Au sujet des systêmes d'équations algébriques non linéaires

[le fouineur]

Bonjour à tous,

L'objet de mon post d'aujourd'hui est une demande d'aide, je vous expliquerai en quoi elle consiste à la fin de mon message.

J'ai résolu complètement en juillet 1993 le système d'équations non linéaires suivant:

x+y+z = 48
x²+y²+z² = 810
x^3 +y^3 +z^3 =14364

Comme je l'avais écrit sur le forum dans un post datant de 2006 (à peu près), ce problème d'algèbre supérieure est issu d'un ouvrage du mème nom et a été extrait si mes souvenirs sont encore bons de l'épreuve préliminaire pour intégrer l'E.N.S. (rue d'Ulm) datant du début des années 1900.

Ma méthode: (1ére méthode)

Posons (x+y)=T alors x²+y²= (x+y)² -2*xy d'oû x²+y²=T²-2*xy

Et x^3 + y^3=(x+y)*(x²-xy+y²) d'oû x^3+y^3=(x+y)*(x²+y²-xy) et si on pose maintenant xy = U alors x² + y²=T² -2*U

Et comme x^3 +y^3 = (x+y)*(x²+y²-xy) on en déduit: x^3 +y^3 =T*(T²-2*U-U)=T*(T²-3*U)

On a: x+y+z=48 donc z=48-(x+y) et par conséquent z= 48-T

D'oû le système transposé en variables auxiliaires U et T:

T+z=48
T²-2*U+z²=810
T^3-3*U*T+z^3=14364

Eliminons maintenant z selon z=48-T, il vient

z=48-T équation (1)
T²-2*U+(48-T)²=810 équation (2)
T^3-3*U*T+(48-T)^3=14364 équation (3)

Eliminons maintenant U, afin d'obtenir une dernière équation ne comportant plus que des T: on a donc, pour l'équation (2):

T²-2*U+(48-T)²=810
-2*U=810-(48-T)²-T²
2*U=(48-T)²+T²-810
d'oû U=1/2*(48-T)²+1/2*T²-405

Et en remplaçant U par sa valeur dans l'équation (3) il vient finalement l'équation en T attendue:

T^3-3*T*[1/2(48-T)²+1/2*T²-405]+(48-T)^3=14364
Il vient T^3-3/2(48-T)²*T-3/2*T^3+1215*T+(48-T)^3-14364=0
T^3-(3/2*T^3)+(48-T)^3-3/2[(48-T)²*T]+1215*T-14364=0
-1/2*T^3+[(48-T)*(48-T)*(48-T)]-3/2[T*(48-T)*(48-T)]+1215*T-14364=0
-1/2*T^3+[2304-2*(48-T)+T²]*(48-T)-3/2[(48*T-T²)*(48-T)]+1215*T-14364=0
-1/2*T^3+[(2304-96*T+T^2)*(48-T)]-3/2*[2304*T-2*(48*T²)+T^3]+1215*T-14364=0
-1/2*T^3+[110592-2304*T-4608*T+96*T²+48*T²-T^3]-3456*T+2*(72*T^2)-3/2*T^3-1215*T-14364=0


-(1/2*T^3)-(T^3)-(3/2*T^3)+96*T²+48*T²+(2*72*T²)-2304*T-4608*T-3456*T+1215*T+110592-14364=0
-3*T^3+288*T²-9153*T+96228=0 et en divisant par 3 les deux membres de cette équation, il vient finalement une simple équation du troisième degré(prévisible!) que voici:

-T^3+96*T²-3051*T+32076=0 soit encore: T^3-96*T^2+3051*T-32076=0 oû l'on peut aisément faire disparaître le terme en T² par un changement de variable simple et judicieux...

On arrive alors à une équation du type X^3 +p*X +q=0 que je suppose, pour le lecteur qui à eu le courage de me lire jusqu'ici, être facilement résoluble.

Après résolution, on obtient facilement T1=27 T2=33 T3=36 chacune de ces déterminations permet le calcul immédiat de z:

par exemple Z=48-T1=48-27 d'oû z=21 et on sait d'après l'énoncé que x+y+z =48 d'oû x+y=48-21=27

et encore d'après l'énoncé x²+y²+z²=810 d'oû x²+y²+21²=810 donc x²+y²=369 on peut donc construire le système de deux équations suivant et en appelant S la somme de x et y et p la somme de x²et y², il vient:

x+y 27=S
x²+y²=369=S²-2*P


x+y=27
27²-2*P=369

x+y=27
-2*P=-360

S=27 P=180 d'oû l'équation évidente du type X²-S*X+P=0 qui débouche sur les solutions x=12 et y=15 sachant z=21

Le problème est maintenant à demi résolu car je considère qu'il doit au moins exister une seconde méthode plus simple et plus rapide pour aboutir au mème résultat et sûrement très différente de la mienne, assez brutale, mais utilisant des outils simples: modification des identités remarquables + changement de variables. Je suis ouvert à tous types de suggestions mèmes partiellement abouties et je ne fixe bien évidemment aucune limite de temps...

