Polynome de degré 2 et dérivé

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonsoir,

appelons

Alors pour a et b n'annulant pas on a une forme générale pour P en fonction de son terme constant,


Ceci se complique quand a et b annulent je n'arrive pas à conclure.

Appelons avec l'ensemble de ses solutions sur R²:

J'ai cependant trouvé cette propriété,

tel que avec

Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur le problème de S(E) enfin qu'est ce qu'il implique et si il existe bien des polynômes pour a et b dans S(E).

Merci, RoBeRTo.
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[SchliesseB]

si P est une solution, kP aussi non?

sinon montre que toutes les solutions vérifient l'équation différentielle
f'-f=k(a-x)(b-x) et résoud (je crois )

[RoBeRTo-BeNDeR]

Effectivement, pour kP SchliesseB

Pour la deuxième ...






en fait si on prend k de la forme çà doit marcher.

Merci

[SchliesseB]

Seulement dans ton cas, k est infini....


Je vais te donner ma solution (surement moins chiante a calculer...quoique....)

soit P une solution
alors en posant f=P-P'
f est un polynôme de degré 2 qui s'annule en a et en b donc qui s'écrit k(x-a)(x-b) avec k une constante (a est différent de b)

donc P est solution de g-g'=k(x-a)(x-b)=k(x^2-(a+b)x+ab)

la réciproque est aussi vraie (si g est une solution polynomiale de k(x-a)(x-b) alors g appartient à S)

la solution homogene donne un truc rexponentielle qui ne nous interresse pas
une solution polynomiale s'écrit g=cx^2+dx+e

alors g-g'=cx^2+dx+e-2cx-d

alors
c=k
-d+2c=k(a+b)
e-d=kab

c'est a dire
c=k
d=k(2-a-b)
e=k(2+ab-a-b)

ainsi tout les polynômes solutions sont
pour n'importe quel k réel

(c'est donc un e.v. de dimension 1, ce à quoi on s'attendait)

je n'ai pas de problème d'infini/division par 0 si (2+ab-a-b)=0 pour ma part (erreur de ma part?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

très bien ta solution,
Comme je me plaçait pour un P(0) donné j'avais des difficulté levées par ta méthode, même si ta solution n'est pas a 1000 lieu de la mienne c'est vrai qu'elle a le gout d'être rigoureuse.

Merci.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Et par ailleurs si l'on prend a=b on trouve les trinômes dont le polynôme dérivé est tangent en a non?

[SchliesseB]

si a=b ma solution ne marche plus (tu dois trouver un e.v. de dimension 2 à priori)

que veux tu dire par "polynôme tangent"?

[RoBeRTo-BeNDeR]

Je viens de chercher à généraliser. Ma foi un peu compliqué,

Posons n réels distincts, et cherchons P tel que

Notons



donc par identification :
et

d'où et

Par ailleurs
donc

d'où











Or donc



Donc si je ne me suis pas trompé voilà pour le degré n.
Qu'en pensez vous?
RoBeRTo

[RoBeRTo-BeNDeR]

si a=b ma solution ne marche plus (tu dois trouver un e.v. de dimension 2 à priori)

que veux tu dire par "polynôme tangent"?

Polynôme tangent car c'est une droite (un peu rapide mon truc) qui semble tangente au trinôme. non?

[SchliesseB]

pas facile a suivre ton raisonnement (surtout à 00h )

regarde si ça marche pour n=2 puis pour n=3 4 etc...

de plus, il faut rajouter que tu imposes P de degré n. si son degrè est inferieur: pas de solution mais il en existe beaucoup plus de solutions de degré supérieur.

pour a=b, mon raisonnement ne marche pas. après je ne vois pas "ce qui est une droite" qui serait tangente au polynome.

[RoBeRTo-BeNDeR]

je regarderai çà un peu plus tard .

Pour a=b je joins une image plus explicite, car ce n'est possible que pour n=2

RoBeRTo

[RoBeRTo-BeNDeR]

Il y a une erreur dans mon raisonnement voilà la réponse qui me semble plus juste :



Elle marche pour n=2, je n'ai pas encore tester pour n plus grand.