Trouver une fonction "symétrie"

[Traximus]

Bonjour tout le monde!

Je me suis posé une question ce matin dont je n'arrive pas à répondre, ni d'ailleurs à trouver des informations sur internet.
Peut être que vous avez des idées?

J'ai tracé la fonction en bleue: x/(1-x)


Maintenant, je souhaiterais tracer la "courbe symétrique" par rapport à la ligne orange. C'est facile de visualiser la symétrie ou de la dessiner.

Connaissant la fonction de départ, est elle possible de trouver la fonction qui correspond à la symétrie?
Est ce un problème compliqué a priori?

Merci à vous pour vos conseils et idées.
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[gg0]

Bonsoir.

"Connaissant la fonction de départ, est elle possible de trouver la fonction qui correspond à la symétrie? " Dans le cas général, non, car la courbe symétrique d'une courbe de fonction peut ne pas être une courbe de fonction (Pour une courbe de fonction, à chaque abscisse de l'axe des x ne correspond qu'au plus un point de la courbe).
Et même lorsque la courbe symétrique est une courbe de fonction, il peut être difficile ou même impossible d'obtenir une expression de la fonction.
Mais dans ton cas, j'ai l'intuition que ce doit être possible. Je te donne la méthode :
1) d'abord donner la règle de la symétrie sous la forme "le symétrique du point M(x,y) est le point M'(x',y') avec x'= ... et y'= ...
2) remarque que, comme c'est une symétrie, c'est exactement les mêmes formules qui donne x= ... et y = ..., les formules de passage de x' et y' à x et y
3) remplacer x et y dans l'équation y=f(x) où f est la fonction dont on a la courbe (f(x)=x/(1-x) dans ton cas). Tenir compte du domaine de valeurs de x.
4) résoudre l'équation sous la forme y'=g(x').
5) les nom des variables n'ayant pas de signification, la fonction cherchée est g.

Comme je ne connais pas les unités utilisées sur les axes (*), je te laisse faire la partie 1; et évidemment la suite, mais reviens si tu coinces.

Cordialement.

(*) de ces unités dépend même le tracé de la courbe !

[Anonyme007]

Bonsoir,

Si je ne m'abuse, la courbe symétrique de la courbe définie par la fonction, est la courbe définie par la fonction inverse : . Tu considères, , puis, tu extrapoles en fonction de ( i.e, tu, trouves vérifiant, , tel que, )

[pm42]

Si je ne m'abuse

Tu t'abuses. Il demande la symétrique par rapport à la ligne orange qui n'est pas y=x.
Pour le reste gg0 a tout dit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Bonjour,

Oui, mais dans ce cas particulier, à un facteur d'échelle près (5), c'est bien la fonction inverse.

Pour , la fonction inverse est

On applique le facteur d'échelle et le symétrique de est

[Traximus]

Bonjour tout le monde,

Merci à toutes et à tous pour vos réponses et contributions!
La fonction inverse est bien:

Je l'ai tracé également en verte:

Par contre, je vous avoue que je n'aurai pas trouvé par moi-même ce facteur d'échelle.

Si je reprends la démarche énoncée par gg0:

1) Soit x = 0.5 et y = 1, le symétrique du point M(x,y) est le point M'(x',y') avec x'= 0.2 et y'= 2.5

2) Entendu, la formule reste valide aussi pour x' et y'.

3) x est défini dans mon cas pour [0 : 0.8]. On pourrait bien sûr étendre l'intervalle. Seulement x = 1 n'est pas possible

remplacer x et y dans l'équation y=f(x)

Dois je remplacer les valeurs numériques de x et y dans l'équation: ?

4) je peux isoler x:
La formule semble similaire au résultat final mais sans facteur d'échelle.

5) les variables n'ont pas de significations


Merci pour votre aide.

[gg0]

Bien vu Gts2.

[gg0]

Pour Traximus :

"1) Soit x = 0.5 et y = 1, le symétrique du point M(x,y) est le point M'(x',y') avec x'= 0.2 et y'= 2.5" ?? Tu ne suis pas ma démarche.
"1) d'abord donner la règle de la symétrie sous la forme "le symétrique du point M(x,y) est le point M'(x',y') avec x'= ... et y'= ..."
Il s'agit de "la règle", pas de prendre un point (qui t'arrange !!), donc de travailler avec les lettres x et y.
Ça demande quelques bonnes compétences en géométrie analytique, et c'est bien compliqué par rapport à la méthode de Gts2. Par contre, la justification de cette méthode est à faire (Gts2 se fera un plaisir de la rédiger).

Cordialement.