N.B. Vous avez sans doute remarqué que j'ai volontairement zappé la résolution de l'équation du 3ème degré, je détaillerai donc le calcul si quelqu'un en fait la demande...

Cordialement le fouineur
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[stefjm]

Bonjour

Peut-être avec les identités de Newton?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9s_de_Newton

et sommes symétriques
s1​=x+y+z,
s2=xy+yz+zx,
s3=xyz

[jacknicklaus]

Bonjour,
la technique des polynômes symétriques fonctionne très bien :

notons



Et les polynomes symétriques :




On cherche à exprimer A1 A2 A3 en fonction des S1 S2 S3, de manière à calculer les S1 S2 S3 : il vient :
donc S_1 = 48
donc S_2 = 747

d'où S_3 = 3780
en conséquence, {x,y,z} sont les 3 racines du polynôme en t

revenons à la forme canonique en éliminant le terme en t^2. Pour celà posons u = t - 16. L'équation en t se transforme en équation en u :

dont -1 est racine évidente. On résout l'équation de degré 2 restante pour trouver

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Tout d'abord veuillez m'excuser pour ma nouvelle intervention assez tardive mais j'attendais aux moins deux avis pour reprendre cette discussion. Et de ce fait je remercie vivement stefjm et jacknicklaus pour leurs contributions constructives, j'ai néanmoins une petite remarque concernant la méthode proposée par jacknicklaus, je m'explique:

Pour ce problème, on ne dispose que de deux éléments: 1°) - le système initial à résoudre
2°)- la précision du champ de recherche des solutions, en l'occurence c'est l'ensemble des réels

Et je me pose la question suivante: pour le calcul de S1², il est nécessaire de connaitre S1: c'est le cas ici mais aussi de connaître sauf erreur de ma part S2 qui est une combinaison particulière des racines dont on ne dispose pas car elle fait inervenir dans sa formulation la valeur des racines qui est précisément l'ensemble des inconnues recherchées.... D'oû ma perplexité.

Pouvez-vous répondre à mon objection? Je vous en remercie d'avance. Cordialement le fouineur










)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Bonjour,

pour le calcul de S1², il est nécessaire de connaitre S1: C'est le cas ici mais aussi de connaître sauf erreur de ma part S2 qui est une combinaison particulière des racines dont on ne dispose pas car elle fait inervenir dans sa formulation la valeur des racines qui est précisément l'ensemble des inconnues recherchées....

Je pense qu'il y a une faute de frappe pour qui est plutôt , mais cela ne change rien au fait que si S1 est connu alors on peut bien en déduire S2.

[gg0]

Bonjour Lefouineur.

L'intérêt de l'algèbre est justement de manipuler des quantités connues ou inconnues pour traiter les problèmes. C'est ce qu'a fait Jackniklaus.

Cordialement.

[le fouineur]

Rebonjour,

Merci pour vos deux contributions,

@ gts2: En refaisant les calculs je ne parviens pas encore cette fois à obtenir 3780 pour S1^3 et j'ai essayé plusieurs fois en essayant de modifier les coefficients, sauf erreur de ma part, il y a un soucis quelque part et ne connaîssant pas les formules employées par jacknicklaus je n'ai pas de modèle pour effectuer des comparaisons.... Pourrais-tu s'il te plait me détailler le calcul de S1^3?

Merci d'avance Cordialement le fouineur

[gts2]

Le problème est peut-être que ce n'est pas mais S3=3780.



On reconnait A3 et S3





On reconnait S3 :


d'où l'on tire la parenthèse :



que l'on reporte dans l'expression de

, soit S3=3780

[jacknicklaus]

j'ai néanmoins une petite remarque concernant la méthode proposée par jacknicklaus, je m'explique:

Pour ce problème, on ne dispose que de deux éléments: 1°) - le système initial à résoudre
2°)- la précision du champ de recherche des solutions, en l'occurence c'est l'ensemble des réels

Et je me pose la question suivante: pour le calcul de S1², il est nécessaire de connaitre S1: c'est le cas ici mais aussi de connaître sauf erreur de ma part S2 qui est une combinaison particulière des racines dont on ne dispose pas car elle fait inervenir dans sa formulation la valeur des racines qui est précisément l'ensemble des inconnues recherchées.... D'oû ma perplexité.

