la formule de math la plus étonnante: 1+2+3+...= -1/12

[pachacamac]

Bonjour,

Je viens de terminer la lecture de l'excellent livre de Cédric Villani."Leçons de mathématique joyeuse"
Tous est facile et agréable à lire jusqu'à la page 403/407
Mais là il nous dit que si on fait la somme infinie de tous les entiers on trouve -1/12

1+2+3+...=-1/12 comme il le dit lui même c'est étonnant et c'est un euphémisme...

Auriez vous des lumières à ce sujet?

Voici le passage en entier :

" en voici une célèbre et marquante que l'on ne peut comprendre qu'en passant par les nombres imaginaires :
1+2+3+...= -1/12
Cette formule dit que la somme de tous les entiers est égale à - 1/12. déroutant n'est ce pas? Après cela qui pourras prétendre que les mathématiciens ne sont pas des poètes? Pour comprendre cette formule, il faut reprendre la définition de la somme infinie et passer par certains couloirs dérobés du raisonnement! Mais à la fin la formule est établie de façon parfaitement rigoureuse, satisfaisant ainsi la contrainte des contrainte en mathématiques..."

Merci
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[racard]

Bonjour,

Je viens de terminer la lecture de l'excellent livre de Cédric Villani."Leçons de mathématique joyeuse"
Tous est facile et agréable à lire jusqu'à la page 403/407
Mais là il nous dit que si on fait la somme infinie de tous les entiers on trouve -1/12

1+2+3+...=-1/12 comme il le dit lui même c'est étonnant et c'est un euphémisme...

Auriez vous des lumières à ce sujet?

Voici le passage en entier :




Merci

bonjour c'est du n'importe quoi !
la somme n des entiers Sn et bien connu et cela se démontre assez facilement.
pouvez vous faire une photo de la page du livre afin de voir si vous avez bien tapé le texte ?
ce n'est pas la somme des entiers mais la série alternée des entiers et cela n'a rien avoir.

[oualos]

J'ai souvenir qu'un physicien américain -mais j'ai oublié son nom- s'est servi de cette formule dans une équation pour démontrer une propriété.
Il énonce le résultat mais sans plus de précision.
Par ailleurs Ramanujan a écrit une lettre au début du Xxe siècle à un mathématicien britannique pour lui dire que ce dernier allait le prendre pour un fou mais qu'il avait trouvé ce résultat complètement étonnant.
Il y a plusieurs videos sur YouTube qui traitent de ce sujet.

[pachacamac]

@racard : J'ai un peu la flemme de scanner la page mais je vous certifie que j'ai recopié sans erreur tout le passage cité. Je pense qu'il ne me reste plus qu'à écrire à Cedric Villani pour essayer de lui demander des éclaicissements...

@oualos : aurais tu des mots clefs pour essayer de trouver ces vidéos sur YouTube?

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

C'est un serpent de mer des forums de Maths...

https://forums.futura-sciences.com/m...ramanujan.html
https://forums.futura-sciences.com/m...3-4-5-0-a.html

Et pour être pertinent, faire une recherche avancée sur ce forum avec somme, entiers, identifiant : Médiat.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ramanujan

C'est quoi la contrainte des contraintes en maths pour Villani?

[gg0]

Bonjour Pachacamac.

On parle souvent de cette "formule", malheureusement en oubliant de dire ce que signifie les "..." et le = qui suit. En particulier qu'il ne s'agit absolument pas d'additionner indéfiniment les entiers; On sait que la somme de tous les entiers est infinie (au sens où en additionnant suffisamment d'entiers on dépassera tout nombre entier ou réel fixé). Un mathématicien sérieux écrit 1+2+3+4+... = +oo ou dira "la série diverge".
Là, si c'est bien un texte de Cédric Villani, c'est même un peu n'importe quoi (la volonté de vulgariser à étouffé le mathématicien). C'est une frime de savant, et malheureusement, on trouve souvent cette prétention de présenter des "résultats" qu'on serait bien en peine d'expliquer correctement. Car ici, il faudrait parler des séries, et de leur convergence; puis de ce qu'on appelle "sommation des séries divergentes" (expression contradictoire, puisque divergente dit que ce n'est pas sommable), technique mathématique correctement fondée et très utilisée par les physiciens sous le vocable de "renormalisation".
Je t'encourage à demander des explications à l'auteur.

Cordialement.

