Majoration de Series

[invite4ef352d8]

Bonsoir !


pour terminer un exo, j'ai bessoin de montrer que la serie de therme general cos(sqrt(n)), est grossierement divergente, mais que la suite de ces sommes partielleest negligeable devant n (en o(n) quoi )



bon le grossièrement divergent ... suffit evidement de montrer que la suite cos(sqrt(n)) diverge (sa a l'air simple... mais en fait non) j'ai reussit a le prouver par l'absurde mais c'est long est pas tres ellegant.. alors si qqn voit une meilleur methode je suis ineressé ^^


en revanche je vois pas du tous comment on pourrait obtenir que la suite des sommes partielle est negligeable devant n ( Sn = o(n) )...


merci d'avance pour vos idéé ^^
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[inviteae1ed006]

c'est peut être pas ca mais bon ...:
essaye de majorer :

[Jeanpaul]

Essaie de démontrer que tu peux toujours trouver n tel que le cosinus soit pratiquement égal à 0 et un autre plus grand où il est pratiquement égal à 1.

Pour la somme, tu pourrais essayer de regarder combien de valeurs de n telles que racine (n) soit compris entre 50*pi et 50*pi + pi/2 par exemple. Les cosinus se compensent par addition.
Il faudrait rendre cela plus rigoureux.

[inviteae1ed006]

J'ai essayé, ca à l'ai de marcher :



puis utilise l'IAF sur chaque intervalle de la forme [k;x]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

ouai bien vu la comparaison a l'integral, j'ai essayé aussi et j'ai reussit !

j'avait pas "osé" comparer a l'integral parceque c'etait pas des series a therme positif...




enfait, pour la divergence de cos(sqrt(n)), ma démo ressemble a sa :


on utilise que sqrt(n+1)-sqrt(n)<1 (IAF par exemple) pour montrer que pour tous n, telle que cos(sqrt(n)) >0, on peut trouver un m>n telle que cos(sqrt(m))<0 et reciproquement. sa prouve que les ensembles {n |cos(sqrt(n))<0} et {n|cos(sqrt(n))>0} sont infinit, et donc on peut en conclure que si cos(sqrt(n)) converge c'est vers 0...

et apres j'elimine le cas 0 en refaisait un raisonement du meme type sur un autre decoupage...

bref c'est long est pas tres elegant...


au debut j'avais pensé faire ce que tu dit, mettre en evidence deux valeur d'adherence mais j'ai pas reussit a faire sa simplement :S

[g_h]

Pour la première partie, on va montrer qu'une suite extraite de celle de ton énoncé ne peut converger vers 0.

On pose et une suite extraite et tout devient facile !

Supposons


Puisque , on obtient que la suite des sin(n) converge, et on a directement :



Or,
Donc en passant encore une fois à la limite, on arrive à l'absurdité 0 = 0 - 1 soit 0 = -1

Donc la suite ne converge pas vers 0. Puisque c'est une suite extraite de ta suite , ne peut pas converger vers 0, donc ta série diverge grossièrement.

[invite4ef352d8]

mais oui !!


en fait la derniere fois j'avais eu a montrer la divergence de cos(n^c) (pour 0<c<1)... du coup je pensais qu'il fallait ous refaire, mais avec sqrt(n) on peut extraire la suite U(n²) et tous va mieux ^^


Merci beaucoup, mon probleme est maintenant entièrement résolu !