Implications

[David67120]

Bonjour à tous,

Concernant l’implication j’ai bien compris que seule une proposition vraie impliquant une proposition fausse entraîne que l’implication est fausse.

Par exemple, «*si 2 est pair, alors 3 est pair*» est une implication fausse car la première proposition est vraie et la deuxième est fausse.

Cependant, si on considère «*ABCD est un carré implique (AB) est parallèle à (CD)*» alors la proposition ABCD est un carré n’a pas de valeur de vérité si je ne m’abuse…donc il faut attribuer les valeurs de vérité possibles à la proposition initiale et voir ce qu’il se passe ? Donc considérer la première proposition vraie, en déduire que la deuxième est vraie donc l’implication est vraie car si je considère ABCD faux, l’implication est vraie dans tous les cas…est-ce la bonne démarche de compréhension de l’implication ?

Merci et belle journée
-----

[Médiat]

Effectivement

[Billy 1816]

Bonjour,

Je ne suis pas sur d'avoir tout suivi mais je peux quand même résumer au cas ou :


Soit tu considères que ton implication est vraie d'emblée, et tu raisonnes ensuite avec ta situation.
Par exemple pour ton implication :

ABCD est un carré implique (AB) est parallèle à (CD)

On considère qu'elle est vraie, qu'elle est tout le temps valide.
Tu peux l'utiliser si tu as une forme ABCD que tu sais être un carré, et déduire que "(AB) est parallèle à (CD)".
(La première assertion de l'implication est vraie dans cette situation, donc la deuxième assertion l'est aussi)
Tu peux l'utiliser si tu as une forme ABCD, pour laquelle (AB) n'est pas parallèle à (CD), et en déduire que ABCD n'est pas un carré.
(La deuxième assertion n'est pas vraie dans cette situation donc la première ne peut pas être vraie)


Soit tu veux montrer que ton implication est vraie (ou fausse).
Pour montrer qu'elle est vraie, tu prends une forme ABCD que tu définis comme étant un carré, et tu montres qu'alors forcément "(AB) est parallèle à (CD)".
Si tu y arrives alors ton implication est vraie.
Pour montrer qu'elle est fausse, tu peux trouver un contre exemple, dans lequel "(AB) est parallèle à (CD)" mais ABCD n'est pas un carré.


J'espère avoir pu aider

[davidarichardson1990]

C'est une excellente question qui touche au cœur de la logique mathématique !Votre compréhension de base de l'implication est parfaitement correcte : l'implication $P \Rightarrow Q$ est fausse uniquement lorsque $P$ est vraie et $Q$ est fausse (V $\Rightarrow$ F donne F). Dans tous les autres cas (F $\Rightarrow$ V, F $\Rightarrow$ F, V $\Rightarrow$ V), l'implication est vraie.Cependant, votre confusion sur l'exemple géométrique est très pertinente.�� La bonne démarche de compréhensionDans la logique formelle (et donc en mathématiques), lorsque nous parlons de l'implication entre des énoncés comme « $P$: ABCD est un carré » et « $Q$: (AB) est parallèle à (CD) », nous ne considérons pas ces énoncés comme n'ayant pas de valeur de vérité.Implication comme une Règle (ou Théorème) :L'implication $P \Rightarrow Q$ est lue comme la règle : « Si $P$ est vraie, alors $Q$ est vraie. »Tester la Règle sur tous les cas possibles :Lorsque vous écrivez l'implication « ABCD est un carré $\implies$ (AB) est parallèle à (CD) », vous demandez : Est-ce que cette règle est toujours VRAIE ? C'est-à-dire, est-ce qu'il existe un cas (une figure ABCD) où $P$ est vraie et $Q$ est fausse ?Cas 1 : $P$ est Vraie (ABCD est un carré). Est-ce que $Q$ est vraie ? Oui, car les côtés opposés d'un carré sont parallèles. $\implies$ (V $\Rightarrow$ V) $\rightarrow$ VRAIE.Cas 2 : $P$ est Fausse (ABCD n'est pas un carré). Par exemple, si ABCD est un losange ou un trapèze.Si ABCD est un losange ($P$ est Fausse), alors (AB) est parallèle à (CD) ($Q$ est Vraie). $\implies$ (F $\Rightarrow$ V) $\rightarrow$ VRAIE.Si ABCD est un quadrilatère quelconque où (AB) n'est pas parallèle à (CD) ($P$ est Fausse, $Q$ est Fausse). $\implies$ (F $\Rightarrow$ F) $\rightarrow$ VRAIE.Conclusion :Comme il est impossible de trouver une figure ABCD telle que : (ABCD est un carré Vraie) ET (AB) n'est pas parallèle à (CD) Fausse), l'implication « ABCD est un carré $\implies$ (AB) est parallèle à (CD) » est une implication vraie (c'est un théorème).Oui, votre démarche est la bonne ! Vous avez intuitivement compris que l'on doit considérer toutes les valeurs de vérité possibles pour l'antécédent ($P$) afin de vérifier si l'implication globale est toujours vraie ou non. C'est la définition d'une implication vraie en mathématiques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Janpolanton]

Bonjour,
Un peu d'aération et de mise en page de ce pavé illisible seraient les bienvenus.

[gg0]

Bonjour Davidricharson1990.

Pour obtenir du LaTeX, le symbole $ ne sert à rien ici. Il y a (en mode "Répondre" ou "Aller en mode avancé) une balise TeX, qui est dans la dernière zone en bas à droite du bandeau (après la zone avec x²). C'est en bleu, mais tellement pâle qu'on ne le voit pas sur beaucoup d'écrans. La balise est dans la partie gauche, à droite c'est le spoiler.

Cordialement.

NB : je suis d'accord avec Janpolanton, le respect des conventions d'écriture et de présentation est essentiel pour être lu correctement. Pour l'instant, j'ai renoncé à lire.

[albanxiii]

Les réponses de Davidricharson1990 ressemblent à s'y méprendre à celles d'un LLM.

[Ikhar84]

Si ça ressemble à un canard,
si ça nage comme un canard,
...