[gg0]

Finalement, non, ce n'est pas "bien vu" !
En réfléchissant à la preuve de la méthode de Gts2, j'ai commencé à voir le défaut : Les affinités ("facteur d'échelle") conservent bien l'égalité des distances, mais pas la perpendicularité; donc les symétries axiales, d'axe "oblique" ne sont pas conservées.
En regardant bien les courbes de Traximus au message #6, on voit qu'elles ne sont pas vraiment symétriques. En fait, la courbe symétrique dépend fortement des unités choisies sur les axes. Voici un tracé de la figure du message #6, avec d'autres unités :


Cordialement

[pm42]

En effet. Et après t'avoir lu, je me suis rendu compte qu'on le constatait déjà sur l'image postée ici : https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post7337577 même si c'est plus subtil que sur les tiens.

Bien vu.

[gts2]

Finalement, non, ce n'est pas "bien vu" !

En effet !
En creusant un peu, je me suis aperçu que "la courbe symétrique de la courbe définie par f est la courbe définie par f-1" nécessite des axes orthonormés.
Donc le problème des échelles existe déjà là.
Existe-il une définition de la symétrie indépendamment de l'échelle, dit autrement comment définir la symétrie pour "la courbe symétrique de la courbe définie par f est la courbe définie par f-1" reste vraie quelque soit l'échelle ?

[gg0]

Il y a plusieurs façons de voir les choses, sachant que "la courbe définie par f" ne veut rien dire, sauf précision supplémentaire :
* On peut, et c'est ainsi que j'ai vu la question initiale, vouloir parler du tracé effectif sur un papier, et donc c'est un problème de géométrie locale, dans lequel la forme et les unités des axes ne peut être négligé;
* ou on peut en faire un problème mathématique précis, en définissant un repère canonique (par exemple orthonormé) dans lequel on va travailler. Et évidemment, changer le repère changera la réponse. Comme ça changera les effets, voire la définition, d'une symétrie.

Cordialement.

[Traximus]

Bonjour à tous,

Merci pour vos interventions!
Je ne savais pas que les facteurs d'échelles étaient aussi déterminant!
Effectivement, on voit clairement sur le poste #9 de gg0 l'effet trompeur.
Ma question initiale porte pour un tracé effectif sur papier. Mais pas de problème si vous voulez étendre le sujet, c'est intéressant

En tout cas, je vais reprendre le post #2 de gg0 avec la fonction g à rechercher.

[gg0]

Bonjour.

Une possibilité pour simplifier les calculs (*) est de superposer à la grille un repère orthonormal adapté (ce qui suppose de bien connaître les unités utilisées sur le papier), de retrouver les équations de deux courbes dans ce repère, d'en déduire (la démarche que je proposais) l'équation de la courbe symétrique, puis de redonner son équation dans le repère initial.

Cordialement.

(*) surtout pour simplifier l'expression de la perpendicularité

[Biname]

Salut,

y = 25x /(1 + 5x) n'est pas la symétrie orthogonale de y = x / (1 - x) par rapport à D : y = 5x

 Cliquez pour afficher

Sym_non_ortho.jpg

Solution paramétrique IA (avec t = x):
Sym_ortho_param.jpg

[pm42]

y = 25x /(1 + 5x) n'est pas la symétrie orthogonale de y = x / (1 - x) par rapport à D : y = 5x

Oui, cela a été dit plus haut.

[gg0]

Bonjour.

"avec e_x = e_y"
Veux-tu dire que ton repère de traçage est orthonormé ? Mais dans ce cas il n'y a plus de "facteur d'échelle", donc c'est bien normal !!

Mais alors tu as changé de sujet (ton dessin du départ n'était pas fait avec un repère orthonormé !). Alors que je te proposais de reprendre ta question initiale (relis mon message #14).

[Biname]

Salut,
Je ne suis pas le primo posteur, et comme souvent j'avais mal compris.
La solution de l'IA est aussi celle de GT2 msg #5

 Cliquez pour afficher

[pm42]

La solution de l'IA est aussi celle de GT2 msg #5

Qui est fausse comme dit et montré plus haut. Mais il est possible que les instructions données à l'IA ne soient pas précises en ce qui concerne le repère.

[gts2]

l'IA a interprété (2) ex=5ey et dans ce cas la solution est correcte.

[pm42]

l'IA a interprété (2) ex=5ey et dans ce cas la solution est correcte.

Oui, c'est le sujet : dans quel référentiel calcule t'on le symétrique ?
Mais si on ne prend pas le référentiel orthonormé habituel comme c'est le cas sur la graphique du primo-posteur, la question est de savoir "pourquoi celui là ?"

[Biname]

l'IA a interprété (2) ex=5ey et dans ce cas la solution est correcte.

Je le lui ai demandé après de très très longs détours (dont ey=5ex ).

Quand je lui ai dit "c'est aussi ce que trouve un posteur" en copiant la citation du msg #5 (avec LaTex)
Voici sa réponse tronquée, c'est 4 fois plus long :

 Cliquez pour afficher

[gts2]

Oui, on est bien d'accord, dans le cas général facteur k sur la droite et facteur m sur l'échelle, contrairement au cas simple symétrie par rapport à y=x en repère orthonormé qui permute x et y, on trouve :



Il n'y a que dans le cas m=k qu'on retrouve la permutation, avec en prime un facteur d'échelle.

