Petite question de RG

[Floris]

Bonjour alors voila ma question est assé simple dans son énoncé. la courbure de l'espace temps est t'elle invariente par chagements de referentiel?

Merci à vous
flo
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[invité576543]

Bonjour alors voila ma question est assé simple dans son énoncé. la courbure de l'espace temps est t'elle invariente par chagements de referentiel?

Merci à vous
flo

Bonjour,

Oui et non! Déjà, il faudrait clarifier ce que tu entends par "courbure". Si on prend l'intégralité de l'information relative à la courbure, ce serait le tenseur de Riemann.

Le tenseur de Riemann étant un tenseur (!) au sens physique, il est défini indépendamment de tout repère, comme un point sur la Terre est défini indépendamment de tout système de coordonnée à la surface de la Terre. Mais les composantes du tenseur dépendent du choix du référentiel, tout comme la longitude d'un point sur la Terre dépend du choix du système de coordonnée.

Cordialement,

[Floris]

Bonsoir mmy, oui alors je voudrais savoir si un observateur en mouvement par rapport à la planettre, verra t'il un champs plus intense (cad une courbure plus prononcé) qu'un observateur immobile par rapport à la planette.

Merci bien
flo

[GillesH38a]

Bonjour

le champ n'est pas exactement la courbure. un observateur en chute libre ne voit pas de champ gravitationnel, mais il continue à voir une courbure à cause des effets de marée (il constate qu'il y a un petit champ gravitationnel à proximité) : ce n'est donc pas le champ lui même , mais plutôt le "gradient de champ" qui correspond à la courbure. Bien que comme dit Mmy les composantes du tenseur dépendent du référentiel, il existe une quantité invariante, la trace du tenseur de Riemann (qui est liée à la densité d'énergie et à la pression de la matière se trouvant en ce point), qui définit la courbure "scalaire".

[A voir en vidéo sur Futura]

[Floris]

Bonjour gillesh et mmy, merci pour votre messages. Qillesh quand tu parle de courbure scalaire tu veux parler de la fonction qui décris la courbure? Esque ceci à un rapport avec les coefficients de cristofel? Je dis peut ètres de grosses betises mais j'essai d'avoir une idée d'aproche sur la chose.

merci à vous.
Bien amicalement à tou.
Flo

[invité576543]

Bonjour,

quand tu parle de courbure scalaire tu veux parler de la fonction qui décris la courbure?

La courbure scalaire est une "synthèse", l'indicateur à l'ordre 0 de la courbure. Une image qui n'est qu'une image: quand tu fais un développement limité, tu a un terme d'ordre 0, la valeur de la fonction, un terme d'ordre 1, un terme d'ordre 2, etc. Ne connaître que le terme d'ordre 0 est déjà une information importante, mais chaque terme supplémentaire te permet une idée plus précise de la fonction.

L'information complète de la courbure se trouve dans le tenseur de Riemann (du moins dans la théorie actuelle! Rien ne permet d'éliminer l'idée que les choses soient plus complexes...). Ce tenseur peut s'analyser comme un terme "principal", la courbure scalaire (à ce que j'en comprend il donne en gros l'indication si l'échelle de l'espace-temps augmente ou diminue), puis un terme décrit par le tenseur de Ricci, qui donne (tj à ce que j'en comprend) les orientations principales de ces changement d'échelle, puis enfin un autre terme qui complète l'information du tenseur de Riemann, terme qui donne les déformations à "volume égal", ce qui se traduit par les effets de marée.

Essayons d'être plus clair, prend une poignée de grains (grains de café pour Baez) et lache les de grande hauteur. La disposition relative des grains ne va pas être conservée lors la chute. On constate une élongation du paquet dans le sens de la verticale, et un rétrécissement dans le sens de l'horizontale. Si le paquet est laché en forme de sphére, il devient au cours de la chute un cigare de plus en plus allongé, selon l'axe vertical. C'est l'effet de marée, une manifestation encodée dans le tenseur de Riemann.

En toute généralité, le devenir d'un tel paquet sphérique peut se décrire comme suit:

- ordre 0: le changement de volume. En chute libre dans l'espace vide, on constate qu'il n'y a pas de changement de volume total: le cigare a le même volume que la sphère d'origine. Mais en présence de matière, le volume change. Ce changement de volume est lié à la courbure scalaire. Quand la courbure scalaire est nulle, le volume du paquet est conservé, sinon non.

- ordre 1: la distribution spatiale du changement de volume. Ne s'applique pas dans le cas de la chute dans le vide. Cela correspond au tenseur de Ricci. La théorie de la gravitation d'Einstein dit que la valeur et la distribution de changement de volume sont déterminés par la présence et les mouvements de l'énergie (équation d'Einstein).

- ordre 2 : la déformation à volume égal, cela décrit par exemple la déformation de la sphère en cigare. Cette description, rajoutée aux deux précédentes, est l'information fournie par le tenseur de Riemann.

Ce qu'on appelle courbure peut donc couvrir différentes notions. La courbure scalaire donne une information très importante (le facteur de "contraction" ou "expansion" donne déjà beaucoup d'information sur la "forme" de l'espace-temps") mais l'information totale sur toutes les déformations de l'espace-temps (y compris donc les effets de marée) nécessite le tenseur de Riemann.

Est-ce que ceci à un rapport avec les coefficients de Christoffel?

Bien sûr. Il y a différentes manières de décrire la "forme" de l'espace-temps. Une alternative au tenseur de Riemann est constitué par la connexion, qui décrit en gros ce que veut dire "être parallèle" pour deux vecteurs situés en des points infiniment proches. Dans le cas particulier où la connexion laisse invariante une métrique, on appelle coefficients de Christoffel les coefficients de connexion.

Le tenseur de Riemann se calcule à partir des coefficients de Christoffel.

La métrique contient aussi l'information: les coefficients de Christoffel (et donc Riemann) se calculent à partir de la métrique et de ses dérivées.

Je n'ai pas encore rencontré dans mes lectures la réciproque, à savoir si à partir du tenseur de Riemann et du tenseur de torsion, on peut dériver la connexion...

Cordialement,

[BioBen]

Je n'ai pas encore rencontré dans mes lectures la réciproque, à savoir si à partir du tenseur de Riemann et du tenseur de torsion, on peut dériver la connexion...

En RG la torsion est toujours nulle non ? C'est une conscéquence du postulat d'équivalence (symboles de christoffel symétriques). Mais suis pas sûr de moi sur ce coup là....

PS: En RG classique je parle hein ! Je crois que dans d'autres théories on peut avoir une torsion non nulle et donc ca permet de mettre un peu d'electromag dans le schmilblick, mais là je commence vite à me perdre

[invité576543]

En RG la torsion est toujours nulle non ? C'est une conscéquence du postulat d'équivalence (symboles de christoffel symétriques). Mais suis pas sûr de moi sur ce coup là....

En RG la torsion est nulle, mais pas dans le cas général de la géométrie courbe. J'ai cité le tenseur de torsion par souci de généralité. Déduire la connexion de R et T est plus général (et a donc plus de chance d'être correct) que déduire la connexion de R seul. En RG, cela veut dire déduire la connexion de R et de T=0.

Mais on dévie de la question posée par Floris...

Cordialement,