la formule de math la plus étonnante: 1+2+3+...= -1/12

[stefjm]

Soyons clairs : une somme infinie d'entiers (ou de réels ou de ...) n'existe pas !

Même si ... = inverse des entiers au carré?
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[racard]

qui pourra prétendre que les mathématiciennes ne sont pas des poètes ?
pourquoi donc indiquer mathématiciennes ?

[Médiat]

Même si ... = inverse des entiers au carré?

Oui, même si !

Ce dont vous parlez est, sans doute , mais ceci est une abréviation pour , qui n'utilise que des sommes finies.

Si vous avez un doute essayez d'écrire (dans le langage et la logique de l'arithmétique) la définition d'une somme d'un nombre infini de termes.

[stefjm]

Ahhhh oui.
Merci Médiat.

[ThM55]

Personnellement, je n'ai jamais beaucoup aimé les mathématiques (toute ces exigences sur les conditions, interdiction d'oublie le symbole lim etc, c'est ch...), sauf quand elles se révélaient dans la physique, c'est-à-dire la nature, comme dans l'exemple que j'ai donné plus haut: quantification d'une corde relativiste => valeur du prolongement de zeta en -1 est -1/12 (sinon la théorie est incohérente). Je trouve ça fou: il n'y a a priori aucun rapport entre d'une part une corde, la mécanique quantique, la relativité restreinte et d'autre part la fonction zeta et son prolongement analytique.

[stefjm]

J'ai toujours adoré les mathématiques mais en étant trop mauvais pour en faire sérieusement.

Quand au lien symétrique physiques <-> mathématiques, il ne me surprend pas plus que cela.
On retrouve par exemple en physique des entiers parfaits et rien que cela, c'est beau (mais personne ne les cherche).
5-6, 27-28, 495-496

Et je ne suis pas insensible à la forme de ces nombres : avec p premier.

Surtout quand on retrouve le plus célèbre d'entre eux (Mersenne) en physique .

Alors pour un -1/12...

[pachacamac]

@racard : "pourquoi donc indiquer mathématiciennes ?

Dans son livre Cédric emploie au moins une dizaine de fois mathématiciennes à la place de mathématiciens.
En tout cas je le remercie d'avoir cité le 1+2+3 +...=-1/12 parce que ça m'a fait réfléchir et ça reste très étonnant et mystérieux pour moi.( autant que le problème de la fourmi sur un élastique)

[racard]

@racard : "pourquoi donc indiquer mathématiciennes ?

Dans son livre Cédric emploie au moins une dizaine de fois mathématiciennes à la place de mathématiciens.
En tout cas je le remercie d'avoir cité le 1+2+3 +...=-1/12 parce que ça m'a fait réfléchir et ça reste très étonnant et mystérieux pour moi.( autant que le problème de la fourmi sur un élastique)

ca reste une magouille qui ne me convainc absolument pas.
la magouille de décaler comme on peut le faire pour la preuve des séries de nombres est ici une magouille qui n'a aucun sens logique.
la fourni sur l’élastique est bien réelle, cela se met en équation.

[gg0]

Mais bien sûr la "preuve " par décalage n'est en rien une démonstration. Ça n'est pas des maths, seulement une façon de penser heuristique. Ce qui n'interdit pas que cette sommation puisse avoir un intérêt mathématique.

Cordialement.

[racard]

Mais bien sûr la "preuve " par décalage n'est en rien une démonstration. Ça n'est pas des maths, seulement une façon de penser heuristique. Ce qui n'interdit pas que cette sommation puisse avoir un intérêt mathématique.

Cordialement.

oui elle a un intérêt mais en quoi la somme de nombre entiers positif peut basculer dans l'ensemble R- ?

[Médiat]

Parce que ce n'est pas une somme ! (qui n'existe pas)

[racard]

Parce que ce n'est pas une somme ! (qui n'existe pas)

ah oui c'est quoi donc ? alors si cela n'existe pas le signe égal indique alors que -1/12 n'existe pas !
le signe égal signifie beaucoup de choses en mathématiques
vrai = faux ?

[Médiat]

L'article de wikipedia est clean puisqu'il note : , le R final informe bien que ce n'est pas la somme usuelle.

Sinon je peux aussi démontrer que , ce qui est manifestement faux

[ThM55]

ah oui c'est quoi donc ? alors si cela n'existe pas le signe égal indique alors que -1/12 n'existe pas !
le signe égal signifie beaucoup de choses en mathématiques
vrai = faux ?

Si on interprète cette somme comme une mauvaise expression de zeta(-1) (par abus de notation pour la série valable pour Re(z)>1), c'est la valeur du prolongement analytique de la fonction zeta. Et ceci est mathématiquement correct et rigoureux. Il me semble qu'on l'a déjà expliqué plus haut.

[gg0]

Voir mon message #6.

[stefjm]

Sinon je peux aussi démontrer que , ce qui est manifestement faux

-1/2 d'après le développement en série de Laurent ou régularisation de Dirichlet.

https://www.wolframalpha.com/input?i...28e%5Ex+-+1%29
https://www.wolframalpha.com/input?i...finity%2C+1%29

Le -1 me fait vraiment penser au bit de signe de l'informatique (ou au dépassement de capacité en format fixe).

[Médiat]

Si je rajoute des , je ne change rien



En ajoutant les 2 lignes

, d'où

C'est facile de faire dire n'importe quoi à un truc qui n'existe pas

[racard]

Si je rajoute des , je ne change rien



En ajoutant les 2 lignes

, d'où

C'est facile de faire dire n'importe quoi à un truc qui n'existe pas

oui c'est de la magouille et ce n'est pas des maths.

