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Intégrale d'une fonction carrée



  1. #1
    nebben

    Intégrale d'une fonction carrée


    ------

    f continue sur [0;1], m minimum de f sur [0;1], M son maximum.

    On doit montrer que
    J'ai essayé en majorant en utilisant le passage à la valeur absolue sans succès, en insérant les restrictions positives et négative de f, non plus...
    Il doit y avoir une bidouille...
    Si quelqu'un a une idee... Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    Sylvestre

    Re : Intégrale d'une fct carrée

    Salut,

    Une idée : Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwartz pour les intégrales :

    et bien choisir les fonctions a et b.

  4. #3
    nebben

    Re : Intégrale d'une fct carrée

    J'avais pensé à Cauchy-Schwartz, mais je ne vois pas sur quoi l'appliquer...
    Cela me permet juste de majorer par le (max(-m,M))², c'est à dire M² ou m², pas par -mM ...?

  5. #4
    tize

    Re : Intégrale d'une fct carrée

    Salut, pareil pour moi...
    le plus bête c'est que je crois avoir déjà fait cet exercice il y a très longtemps...
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  6. #5
    zoup1

    Re : Intégrale d'une fct carrée

    On oublie, j'avais mal lu...
    Dernière modification par zoup1 ; 23/09/2006 à 16h20. Motif: On oublie, j'avais mal lu...
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    zoup1

    Re : Intégrale d'une fct carrée

    Bon, alors après avoir lu correctement le topics, je viens de comprendre le titre...

    J'ai une démonstration mais qui ne nécessite pas que la fonction soit continue mais simplement qu'elle soit intégrable...

    Donc, je pense qu'une démonstration consiste à montrer qu'on a l'égalité lorsque f(x) est une fonction carrée.
    Ensuite on montre que toute modification (perturbation de cette fonction carrée) en respectant la contrainte de l'intégrale nulle sur [0,1] conduit à une diminution de l'intégrale du carré de la fonction.
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

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  10. #7
    tize

    Re : Intégrale d'une fct carrée

    ?? Peux tu détailler s'il te plait ?
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  11. #8
    zoup1

    Re : Intégrale d'une fct carrée

    Citation Envoyé par tize Voir le message
    ?? Peux tu détailler s'il te plait ?
    Avec une fonction carrée, pour qu'elle est les caractéristiques indiquée cela signifie qu'il y un intervalle [0,c[ sur lequel la fonction est négative de valeur m et un intervalle [c,1] sur lequel la fonction est positive de valeur M.
    On peut alors déterminer la valeur de c nécessaire pour que l'intégrale de cette fonction soit nulle. cela donne c=M/(M-m).
    A partir de la tu peux calculer l'intégrale de f^2 et tu trouves que cela fait -mM.

    Ok donc on a montré qu'on avait l'égalité pour une fonction carrée.
    ----------------
    Je fais seulement la remarque qu'ici on a pas utlisé le fait que la fonction est continue et qu'on obtiendrait le même résultat en disant que f est une fonction bivalué avec une valeur m sur une intervalle de mesure c et une valeur M sur un intervalle de mesure (1-c). (Je ne suis pas vraiment sur que le vocabulaire soit correct mais l'idée est là je pense).
    -----------------
    Passons à l'inégalité :
    Si on modifie cette fonction carré un tant soit peu... en respectant les contraintes. en laissant c inchangé, on ne peut qu'augmenter la valeur de la fonction à l'endroit où elle est négative et du coup la diminué à l'endroit où elle est positive (de façon à maintenir son intégrale nulle).
    Du coup, le l'intégrale du carré dans la région ou la fonction est négative diminue et de la même façon, l'intégrale du carré de la fontion dans la région où elle est positive diminue également.
    Au total la somme des 2 diminue !!! elle devient donc nécessairement plus petite que -mM
    -----------------

    Bon il y a peut-être une petite faille car dans ma transformation je suppose que c reste inchangé... il faudrait éventuellement envisager la possibilté d'une modification de c...
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  12. #9
    minnolina

    Re : Intégrale d'une fct carrée

    J'ai une idée qui utilise simplement l'IPP mais j'aimerais que quelqu'un confirme si c'est ok (déjà il faudrait que soit derivable...):



    Maintenant on a que , et



    donc

    Dernière modification par minnolina ; 25/09/2006 à 16h55.
    Gloria

    PS Pardon pour mes fautes mais je suis italienne :o

  13. #10
    rvz

    Re : Intégrale d'une fct carrée

    Bravo !

    Très très joli.

    PS : Je crois que tu n'as pas à t'excuser pour tes fautes de français
    PS2 : Au fait, est ce que les fonctions régulières sont denses dans l'ensemble des fonctions L^2(0,1) d'intégrale nulle ?

    __
    rvz

  14. #11
    tize

    Re : Intégrale d'une fct carrée

    LA fonction était supposée dérivable ?
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

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