer comment on était passé d'une notion analytique à une notion algébrique, en considérant un ensemble de fonctions plutôt qu'une seule fonction, mais c'était flou...