Algèbre ...

[invitea0e58c07]

Bonsoir tout le monde,

J'étais déjà tombée plusieurs fois par hasard sur ce forum et à chaque fois, j'y trouvais des éléments de réponse voire la réponse aux questions que je me posais et de façon claire. Je trouve ce forum d'une aide précieuse Mais ne trouvant cette fois pas réponse à mes questions, je me décide donc à les poser. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ? Merci d'avance

1) Soit le polynôme caractéristique - x² + 6x. Peut-on dire qu'il s'agit d'une permutation linéaire ?
2) Combien y a-t-il de classes de conjugaison dans un groupe G qui est commutatif et tel que son ordre |G|=n ?
3) Si on a A(1;1) =(5;2) et A(3;4)=(0;-1), que vaut A(x;y) ?

Pour 1), comme à tout endomorphisme (et donc à toute permutation linéaire) d'un espace vectoriel de dimension finie, on peut associer un polynôme caractéristique, je me dis que ça doit être réciproque mais je devine que ma réponse ne doit pas être correcte sans quoi on n'aurait certainement pas demander ça pour ce polynôme caractéristique)là P(x) = -x² + 6x en particulier. Je crois qu'il faut faire quelque chose avec le fait qu'un polynôme caractéristique (d'ordre 2) = x² - tr(matrice).x + det (matrice)
mais la matrice = ?

Pour 2), je dirais n mais je ne sais pas comment justifier ... Je crois qu'il faut utiliser le théorême de Lagrange : Pour un groupe G fini, et pour tout sous-groupe H de G, le cardinal (encore appelé ordre) de H divise le cardinal de G mais je confonds peut-être classe d'équivalence et classe de conjugaison ...


Pour 3), j'ai juste su montrer que A était bien une application linéaire, ce qui ne me sert à rien ...

Help me !
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[SchliesseB]

pour la 3)

décompose (x,y)= a(1,1)+b(3,4) avec a et b bien choisis

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonsoir,

Pour la 3 on a :
A(1,1)=(5,2) et A(3,4)=(0,-1)

 Cliquez pour afficher

(1,0)=4.(1,1)-(3,4) donc A(1,0)=4.(5,2)-(0,-1)=(20,9) et (0,1)=-3.(1,1)+(3,4) donc A(0,1)=-3.(5,2)+(0,-1)=(-15,-7)
donc A(x,y)=(20x -15y,9x-7y)
si jene me trompe pas bien entendu

Pour la 2 je ne souhaite pas dire de bétise
Et pour la 1 je doute que çà soit un bon polynôme car le terme de plus haut degré doit être (-1)^n si je ne me trompe pas donc comme ici c'est -1 et pas 1 il y a un problème (à part si le - n'est pas un moins )

RoBeRTo

[invitebe0cd90e]

Pour la 2) que peux tu dire de la classe de conjugaison d'un element x dans un groupe abelien ? COmbien cette classe contient elle d'elements ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0e58c07]

Je ne m'attendais pas à avoir de réponses si rapidement Merci !

Pour la question 3), donc, c'est ok, j'ai compris

Pour la 1), c'est possible qu'il y ait une erreur dans la question et que c'est en fait +x² + 6x mais dans ce cas, je ne vois malgré tout pas comment montrer (si c'est le cas) qu'il s'agit d'une permutation linéaire ...

Pour la 2), après les questions de Jobherzt, je crois que si G abélien, alors la classe de conjugaison de x (x appartenant à G) est l'élément x en question, c'est-à-dire {x} soit un seul élément. Donc, je pense qu'il n'y aurait qu'une seule classe de conjugaison. Cependant, ici, on précise que |G| = n. Est-ce que cela change quelque chose ou est-ce qu'il n'y aurait quand même qu'une seule classe de conjugaison pour G tel que |G|=n ?

[invitebe0cd90e]

Salut,

ton raisonnement est bon, mais ta conclusion mauvaise, tu es allé trop vite

Effectivement, dans un groupe abelien, la classe de conjugaison de x c'est l'ensemble {x}. Donc chaque classe de conjugaison contient un et un seul element. Donc evidemment qu'il n'y a pas qu'une seule classe de conjugaison, ce qui voudrait dire que tous les elements sont conjugués (ou autrement dit, s'il n'y a qu'une seule classe de conjugaison dans un groupe, alors la classe d'un element x est evidemment G tout entier.)

En quelque sorte tu te situes a l'autre extreme, celui ou les classes de conjugaison sont les plus petites possibles, si chacun d'elle ne contient qu'un seul element.. bah c'est qu'il y en a autant que d'element, non ? Je te laisse conclure

[invitea0e58c07]

Je te laisse conclure

Alors il y a n classes de conjugaison ^^

[invitea0e58c07]

(Je comprends ce que tu veux me dire : je considérais le nombre de classe de conjugaison de x appartenant à G plutôt que de considérer le nombre de classes de conjugaison de G lui-même et là était mon erreur). Merci, c'est déjà plus clair pour moi