[racard]

@racard : J'ai un peu la flemme de scanner la page mais je vous certifie que j'ai recopié sans erreur tout le passage cité. Je pense qu'il ne me reste plus qu'à écrire à Cedric Villani pour essayer de lui demander des éclaicissements...

@oualos : aurais tu des mots clefs pour essayer de trouver ces vidéos sur YouTube?

si vraiment c'est le cas c'est incompréhensible de la part d'un médaillé de fields...
je dirai même que c'est très grave...
faites une photo avec le téléphone ici avant de contacter le Pr VILLANI

[racard]

Je t'encourage à demander des explications à l'auteur.

Cordialement.

avant de le contacter inutilement le Pr qu'il fasse une photo ici pour vérification au préalable c'est l’intérêt du forum justement d'éviter cela aussi

[Black Jack 2]

Bonjour,

Voila ce qui arrive quand on enlève des "affirmations" de leur contexte.

Il ne s'agit pas du tout d'une "somme classique" comme le laisse supposer ce post.

La somme (1+2+3+...=-1/12) n'est pas une addition mathématique classique, mais le résultat d'une technique mathématique spécialisée appelée sommation de Ramanujan-Sato, utilisée principalement en physique théorique.

Chercher des infos sur le net pour "sommation de Ramanujan-Sato"

[racard]

mais c'est quoi ce bazard ????
on trouve n'importe quoi sur internet ?
https://video.math.cnrs.fr/la-somme-...s-les-entiers/
https://scienceetonnante.com/blog/20...7/1234567-112/
https://www.youtube.com/watch?v=xqTWRtNDO3U
de la à imaginer que le Pr a fait un bouquin en posant juste son nom sur le livre sans relire le contenu ?
si c'est le cas c'est très très grave et cela pourrait entacher sa renommée une photo du bouquin pour tirer cela au clair

[stefjm]

C'est curieux mais j'ai assez confiance dans les productions du CNRS...

Et Cédric Villani n'étant pas un imbécile, il savait que la formule en question ferait vendre...

[racard]

C'est curieux mais j'ai assez confiance dans les productions du CNRS...

Et Cédric Villani n'étant pas un imbécile, il savait que la formule en question ferait vendre...

regardez cette vidéo je suis d'accord avec son auteur :
https://www.youtube.com/watch?v=GnZQOb9YNV4
pour moi le décalage pour annuler c'est de la magouille et que les mathématiciennes ont donnés un nom spécifique que je ne connaissais pas.
je trouve malhonnête d'écrire cela dans un livre

[pachacamac]

J'ai demandé des explications à ChatGPT qui sait quasiment tout et il m'a donné la solution. En fait Cédric est un peu abusif lorsqu’il parle de somme car ce n'est pas une somme naturelle comme on apprend en primaire qui donnerait bien évidemment l'infini comme résultat mais une somme zêta régularisée..
Quand on utilise la fonction zêta de Riemann on trouve ce résultat..mais en ce qui me concerne cela reste très étonnant.

[pachacamac]

@racard. tu insistes pour demander une photo du passage, c'est un peu désobligeant vu que je te certifie que j'ai recopié exactement tout le passage qui en parle.

[pachacamac]

@stefjm :"Et Cédric Villani n'étant pas un imbécile, il savait que la formule en question ferait vendre... "

Faire vendre ça m’étonnerait vu que cela représente 5 ou 6 lignes dans un excellent livre de 400 pages . Par contre si c'est pour étonner ses lecteurs il a réussi son coup

[gg0]

Pachacamac : "J'ai demandé des explications à ChatGPT qui sait quasiment tout " ?? Effectivement, il a récupéré tout. Ce qui est vrai et ce qui est faux. Malheureusement, il est parfois incapable de choisir.

[racard]

@racard. tu insistes pour demander une photo du passage, c'est un peu désobligeant vu que je te certifie que j'ai recopié exactement tout le passage qui en parle.

je vous crois donc libre à vous de contacter le Pr avec vos arguments.
néanmoins j'aurai aimé voir ce passage pour constater si du texte est rajouté en supplément...
maintenant si faire une photo vous tracasse ok

[stefjm]

Les nombres p-adique ou à format fixe ne sont pas si difficiles à comprendre.

En base 10 à un chiffre.
A droite sans l'utilisation du symbole - et à gauche avec.
Facile de voir que
5+4=9, donc -1
9+1 = 10, sort du format donc 0
4+4=8, sort du format donc -2

5 : -5
6 : -4
7 : -3
8 : -2
9 : -1
0 : 0
1 : 1
2 : 2
3 : 3
4 : 4

En base 10 à deux chiffres
50 : -50
51 : -49
...
98 : -2
99 : -1
0 : 0
1 : 1
...
48 : 48
49 : 49

9, 99, 999 sont toutes des représentations en format fixe de -1.

