la formule de math la plus étonnante: 1+2+3+...= -1/12

[pachacamac]

Merci pour ces précisions.
-----

[stefjm]

Bonjour,
Quand j'aurais un peu de temps, je ferais ici (ou sur un post à part si c'est mieux) un développement de l'interprétation qu'on peut faire de cette somme en traitement du signal, en utilisant la transformée en z.

Edit : Finalement, je l'ai fait maintenant...

La suite constante à 1 est la réponse impulsionnelle de l'intégrateur, à savoir la suite constante égale à 1. On obtient un pôle en z=-1.
https://www.wolframalpha.com/input?i...%5E%28-n%29%29

avec abs(z)>1

Cela représente aussi l'énergie (infinie) de ce signal.

En posant , avec T période d'échantillonnage, on obtient en transformée de Laplace :

avec

Dont le développement en série de Laurent est obtenu quand on fait tendre la période d’échantillonnage vers 0 et donne :
1/x - 1/2 + x/12 - x^3/720 + O(x^4)

https://www.wolframalpha.com/input?i...28e%5Ex+-+1%29

A savoir le fameux 1/2 régularisé si on oublie le 1/x. (@Médiat, c'est pour cela que je connais par cœur cette somme.)

Si on fait la même chose en intégrant une fois de plus le signal constant précédent, on obtient une rampe n, dont les calculs ont déjà été donnés par moi et ThM55 a donné l'interprétation physique.

D'un point de vu traitement du signal, on obtient alors un pôle double en z=-1 qui correspond à la double intégration de l'impulsion. (En physique, on parle de fonction de Green)


et dont le développement en série de Laurent donne :
1/x^2 - 1/12 + x^2/240 - x^4/6048 + O(x^6)

Le terme en 1/x se simplifie et le terme constant vaut 5/12-1/2=-1/12

On trouve que le terme constant est nul pour les puissance paire de n, à l'exception de n=0

Suite 1 : valeur régularisée -1/2, échelon
Suite n : valeur régularisée -1/12 , rampe
Suite : valeur régularisée 0, avec p>0 , parabole pour p=1
Suite :

Ou comment faire coopérer physique, commande de procédé, traitement du signal et mathématiques.

Cordialement

[ThM55]

On a en général pour n entier positif: où les sont les nombres de Bernoulli. Comme ceux-ci sont nuls pour n impair supérieur à 2, on a aussi tous les zéros dits "triviaux" de zeta: . L'adjectif est relatif à la non-trivialité absolue des zéros sur la droite Re(z)=1/2.

Je n'aime pas beaucoup le procédé de régularisation-renormalisation. S'il avait une certaine validité, on devrait pouvoir prouver que donnerait 0 par un procédé de sommation régularisée. Cela me semble difficile, et quoi bon faire cela?

Riemann a démontré l'équation fonctionnelle qui relie à , c'est ce qui lui a permis de l'explorer dans tout le plan complexe et de formuler sa fameuse conjecture.

Ramanujan connaissait probablement très bien tout cela, puisque c'était un expert des fonctions de variable complexe. Il connaissait donc la valeur de zeta en -1 et il a voulu la reproduire par un procédé de sommation.

[stefjm]

Edit : croisement ThM55 qui a été plus courageux que moi.

Complément :

La TZ : https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf..._en_Z_usuelles

Les valeurs particulière de zéta utiles ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...A9gatif_ou_nul

[stefjm]

Je n'aime pas beaucoup le procédé de régularisation-renormalisation. S'il avait une certaine validité, on devrait pouvoir prouver que donnerait 0 par un procédé de sommation régularisée. Cela me semble difficile, et quoi bon faire cela?

La régularisation de Dirichlet donne 0.
https://www.wolframalpha.com/input?i...y%2C+n%5E10%29
https://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_f...regularization

Je n'ai pas la signification profonde de ceci en traitement du signal, mais si Médiat ou ThM55 ou quiconque la voit, je l’achète volontiers.

[ThM55]

Petite correction, en relisant l'article de Riemann, il ne déduit pas le prolongement analytique de l'équation fonctionnelle mais d'une manière un peu plus simple.

Il part de la définition de la fonction gamma (en fait il utilise une fonction , c'est-à-dire la factorielle; on aurait dû s'en tenir à cette notation au lieu de (s-1)!).

On a

Le changement de variable x->nx (n entier) donne



Aha! si on somme sur n, on retrouve cette somme régularisée étudiée plus haut! Et on obtient



Ensuite il fait ce qu'un de mes profs appelait des "mathématiques romantiques", c'est-à-dire de l'époque romantique des maths: il déforme très soigneusement le contour d'intégration pour un contour qui part de + l'infini, descend à moins l'infini en contournant l'origine par le dessus, et retourne vers l'axe réel en +l'infini. Il justifie tout cela en montrant que les exponentielles restent bien définies partout, etc. Et il arrive finalement à une forme intégrale pour zeta qui converge et est analytique partout dans le plan complexe sauf au pôle z=1 et qui se réduit à la série habituelle pour Re(z)>1.



où l'intégrale se fait sur ce fameux contour. Tout cela demande une certaine maîtrise de l'intégration complexe, mais Riemann survolait tout cela bien entendu. Son petit article est étourdissant. C'était quelque cinquante ans avant Ramanujan.