[Médiat]

Ben non, c'est ce que dis depuis le début et dans le post que vous citez, et cela concerne entre autres le titre de ce fil

[stefjm]

[...]
, d'où

C'est facile de faire dire n'importe quoi à un truc qui n'existe pas

Ce qui m'intrigue est le résultat plus acceptable que les autres et qui plus est match en physique.

[stefjm]

ah oui c'est quoi donc ? alors si cela n'existe pas le signe égal indique alors que -1/12 n'existe pas !

-1/12 n'existe pas dans les entiers positifs pour au moins deux raisons.
D'ailleurs, vous l'aviez bien noté :

oui elle a un intérêt mais en quoi la somme de nombre entiers positif peut basculer dans l'ensemble R- ?

le signe égal signifie beaucoup de choses en mathématiques

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...C3%A9matiques)

vrai = faux ?

Je dirais que c'est faux.

[racard]

-1/12 n'existe pas dans les entiers positifs pour au moins deux raisons.
D'ailleurs, vous l'aviez bien noté :



https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...C3%A9matiques)


Je dirais que c'est faux.

donc c'est bien de la magouille

[pachacamac]

Vous dite que cette "démonstration" de C= 1+1 +1 => C = 0 est fausse, est de la magouille n'existe pas etc..mais pourtant pour y aboutir tout me semble autorisé et logique donc cela ressemble à une vrai démonstration. Je serai bien incapable de dire ce qui cloche dans cette démonstration...

[Médiat]

Je l'ai déjà écrit la somme des entiers est une opération binaire, une somme d'une infinité de termes n'existe pas !

[stefjm]

Les ... n'explicite pas la méthode pour additionner une infinité de terme.

Dans le cas de série semi-convergente, par associativité et commutativité, on peut obtenir des sommes différentes.
Alors dans le cas de séries divergentes, c'est bien pire.

https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A..._somme_infinie

Il y a dans la définition des sommes de séries convergentes un calcul de somme finie, suivi d'un passage à la limite. Cette deuxième étape de passage à la limite fait que l'expression « somme infinie » n'est pas correcte pour qualifier les séries. Une telle « somme » n'est en effet ni commutative ni associative. Il n'est pas non plus possible, en général, de dériver une telle somme terme à terme par rapport à un paramètre.

[ThM55]

Mais peu importe tout cela puisque quand on écrit "-1/12" on ne parle pas de la somme de la série. On parle de (parfaitement définie par les mathématiciens) ou, comme les physiciens, de ce qu'on obtient quand on soustrait la partie divergente d'une somme régularisée (elles aussi parfaitement définies).

[Médiat]

Personne, en tous cas, pas moi, ne conteste l'écriture : , le R final informe bien que ce n'est pas la somme usuelle.

Ce qui est contestée c'est l'écriture que l'on trouve dans le titre de ce fil.

[MissJenny]

On fait la supposition que la somme complète jusqu'à l'infini n'est pas justifiée physiquement et que des contraintes physiques encore inconnues doivent la tronquer à une valeur N très grande mais inconnue dans l'état actuel de la théorie. Il suffit alors de modifier l'action de la corde en ajoutant ce qu'on appelle un contreterme dans l'expression de l'énergie, qui va annuler le terme en . Comme on l'a soustrait, il ne reste que le -1/12.

tel que tu le décris, cela ressemble à un bricolage infâme... mais je suppose qu'il y a plus que cela.

[pachacamac]

Feynman considérait que la renormalisation consistait à cacher les infinis sous le tapis

[ThM55]

Feynman considérait que la renormalisation consistait à cacher les infinis sous le tapis

Oui ceux qui ne connaissent que Feynman et pas Kenneth Wilson ni Steven Weinberg peuvent penser que ce n'est qu'un "bricolage infâme". Sans cela le succès des théories de jauge dans le modèle standard serait totalement incompréhensible. Il se fait que ces théories sont en réalité des théories effectives. La renormalisation ne revient pas à "cacher les infinis sous le tapis" mais à reconnaître qu'ils sont le reflet du fait que nos théories ont une validité limitée vers les hautes énergies. Le fait que ces théories soient "renormalisables" est dans cette optique un coup de chance; cela veut dire que leur dynamique est indépendante des détails de ce qui se passe à ces hautes énergies. Grâce à ce fait, il suffit en principe d'un nombre fini d'inputs expérimentaux pour que la théorie soit prédictive. Pour la relativité générale d'Einstein (linéarisée), on n'a pas cette chance. Mais dans les deux cas, cela signifie clairement que ce n'est pas la fin de la physique, il doit y avoir une physique encore inconnue au delà du modèles standard et de la relativité générale.

Mais pour revenir au sujet du fil, même si on n'accepte pas cette "soustraction du terme divergent" en le qualifiant de "caché sous le tapis" (donc susceptible de ressortir au prochain nettoyage), le prolongement analytique de la fonction zeta vers les nombres complexes de partie réelle inférieure à 1, au moyen de l'équation fonctionnelle de Riemann, est une procédure complètement rigoureuse et parfaitement justifiée en analyse complexe, tout le contraire d'un bricolage infâme (je vous encourage à lire l'article de Riemann sur la répartition des nombres premiers, il ne fait que 7 pages mais il a occupé les mathématiciens pendant 150 ans parfois jusqu'à la folie; traduction en anglais en appendice du livre d'Edwards: https://www.amazon.fr/Riemanns-Zeta-...s%2C223&sr=8-1 ).

Dans l'exemple de Polchinsky que j'ai cité, il reconnaît lui-même que ce qu'il fait dans le premier chapitre n'est pas satisfaisant mais par la suite il le justifie dans le cadre plus correct de la théorie des champs conformes, qui utilise les procédés de l'analyse complexe.