Les informaticiens numériciens font cela en base 2.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Compl%...vec_la_base_10

[stefjm]

Pachacamac : "J'ai demandé des explications à ChatGPT qui sait quasiment tout " ?? Effectivement, il a récupéré tout. Ce qui est vrai et ce qui est faux. Malheureusement, il est parfois incapable de choisir.

Il choisit de mieux en mieux si on ne le force pas à halluciner.
C'est grâce à cette machine que j'ai découvert les identités de Newton et plein d'autres concepts.
Patient, disponible, pratique, efficace...

Tout le monde n'est pas de cet avis, en particulier Eric Sadin qui a écrit :
Le Désert de nous-mêmes : Le tournant intellectuel et créatif de l'intelligence artificielle

https://www.cultura.com/p-le-desert-...373091762.html

Est-ce que les maths sont créatives pour les élèves? Pas sûr...

[pachacamac]

@racard "j'aurai aimé voir ce passage pour constater si du texte est rajouté en supplément...
maintenant si faire une photo vous tracasse ok "

Ce n' est pas que cela me tracasse mais cela coute de l'energie . à moi pour faire la photo et la transferer mais surtout à l'humanité une photo sur le web consomme de l'energie Donc si c'est utile pourquoi pas mais quand c'est superflu j'essaie d’éviter le gaspillage et puisque je vous certifie qu'il n'y a rien de plus en supplément c'est donc inutile .Bon je vous publie quand même cette image



note : je ne vais pas contacter Cédric car j'ai maintenant une grande partie de la réponse même si je comprend pas pourquoi quand on passe par la fonction zêta de Riemann on obtient des choses comme celle ci qui sont ou semblent contradictoires avec les sommes naturelles. Parce que s'il devait m'expliquer cela à moi qui ne maitrise pas du tout cette fonction il devrait presque m'ecrire un autre livre

note : je lui avait posé une question suite à son livre théorème vivant et il m'avait répondu

@stefjm : j'ai rien compris a ton message mais surtout je vois pas le rapport entre es nombres p-adique et la formule dont on cause. Sinon je suis d'accord avec toi sur l'aide que peux apporter ChatGPT qui est en quelque sorte devenu mon prof en physique théorique et qui est toujours disponible.

[Médiat]

Soyons clairs : une somme infinie d'entiers (ou de réels ou de ...) n'existe pas !

[racard]

je vous certifie qu'il n'y a rien de plus en supplément c'est donc inutile .Bon je vous publie quand même cette image

je vous remercie pour l'image hélas on va tous mourir à cause de celle ci.
je n'apprécie pas de lire que c'est en passant par les nombres imaginaires, y a t'il d'autres personnes du même avis ?

[stefjm]

@stefjm : j'ai rien compris a ton message mais surtout je vois pas le rapport entre es nombres p-adique et la formule dont on cause. Sinon je suis d'accord avec toi sur l'aide que peux apporter ChatGPT qui est en quelque sorte devenu mon prof en physique théorique et qui est toujours disponible.

Le lien est déjà évoqué dans un des liens vers ce forum que j'ai déjà donné.

Je ne serais pas surpris que votre mémoire soit correcte, je n'ai pas de source sous la main, mais dans les p-adiques on a des résultat comme :

(10-adique) 9 +90 +900 + ... = ...999 = -1

Et moi, je n'ai fait que tronquer au format fixe en base 10 à 1 ou 2 chiffres.

On additionne que du positif et on obtient une représentation négative.

Cela permet de voir le truc sans les complexes.
Sinon, c'est le prolongement analytique de la fonction zéta de Riemann et c'est plus ardu!

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann# Extension_%C3%A0_%E2%84%82_\_{ 1}

[stefjm]

je vous remercie pour l'image hélas on va tous mourir à cause de celle ci.
je n'apprécie pas de lire que c'est en passant par les nombres imaginaires, y a t'il d'autres personnes du même avis ?

C'est vague, comme de la vulgarisation...

C'est pas simple les sommations des séries divergentes.
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_divergente

[pachacamac]

Une recette simple , sans nombre imaginaire, mais non rigoureuse pour trouver ce -1/12



source et plus d'infos => wikipedia

[stefjm]

Avec le calcul "naif" du dessus, on peut (probablement?) obtenir la valeur qu'on veut.

