Réduction du poids computationnel par la combinaison des algèbres de Malcev et de Clifford

[Alkatbert]

Pourquoi ce duo est-il pertinent ?
Les algèbres de Clifford sont bien connues pour leur puissance en géométrie computationnelle : elles permettent de manipuler rotations, bivecteurs, tenseurs, avec une expressivité compacte et un formalisme associatif très performant.
Les algèbres de Malcev, moins courantes, généralisent les algèbres de Lie en relâchant l’associativité. Elles sont donc adaptées à des contextes dynamiques ou non linéaires où la structure classique de Lie devient trop rigide.

En les combinant intelligemment, on peut :
- Exploiter la robustesse de Clifford pour les calculs lourds et géométriques.
- Injecter la souplesse de Malcev pour coder des symétries non standard, des interactions localement complexes ou des comportements non linéarisables.

Impact computationnel concret :

- Moins d’opérations redondantes.
- Moins de structures intermédiaires à stocker.
- Meilleure factorisation des calculs : on évite de "réinventer la roue" algébrique à chaque boucle d’optimisation.
Applications visées :

- Physique numérique (symétries non-Lie, systèmes dynamiques non conservatifs).
- Traitement du signal géométrique ou en réseaux.
- Cryptographie avancée (où la non-associativité devient un mécanisme de résistance).
- Une IA géométrique ou modélisations hybrides (avec contraintes de calcul sur edge devices).
La piste est sérieuse, mais encore peu explorée côté optimisation algorithmique.
Avis aux amateurs de structures algébriques exotiques mais utiles.
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[Alkatbert]

Finalement là où les codeurs se brouillent les mathématiques apportent encore de la lumière.

[Alkatbert]

Construction algébrique hybride : vers une algèbre Clifford–Malcev

- Produit mixte à deux composantes

On définit un nouveau produit bilinéaire entre deux éléments dans un espace :



est le produit Clifford (associatif, métrique dépendant).

est un crochet antisymétrique, de type Malcev :


(ou ) est un paramètre de pondération ou de "non-associativité contrôlée".


Ce produit n'est ni associatif ni anticommutatif en général, mais sa structure duale permet de capturer à la fois :

La géométrie linéaire (Clifford) par le terme

Les perturbations dynamiques ou non linéaires via :

- Structure fibrée

On peut aussi modéliser l’espace comme un fibré algébrique :



Chaque fibre , une algèbre de Clifford locale.

Les connexions entre fibres sont induites par une structure de type Malcev :




Cela permet de conserver :

Des calculs locaux stables (Clifford dans les fibres),

Des déformations globales ou dynamiques (via les automorphismes non associatifs entre les fibres).

- Déformation algébrique contrôlée

Inspiré de la théorie des déformations (à la Gerstenhaber), on considère une déformation formelle du produit Clifford :



Si l’on prend :

une opération de type Malcev (non associative),

et si cette déformation vérifie certaines identités cohérentes (comme la conservation d’un associateur partiel ou d’un jacobien contrôlé),


on obtient un système où la non-associativité devient une ressource computationnelle graduée.

Cela ressemble à une déformation par twist dans les algèbres quantiques, ou à une algèbre non commutative contrôlée.

Produit Clifford (associatif)
Crochet Malcev (torsion)
Produit hybride
Déformation Évolution du produit

[Alkatbert]

En combinant Clifford et Malcev, on obtient une structure algébrique hybride où la géométrie (Clifford) reste factorisable et la dynamique (Malcev) localisée.

Résultat : les produits deviennent compressibles, les crochets non associatifs sont sparsifiés, et on passe d’une complexité naïve à une implémentation intelligente en . Cette réduction rend possible le calcul géométrique en temps réel, même sur des devices embarqués.

En conclusion, C’est la promesse d’une algèbre qui n’oppose plus stabilité et flexibilité, mais les fait dialoguer de manière algorithmique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[cummins010]

Ce duo Clifford-Malcev est pertinent car il unit la puissance géométrique et l'associativité de Clifford à la flexibilité non-linéaire de Malcev pour des calculs hybrides optimisés.