Multiple contenant 0

[Taguimdjeu]

Bonjour à tous.
Je suis tombé sur ce problème aujourd'hui :
Existe-t-il un multiple de 5^2026 qui ne contient aucun 0 ?
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[pm42]

Oui et même que des impairs.

[Taguimdjeu]

Est il possible de le démonter ?

[pm42]

Est il possible de le démonter ?

Oui mais il faut une clé de 12.

[A voir en vidéo sur Futura]

[polo974]

Dans quelle base?

En base 5, pas sûr...

[gg0]

Bonjour Pm42.

Es-tu sûr ? Ce qui est classique, c'est que, en base décimale, tout impair non multiple de 5 a un multiple ne contenant aucun 0 (en fait, que des 1, ou que des 3, ...). Mais là, c'est un multiple de 5.

Cordialement.

[Black Jack 2]

Bonjour,
Pour tout entier naturel n>=1, il existe un multiple de 5^n à n chiffres qui ne contient aucun zéro.

Démo par récurrence :
1. Initialisation de la récurrence
Pour n = 1 : 5^1 = 5. Le nombre 5 possède 1 chiffre.
Il ne contient aucun zéro.
La propriété est vraie pour n=1.

2. Hérédité de la propriété.
Supposons qu'il existe un nombre A_n à n chiffres, multiple de 5^n, sans aucun zéro.
On cherche un nouveau chiffre "c" de {1, 2, 3, 4, 5} à placer devant A_n.
Le nouveau nombre s'écrit A_(n+1) = c * 10^n + A_n.
Par hypothèse, A_n = k * 5^n.
On factorise par (5^n}) : A_(n+1) = 5^n * (c * 2^n + k).
Pour que A_(n+1) soit multiple de (5^(n+1)), il faut que (c * 2^n + k) soit multiple de 5.
Cela revient à résoudre la congruence : c * 2^n + k 0 (mod 5).
Puisque 2^n et 5 sont premiers entre eux, 2^n est inversible modulo 5.
L'équation c * 2^n -k (mod 5) possède exactement une solution unique pour c modulo(5).
L'ensemble {1, 2, 3, 4, 5} forme un système complet de résidus modulo 5.
Il existe donc exactement un chiffre c compris dans {1, 2, 3, 4, 5} vérifiant la condition.
Le nombre A_(n+1) possède (n+1) chiffres.
Il ne contient aucun zéro car c est différent de 0 et A_n n'en a pas.
Il est divisible par 5^{n+1}.

3. Conclusion
La propriété est vraie pour tout n >= 1.
En fixant n = 2026, il existe un nombre de 2026 chiffres divisible par 5^2026 sans aucun zéro.

[pm42]

Es-tu sûr ?

99% j'ai triché : démo par IA qui m'a en plus donné le nombre et vérification du modulo 0 à côté.

Je peux revérifier plus tard, là je dois grimper une montagne ⛰️

[GBZM]

Bonjour,
On peut effectivement voir dans la démonstration de Black Jack qu'on peut prendre le multiple de avec uniquement des chiffres impairs : il suffit de prendre son dans .

[MissJenny]

comment est-ce que ce résultat peut être généralisé? à des puissances d'autres entiers que 5 par exemple, ou d'autres chiffres que zéro ?

[Biname]

Salut,
L'IA fait la démo.
Tu as fait la démo ou tu l'as trouvée sur le web ?
Réponse de l'IA :

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[pm42]

L'IA fait la démo.
Tu as fait la démo ou tu l'as trouvée sur le web ?
Réponse de l'IA :

Oui et ? Rien de nouveau, on sait depuis toujours que si l'IA a déjà vu une démo, elle peut la ressortir et l'adapter.
Et alors ? Les humains font quoi d'après toi ?

Au passage, tu peux lire ce que dit Terence Tao par exemple.