Je tape tout cela sans relecture, il est possible que j'aie fait quelques erreurs de frappe. Voir la littérature sur le sujet.

[racard]

bonjour
je n'ai plus le niveau j'ai tout oublié il faudrait que je passe au moins 15 jours à 1 mois pour retrouver un minimum...
je me demande si certains ici ne sont pas des enseignants pour avoir garder du potentiel !
néanmoins j'ai cherché sur internet je n'ai rien trouvé sur ce que veut dire 3 petits points en mathématiques alors j'ai demandé ca à mistral donc mistral me raconte des conneries ?
ou bien le ? en mathématiques est un concept trop particulier ?
mistral :

moi : c'est quoi les 3 points en mathématiques ?


10:13

En mathématiques, les trois points (⋯) ou points de suspension peuvent avoir plusieurs significations selon le contexte :
1. Suite logique ou infinie

Les trois points indiquent souvent qu’une suite, une série ou une liste se poursuit de manière logique ou infinie. Exemple :

• 1,2,3,…,101, 2, 3, \ldots, 101,2,3,…,10 (pour indiquer tous les entiers de 1 à 10)
• 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots1,2,3,… (pour indiquer la suite infinie des entiers naturels)

2. Omission dans une démonstration ou un calcul

Ils peuvent aussi signaler qu’une partie d’un raisonnement ou d’un calcul est omise pour aller à l’essentiel. Exemple :

• « En développant, on obtient 2x2+…+52x^2 + \ldots + 52x2+…+5. »

3. Notation spécifique en algèbre

Dans certains contextes avancés (comme les matrices ou les suites), les trois points peuvent indiquer une structure répétitive ou une généralisation.

---

As-tu un exemple précis en tête ? Je peux t’expliquer plus en détail selon le contexte !

10:13

moi : 1+2+3+4...= ?

10:14

L’expression 1+2+3+4+…1 + 2 + 3 + 4 + \ldots1+2+3+4+… représente la somme infinie des entiers naturels.

Résultat mathématique

En mathématiques, cette série est appelée série harmonique d’ordre 1 ou somme des entiers naturels. Elle diverge vers l’infini, c’est-à-dire que si tu continues à ajouter les entiers, la somme devient de plus en plus grande sans limite.
Explication :

• 1+2=31 + 2 = 31+2=3
• 1+2+3=61 + 2 + 3 = 61+2+3=6
• 1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 101+2+3+4=10
• ...
• La somme des nnn premiers entiers est donnée par la formule :

Sn=n(n+1)2 S_n = \frac{n(n+1)}{2}Sn​=2n(n+1)​

• Quand nnn tend vers l’infini, SnS_nSn​ tend vers l’infini.

À noter

Il existe des méthodes de « sommation » avancées (comme la régularisation zeta) qui attribuent une valeur finie à cette série, mais dans le cadre classique, la somme des entiers naturels est infinie.
Veux-tu approfondir un aspect en particulier ?
FIN !!!
je considère que sa réponse

10:14

L’expression 1+2+3+4+…1+2+3+4+… représente la somme infinie des entiers naturels.
c'est du n'importe quoi c'est peut être un détail mais pour moi c'est exactement comme avec cette magouille qui a est faite avec le décalage et je ne serai jamais d'accord avec ce décalage.
le décalage pour n est logique
pourquoi ne pas dire que 1+2+3+...= Sn lorsque n tend vers l'infini ?

[ThM55]

Non ce n'est pas une "magouille". Comme on l'a dit au moins trois fois (je n'ai pas compté) dans les messages précédents, on n'interprète pas cela comme une simple somme. Il faudra le répéter combien de fois?

[gg0]

"Qui veut noyer son chien l'accuse de la rage".

[oualos]

La discussion ici n'est pas sans rappeler la célèbre controverse entre Wittgenstein et Cantor à propos des nombres transfinis.
Il y a eu de nombreuses controverses dans les sciences à commencer par le nombre imaginaire dont on se demandait un moment s'il existait bien dans la Nature mais on peut compter aussi la mécanique quantique entre Einstein et Bohr. Et plein d'autres..

