Je cherche à démontrer le résultat suivant: (je ne sais pas si c'est vrai)
Pour b entier naturel supérieur ou égal à 2,
quels sont les multiples dequi s'écrivent avec un seul symbole en base b?
Et j'ai trouvé: N est de la forme:
où a strictement plus petit que b.
Ma question: Est-ce que ce sont les seules solutions? Peut-on le prouver?
Merci d'avance pour tout éclairage !
Je ne comprends pas bien : a0a... si a n'est pas 0 ça fait deux symboles. Tu veux dire : un seul autre que zéro ?
Il y a un problème avec mon énoncé: on veut avoir N×(b+1) qui s'écrit avec un seul chiffre en base b
a est un chiffre quelconque en base b
Dernière modification par epiKx ; 07/04/2025 à 13h34.
donne un exemple parce que je ne comprends toujours pas ta solution.
Exemple: 11×9=99 qui s'écrit avec un seul chiffre. On peut chercher le premier multiple de 11 supérieur à 99 a avoir cette propriété.
D'après moi, le prochain est 101 car 101×11=1111
Dernière modification par epiKx ; 07/04/2025 à 13h41.
Le bon énoncé:
quels sont les nombres qui multipliés par (b+1) s'écrivent avec un seul symbole en base b?
Dans mon exemple: b=10
Désolé pour l'erreur
Dernière modification par epiKx ; 07/04/2025 à 13h49.
Bonjour.
Réécrivons cela en base b (uniquement) : Quels sont les multiples de 11 qui s'écrivent avec un seul chiffre ?
Si ce chiffre est 0, c'est 0. Supposons maintenant que ce chiffre est a (je confonds le chiffre a et le nombre a dans la suite) et le multiplicateur est N. Le produit N*11 s'écrit en chiffres aaaa..aa. Pour qu'il soit divisible par 11, il faut qu'il ait un nombre pair de chiffres (règle de divisibilité). Ensuite, une simple division à la main montre que N a un nombre impair de chiffres qui sont alternativement des a et des 0 : N=a0a0...a0a0a = a*101010 ..101.
Cordialement.
Ok merci beaucoup gg0 je vais regarder plus en détail. J'ai cherché beaucoup plus compliqué: j'ai décomposé N en base b et derrière j'essayais de montrer l'unicité de la décomposition.
Encore merci,
Cordialement,
epiKx
Voyez-vous un moyen de généraliser ce fait?
Par exemple comment remplacer b+1 par autre chose pour avoir: N=a0...0a0...0a avec k chiffres 0 ?
Merci
Désolé, je ne comprends pas ta question. Quel est le problème mathématique ?
Si c'est un exercice, donne l'énoncé.
Bonjour gg0,
Laissez tomber c'est pas grave c'est pas un exercice issu d'une planche. C'est plus un défi personnel pour développer mon intuition. Si j'arrive à formuler ça plus précisément je reviendrai...
Merci en tout cas d'avoir pris le temps de répondre.
epiKx