Pouvez-vous répondre à mon objection? Je vous en remercie d'avance. Cordialement le fouineur

Et je me pose la question suivante: pour le calcul de S1², il est nécessaire de connaitre S1: c'est le cas ici mais aussi de connaître sauf erreur de ma part S2 qui est une combinaison particulière des racines dont on ne dispose pas car elle fait inervenir dans sa formulation la valeur des racines qui est précisément l'ensemble des inconnues recherchées.... D'oû ma perplexité.

Pouvez-vous répondre à mon objection? Je vous en remercie d'avance.

1) effectivement, merci gts2, il y a une coquille dans le LaTex : il faut lire
donc S_2 = 747

2) pour ta question, le fouineur, quelques précisions :
On parle de polynome symétrique si un polynome de plusieurs variables (disons x,y,z par exemple) a sa valeur inchangée par toute permutation des variables x,y z. Par exemple, il est clair que est inchangé si on remplace x par y, y par z et z par x.

On montre alors qu'un tel polynome peut s'écrire en fonction de ce qu'on appelle les polynomes symétriques élémentaires. Par exemple peut donc s'écrire en fonction des 3 polynomes symétriques élémentaires à 3 variables . C'est un théorème "bien connu".

Et on peut (à priori) obtenir la valeur de ces 3 polynomes symétriques quand les 3 égalités de l'énoncé sont respectées, car 3 équations et 3 inconnues. En fait, la valeur des 3 polynômes symétriques s'obtient bien plus facilement, de proche en proche, en commencant par S1 (trivial), puis S2, puis S3

[le fouineur]

Bonjour à tous,

J'espère que vous m'excuserez de répondre si tard, je reprends le fil de la discussion:

Il me semble en relisant l'ensemble des calculs qu'il subsiste encore deux petites erreurs de saisie:

1)dans le premier message de jacknicklaus: il faut lire S1^3= (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3*(x²y+x²z +y²x+y²z+z²y+z²x)+3xyz au lieu de 6xyz

2)toujours dans ce message: il faut lire S3=-3780 au lieu de S3=3780

Cela corrigé, je suis extrèmement satisfait de la qualité des réponses qui m'ont été apportées par la communauté et qui ont répondu au delà de mes attentes et d'une manière éclairée à ma requète initiale.

Cordialement le fouineur

[gts2]

1)dans le premier message de jacknicklaus: il faut lire S1^3= (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3*(x²y+x²z +y²x+y²z+z²y+z²x)+3xyz au lieu de 6xyz
2)toujours dans ce message: il faut lire S3=-3780 au lieu de S3=3780

C'est bien 6xyz : wolframalpha (ou à faire à la main) et donc bien +3780.

[gg0]

Bonjour.
Formule mal recopiée :

Bonjour à tous,

1)dans le premier message de jacknicklaus: il faut lire S1^3= (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3*(x²y+x²z+y²x+y²z+z²y+z²x)+3xyz au lieu de 6xyz

C'est S1^3= (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3 +3 *(x²y+x²z+y²x+y²z+z²y+z²x)+3xy z et c'est aussi bien 6xyz.

Cordialement.

[gg0]

On a bien 6xyz.

[le fouineur]

Merci à tous les deux pour vos réponses rapides,

Je suis entièrement d'accord avec vos correctifs, je les ai vérifiés avec une attention particulière. Pour celui de gg0 qui a sauté des lignes dans sa preuve, (je n'en suis encore pas à ce niveau), j'ai constaté en détaillant au maximum le calcul et en utilisant des couleurs que celle ci était rigoureuse et par conséquent exacte. Cela m'a permis (et avec la juste remarque de gts2) de déceler plus rapidement mes erreurs de calcul.....

Encore merci à vous deux Cordialement le fouineur

[gg0]

Heu ... je n'ai pas "sauté des lignes", simplement utilisé les identités remarquables classiques (*) et des développements élémentaires. Je n'ai pas non plus terminé la réorganisation des monômes.

[stefjm]

Ce qui revient à sauter des lignes...

[gg0]

J'agis toujours en pensant mes lecteurs intelligents