Je ne suis pas assez calé pour me plonger dans les détails des démonstrations mais voici 3 phrases de Wittgenstein:
1° « L’infini n’existe pas hors des règles du jeu ; il ne vit que dans notre langage. »
2° « La diagonale de Cantor ne découvre rien : elle montre juste comment étendre le jeu. »
3° « Les nombres transfinis sont des inventions, pas des trésors cachés du cosmos mathématique. »

Ces phrases n'ont pas de rapport direct avec le thème de la discussion mais illustrent bien l'opposition entre une école pragmatiste/formaliste et une autre platonicienne avec des idéalités mathématiques

Pour paraphraser la citation 2 la fonction zeta(-1) montre comment on peut étendre le jeu de la sommation pour des séries infinies divergentes

[pachacamac]

En suivant la piste de la fonction zêta de Riemann (impressionnant comment des valeurs particulières de cette fonction sont utilisées en physique et les travaux mathématiques autour de cette fonction) , je suis passé par les suites de Dirichlet puis arrivé sur Euler .
Celui-ci a écrit :
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = –1
no comment

[racard]

et bientôt on va nous sortir
1/0= la tête à toto ?

[stefjm]

En suivant la piste de la fonction zêta de Riemann (impressionnant comment des valeurs particulières de cette fonction sont utilisées en physique et les travaux mathématiques autour de cette fonction) , je suis passé par les suites de Dirichlet puis arrivé sur Euler .
Celui-ci a écrit :
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = –1
no comment

Bonjour,
Faites la même chose avec 0.9 et vous obtenez réponse à l'échelon d'un système échantillonné du premier ordre (réponse en exponentielle + cte, stable, convergent).
https://www.wolframalpha.com/input?i...9%5E%28n%29%29 et demander plusieurs fois "more termes" pour le graphique.

Avec -0.9, réponse alternée d'un premier ordre qui a son pôle de l'autre coté (stable,convergent).
https://www.wolframalpha.com/input?i...9%5E%28n%29%29

Avec 1, réponse d'un intégrateur, réponse ne rampe, divergent, normalisation à -1
https://www.wolframalpha.com/input?i...9%5E%28n%29%29

Avec -1, réponse alternée non convergente d'un premier ordre, dite astable, oscillant, normalisation à 1/2
https://www.wolframalpha.com/input?i...9%5E%28n%29%29

Avec 2 (votre exemple) , réponse toujours d'un premier ordre mais divergent, en exponentielle, normalisation à -1
https://www.wolframalpha.com/input?i...9%5E%28n%29%29

Avec -2, réponse alternée divergente, normalisation à 1/3
https://www.wolframalpha.com/input?i...9%5E%28n%29%29

Tous ces cas sont bien connus en traitement du signal ou en commande de procédé.
Quand ça diverge, c'est énorme comme disait Desproges, et c'est rarement bon pour les systèmes physiques.

et bientôt on va nous sortir
1/0= la tête à toto ?

Cours de récréation de CP?
Vous suivez les liens donnés?

Plonk!

[pachacamac]

C'est 0+0 qui est égal à la tête à Toto

Sinon pour 1+2+4+8+⋯=−1.
c'est en lien avec des prolongements analytiques qui dépassent mon niveau (souce ChatGPT)

[stefjm]

Nickel, il y a le "Mais attention".
Tout un monde passionnant les séries génératrices.

https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A...n%C3%A9ratrice

[ThM55]

C'est 0+0 qui est égal à la tête à Toto

Sinon pour 1+2+4+8+⋯=−1.
c'est en lien avec des prolongements analytiques qui dépassent mon niveau (souce ChatGPT)

Dan ce cas, on peut donner un sens à cette somme dans le cadre des nombres p-adiques (ici 2-adiques). On définit l'anneau des entiers p-adiques comme l'ensemble des séries formelles ("formelle" signifie que c'est juste une notation, on se fiche de la convergence) de la forme où p est un nombre premier. Dans l'exemple ci-dessus, p=2 est bien premier. On peut additionner terme à terme ces séries formelles et les multiplier exactement comme des nombre ordinaires, avec les repports. C'est une simple extension des opérations sur les nombres ordinaires écrits en base p et on vérifie facilement qu'on obtient un anneau. On l'appelle Z_p, l'anneau des entiers p-adiques. Il se fait que cet anneau est intègre (car a.b=0 implique que a=0 ou b=0 pour tous entiers p-adiques a et b). On peut donc définir son corps des fractions, comme on le fait en passant de Z à Q, mais on obtient quelque chose de différent de Q, un corps qu'on appelle Q_p. Ce corps possède une topologie différente de celle de R, dans laquelle les séries formelles telles que celle-ci sont bien convergentes. Il y a une théorie énorme qui joue un rôle important en théorie des nombres. Impossible de détailler cela en quelques lignes, je renvoie à Wikipedia.

Mais ce qui est intéressant pour l'exemple donné plus haut, c'est que la série formelle 1+p+p^2+p^3+p^4+... possède un inverse dans Z_p: c'est (1-p). Il suffit de faire la multiplication terme à terme, c'est assez évident. Donc si on admet qu'on peut former des fractions, cela a un sens bien précis et rigoureux de dire que



du moins dans le cadre des nombres p-adiques.