polynômes de Bézier

[invite58521e4e]

Salut à tous et courage à ceux qui ne font pas le pont.

Mon problème est le suivant :

J'ai un ensemble de points et je voudrais connaitre l'équation de la courbe qui passe par ces points ou qui ajuste au mieux ces points.
Je sais qu'on peut utiliser les polynômes de Bézier, les Splines...

Je me penche donc sur Bézier.
1ier problème, les points de contrôles, on part avec 3 points de controles : 2 extrémités qui sont les extrémités de la courbe et un 3ième point qui est l'intersection des tangentes à la courbe en les 2 points précédents. Comment peut on calculer le 3ième point (comment calculer les 2 tangentes puisque justement on cherche l'équation de la courbe?

Je dois surement avoir mal compris un truc ?

Est ce que quelqu'un voit ce dont je parle

Merci pour votre lecture
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[invitee520f70a]

salut
je ne connais pas bezier et je ne sis pas si c la meme chose que les splines mais je pense que si qq dit polynome cela veut dire qu il y a des degres de liberte et donc qu on ne peut pas partir de 3 points seulement mais que c a toi de donner les tangentes aux extrimites pour ainsi fixer la valeur de la derivee de la fonction qu on cherche en ce point et obtenir ainsi une condition sur ta fonction
j espere que mon explication est juste
si u as avance sur le sujet j aimerai bien avoir les resultatas que tu trouves
ciao

[inviteb865367f]

T'as un équations paramètrique de la courbes fonction des points.

C'est pour quel genre d'application ?

T'as pas forcemment 3 points, ca ce généralise à N points en utilisant les polynomes de Bernstein.

[invite58521e4e]

En fait j'ai une courbe dont je connais les coordonnées de plusieurs points et je voudrais connaitre son équation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb865367f]

Tu calcul une courbe par ligne, et une par colonne (à partir des N points) puis tu obtient une surface, fondamentalement c'est asses simple.

Ca va te donner une surface en "fil de fer".

En fait si tu calcul les courbes que sur les lignes tu peux calculer la courbe correspondant à la colonne pour n'importe quel point en prenant N points des N courbes... je sais pas si c'est clair

Si tu a N lignes et M colonnes dans ton tableau de données, tu peux calculer N courbes (une par ligne) en interpolant à partir des M points. Tu as donc P(x,0) P(x,1) ... P(x,N-1).
Pour avoir P(A,B) il suffit de calculer la courbe à partir des points
P(A,0) P(A,1) ... P(A,M-1) ce qui donne une courbe P(A,y)

Sachant que à partir des points P0 P1 .. PN la courbe P(t) s'obtient par :
P(t)=Somme(i=0,n)[ B(n,i,t)*Pi ]

Avec B(n,i,t) polynome de Bernstein : (dur avec les notations du forum ..)
B(n,i,t) = C(n,i) * x^i * (1-x)^(n-i)
(comme pour dans le developpement de (1-x)^n )

Ensuite P(x,y) = Somme(i=0,m)[ B(m,i,y)*Pi ] avec Pi = P(x=i)

donc P(x,y) = Somme(i=0,m) [ Somme(j=0,n) [ B(m,i,y)*B(n,j,x)*Pij ] ]

avec Pij le point de coordonnées i,j de ton tableau de données.

Voilà, je crois que c'est juste

[invite6e091746]

Bonjour
Si tu connais plusieurs points, tu peux utiliser le polynome de Lagrange pour connaitre son équation:
soient (x1,y1), (x2,y2) ... (xn,yn) les coordonnées,
L1 = [(x-x2)(x-x3)...(x-xn)] / [(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)]
L2 = [(x-x1)(x-x3)...(x-xn)] / [(x1-x2)(x3-x2)...(xn-x2)]
...
Ln = [(x-x1)(x-x2)...(x-Xn-1)] / [(x1-xn)(x2-xn)...(Xn-1 -xn)]

F(x) = y1.L1 + y2.L2 + ... + yn.Ln puis simplifier (ou pas).
puis on peut interpoler Yn+1 = F(Xn+1)
Je ne connais pas Bezier ou Spline assez bien.
J'espère avoir pu t'aider. ecrit moi si tu veux en savoir +

[invite58521e4e]

Merci pour ces réponses. Evidemment Lagrange ça a l'air simple mais apparemment ça provoque des oscillations autour des points que traverse la courbe. Mais je vais quand même essayer.

[inviteb865367f]

Sous mathematica ou un logiciel du genre tu peut rapidement tester toutes les méthodes que tu souhaites et les comparer.

[invite6e091746]

Par la méthode de Lagrange, la courbe passe par tous les points, je ne vois pas ce que tu entends par oscillation.

[invite58521e4e]

Les oscillations sont entre les points. Pour rejoindre 2pts, la courbe va passer par un extremum. Je sais si c'est clair.

[invite6e091746]

Bonjour
Si j'ai bien compris le probléme, tu cherches le 3e point intersection des 2 tgtes a 2 points de la courbe.
Tu as l'équation de la courbe à partir des polynomes de Lagrange, tu calcules les équations des tgtes de la courbe (dérivée de celle ci) à 2 points successifs, puis les coordonnées de l'intersection des 2 tgtes et tu as le 3e point. Puis tu recommences avec 2 autres points et ainsi de suite.
Je ne sais pas si cela résoudra ton probléme de Bezier.

[inviteb865367f]

Bonjour
Si j'ai bien compris le probléme, tu cherches le 3e point intersection des 2 tgtes a 2 points de la courbe.
Tu as l'équation de la courbe à partir des polynomes de Lagrange, tu calcules les équations des tgtes de la courbe (dérivée de celle ci) à 2 points successifs, puis les coordonnées de l'intersection des 2 tgtes et tu as le 3e point. Puis tu recommences avec 2 autres points et ainsi de suite.
Je ne sais pas si cela résoudra ton probléme de Bezier.

Son problème initial était qu'il voulait une courbe à partir de N point mais qu'il ne connaissait que la méthode avec 3 points.
J'ai donné la formule à N points de la courbe de Bézier.

D'ailleurs Latoupie ca serait pas mal si tu pouvais poster des images résultats des 2 méthodes (Lagrange / Bézier) pour voir

[invite78c58f11]

Pour les courbes de Bezier, voici un lien .
Quant à la biographie du bonhomme c'est là .
Rien d'exhaustif.

[invite78c58f11]

Ca ne répond pas à la question mais ça reste "connexe". Voici une courbe de Bezier avec quatre points de contrôle qui s'ouvre avec GeoplanW.
Pour information, les professeurs de mathématiques dont l'établissement a acheté la license GeoplanW ou GeospacW ont le droit d'en avoir une copie à la maison sur leur ordinateur personnel.

[invitec314d025]

Pourquoi répondre à un fil qui a plus d'un an ?
Tu es un grand fan de Bézier ?

[invite78c58f11]

Maintenant pour répondre à la question posée.

Une courbe de Bezier définie à partir de trois points de contrôle A, B et C est de la forme



en d'autre termes on obtient un courbe paramétrée du type

_ABC
ABC

La détermination de la courbe passe par celle des coordonnées de A, B et C. Sachant qu'ils ne sont en rien liés, la connaissance de deux des points n'entraîne en rien la determination du troisième.
Soit on connait les coordonnées des trois points et on en déduit l'équation de la courbe, soit on connait les coordonnées de deux des points et une equation de la courbe et on en déduit les coordonnées du troisième point.