Ce qui m'intéresse serait de comprendre pourquoi Ramanujan a proposé celui là et pas un autre.

[oualos]

@oualos : aurais tu des mots clefs pour essayer de trouver ces vidéos sur YouTube?

https://www.youtube.com/watch?v=xqTWRtNDO3U
Dans la barre à droite tu trouveras d'autres videos.

Tout a été dit ou presque sur cette sommation qui est une extension de la sommation simple connue en arithmétique.
Comment Ramanujan est arrivé à ce résultat ? Sur wikipedia c'est bien expliqué que ce ne sont pas des sommes habituelles de séries divergentes
Ça peut l'être dans ce qu'on appelle les séries télescopiques où les deux concepts de sommation coïncident.
Mais finalement dans le cas de séries télescopiques on peut arguer qu'elles ne sont pas divergentes: ou alors elles sont bien divergentes à condition de séparer chacun des termes en deux séries distinctes qui divergent comme 1/n(n+1).
Mais le résultat converge puisque les termes s'annulent 2 à 2
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ramanujan

[jacknicklaus]

Bonjour,

puis-je suggérer de relire le post #25 dans

https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post7196417

[ThM55]

Il y a une autre façon de comprendre ce -1/12, c'est le raisonnement des physiciens. On le trouve par exemple dans le premier volume de "String Theory" de Polchinski, qui est une référence très connue pour la théorie des cordes. En page 21, il calcule l'énergie d'une corde quantique et trouve une constante infinie qui contient la somme 1+2+3+4... . Il est assez courant en physique quantique des champs d'obtenir une constante infinie dans l'énergie. En général on la soustrait simplement; on décide de l'ignorer. Mais dans le cas de la corde quantique, si on veut respecter l'invariance de Lorentz (la relativité), on ne peut pas simplement soustraire cette constante, on doit lui donner une valeur bien précise, qui est aussi liée à la dimension de l'espace-temps (qui doit valoir 26, mais peu importe). Il se fait que dans ce cas on doit poser 1+2+3+4+5+... égal à -1/12.

Faisons une pause pour prendre conscience d'une coïncidence que je trouve personnellement incroyable: les exigences pour qu'une corde obéisse à la mécanique quantique et à la relativité imposent de remplacer dans le calcul la somme 1+2+3+4+... par -1/12. Je trouve cela étonnant. Ramanujan n'avait certainement pas soupçonné cela.

Polchinski précise que dans le chapitre suivant, il démontrera la valeur de la constante d'une manière plus correcte et rigoureuse, sans avoir besoin de cette somme absurde. En effet dans le premier chapitre il montre comment quantifier simplement la corde relativiste, mais avec une méthode peu satisfaisante pour diverses raisons. Cependant, il donne la justification suivante pour la valeur -1/12. Il fait converger la somme en affectant chaque terme n d'un facteur exponentiel où est un petit paramètre réel positif qu'il fera tendre vers 0 à la fin du calcul et k est une constante dont la signification importe peu ici.

On la remplace donc par . Cette somme converge vers une expression de la forme . On obtient l'infini si on fait tendre vers 0. Mais c'est un phénomène courant en théorie quantique des champs. On fait la supposition que la somme complète jusqu'à l'infini n'est pas justifiée physiquement et que des contraintes physiques encore inconnues doivent la tronquer à une valeur N très grande mais inconnue dans l'état actuel de la théorie. Il suffit alors de modifier l'action de la corde en ajoutant ce qu'on appelle un contreterme dans l'expression de l'énergie, qui va annuler le terme en . Comme on l'a soustrait, il ne reste que le -1/12.

Michel Talagrand prétend qu'un physicien a écrit dans un traité que la somme vaut -1/12, ce qu'il considère très justement comme une hérésie. Mais Polchinski ne dit pas cela, il dit qu'on doit remplacer cette somme par -1/12 dans l'expression de l'énergie, et il le justifie par une opération qui supprime la divergence. C'est très différent. Si Talagrand parlait de Polchinski c'est qu'il a mal lu le premier chapitre.

[stefjm]

Pour les calculs à l'ancienne, version vieux con que je suis :

https://www.wolframalpha.com/input?i...E%28-n*x%29%29

https://www.wolframalpha.com/input?i...5Ex+-+1%29%5E2

Mais il faut reconnaitre que maintenant, les jeunes sont plus efficaces!

Version chatGPT en attaché.