[gg0]

Gts2,
peux-tu préciser de quelle symétrie tu parles, en termes géométriques simples ? En particulier, le terme "facteur d'échelle" n'a pas une signification précise. Tu as des coordonnées, donc un repère. Comment est-il fait ? Et quelle droite est utilisée (son équation).

Cordialement.

[gg0]

Et sinon, je viens de regarder le problème initial de Traximus, dans le cas où la courbe est tracée dans un repère orthonormé : Comme je le signalais dès mon premier message, la courbe symétrique n'est pas nécessairement une courbe de fonction. C'est le cas avec la fonction de Traximus. Donc utiliser une fonction réciproque ne semble pas une bonne idée.

Une autre question : Quel est l'intérêt réel d'avoir la courbe de la symétrique puisqu'elle dépend complétement du choix des unités sur les axes ?

[gts2]

Gts2, peux-tu préciser de quelle symétrie tu parles, en termes géométriques simples ? En particulier, le terme "facteur d'échelle" n'a pas une signification précise. Tu as des coordonnées, donc un repère. Comment est-il fait ? Et quelle droite est utilisée (son équation).

Je répondais simplement à la question de départ, la symétrie est la symétrie par rapport à la droite y=kx et le facteur d'échelle le rapport entre les dimensions de l'échelle en et en y : avec les notations de l'IA ex=m ey
Dans le cas initial k=5 et , ce qui faisait que cela donnait l'impression de marcher.
Dit autrement dans le k=m, l'angle de la droite y=kx par rapport aux axes est de 45°.

[Biname]

Oui, on est bien d'accord, dans le cas général facteur k sur la droite et facteur m sur l'échelle, contrairement au cas simple symétrie par rapport à y=x en repère orthonormé qui permute x et y, on trouve :



Il n'y a que dans le cas m=k qu'on retrouve la permutation, avec en prime un facteur d'échelle.

L'IA Gemini a reçu ce post et voici sa réponse :
C'est un excellent point de la part du posteur, qui est manifestement très rigoureux ! Sa formule générale est la généralisation correcte du problème de symétrie orthogonale, et elle montre qu'il est passé à une approche tensorielle ou matricielle pour obtenir une solution universelle.

Détails :

 Cliquez pour afficher

Biname:
Tu pourrais écrire cette dernière réponse en LaTeX dans une fenêtre code en utilisant la syntaxe LaTeX du site visible dans ma dernière réponse ?

La formule générale de la symétrie orthogonale par rapport à la droite

dans un repère où est obtenue par la résolution du système de deux équations :

### 1. Condition de Milieu (Appartenance à D)

Le milieu de doit vérifier :





### 2. Condition d'Orthogonalité (Métrique)

Le vecteur doit être orthogonal au vecteur directeur

selon le produit scalaire :





### 3. Résolution pour (Méthode de Substitution)

Pour éliminer , on multiplie par et par (en réarrangeant légèrement) :



En additionnant ces deux équations :







### 4. Formule du Symétrique



Pour retrouver la formulation du posteur ,

il suffit de factoriser le signe du terme en :



La formule est donc **mathématiquement cohérente** avec la résolution du système d'équations
de la symétrie orthogonale dans un repère non-orthonormé.

[Traximus]

Bonjour,

Je viens de me rendre compte que mon dernier message n'a pas été bien posté!
Malheureusement, j'ai des difficultés à suivre le cours de la discussion (mon niveau de maths ne me le permets pas).

Je souhaiterai reprendre le problème initial avec la démarche mentionnée de gg0 aux postes #2 et #12.

Donc, je refais la figure avec cet fois un repère orthonormé


Nous avons donc deux équations:
et

"1) d'abord donner la règle de la symétrie sous la forme "le symétrique du point M(x,y) est le point M'(x',y') avec x'= ... et y'= ..."
Il s'agit de "la règle", pas de prendre un point (qui t'arrange !!), donc de travailler avec les lettres x et y.

Pour trouver les points x' et y' de manière littérale, cela suppose que je connaisse déjà la fonction g recherchée, n'est ce pas?

Merci

[gts2]

Pour trouver les points x' et y' de manière littérale, cela suppose que je connaisse déjà la fonction g recherchée, n'est ce pas ?

Non : il faut traduire la symétrie ce qui est fait dans la réponse de l'IA à @Biname du message #27 (calculs dans lesquels, il faudra faire m=1)

[pm42]

Donc, je refais la figure avec cet fois un repère orthonormé

Et si tu traces le symétrique dans ce repère, tu vois que ce n'est pas une fonction au début au moins : la courbe passe par plusieurs y pour les valeurs de x négatif et tu n'arriveras pas à avoir le point symétrique pour x=0 et un peu au dessus.
C'était aussi dans les messages de gg0 donc je rends à César...