Identité à vérifier.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Est ce que si, pour tout, , alors, pour tout, ?

Merci d'avance.
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[Resartus]

Bonjour,
Petit indice : commencer avec x=4

[vgondr98]

On peut poser g(x) = 0 pour tout x
Si g(x) = 0 alors f(2x -1) + f(x+3) = 0 pour tout x € R

Reste à vérifier si on peut trouver une fonction f(x) qui respecte f(2x -1) + f(x+3) = 0

[ThM55]

Réponse: non.
La question est de savoir si la fonction h=f-g est identiquement nulle.

Avec x=4, on voit que h(7)=0.

Mais si on prend x=5, on a h(9)=-h(8). Supposons que h(8)=1. On a alors aussi h(9)=-1. Ensuite, avec x=6 on obtient h(11)+h(9)=0. Donc h(11)=1.

Pour continuer, il faut se rattacher à une valeur déjà calculée. x=7 ne va pas. Mais pour x=8=11-3, on a h(15)+h(11)=0. Donc h(15)=-1. On prend chaque fois le plus grand nombre et on soustrait 3. Donc ici x=15-3=12. On obtient h(23)+h(15)=0. Donc h(23)=1. Il est évident qu'on peut ainsi continuer indéfiniment (le suivant est x=20, qui donne h(39)=-1).

On a ainsi un contre-exemple: h(y)=0 pour tout y sauf pour y=8, 9, 11, 15, 23, 39,..... où elle vaut alternativement 1 et -1. (j'ai réservé la variable x à l'argument de l'énoncé; ce n'est pas requis à cause de la quantification universelle mais je préfère pour éviter les confusions).

On peut par le même procédé (en partant d'autres valeurs que 5 et 1, et même pas forcément des entiers), construire une infinité de contre-exemples.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

NB: si f et g sont continues, ce raisonnement n'est plus valable. Peut-être aussi si elles ne le sont pas mais que leur différence l'est?

[Anonyme007]

Bonjour Resartus, vgondr98 et ThM55,

Merci pour vos réponses.

@Resartus,
Pour, , on a, .
Soit , on a, implique,
C'est à dire, .
On pose, , on obtient, .
C'est à dire, .
Alors, je n'arrive pas à conclure.
Il faut à mon avis jouer sur la notion de parité de la fonction .

@vgondr98,

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi tu prends . Ce n'est pas nécessaire il me semble.

@ThM55,
Oui, et sont continues. J'ai oublier de préciser ça.

[vgondr98]

Je prend g(x) = 0 car cela transforme f(2x - 1) + f(x + 3) = g(2x-1) + g(x+3) en f(2x - 1) + f(x + 3) = 0, c'est plus facile en suite de trouver un contre-exemple.
J'avis trouvé grâce à un LLM f(x) = cos(pi * ln|x-7| / ln2) si x différent de 7 et 0 si x = 7 qui est une fonction discontinu.

[ThM55]

Très astucieux le truc du logarithme dans le cosinus! C'est un LLM qui a trouvé ça?

Mais voilà qu'on apprend après avoir perdu son temps avec ça que les fonctions f et g sont continues! Passons à autre chose.

[MissJenny]

reste donc à traiter le cas continu.