Dérivation de l'équation de Schrödinger

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

je viens de tomber par hasard sur l'équation de Schrödinger.

Je me demande si j'ai été rigoureux mathématiquement : je vous montre.

Voilà comment je pars







On a alors



Si on suppose que et que , on trouve



Si on suppose que , on trouve finalement

.

Remarque: on obtient évidemment la même chose en trois dimensions, où on remplace seulement px par p=(px,py,pz) et v=p/m.

L'hypothèse selon laquelle me semble justifiable par un argument de symétrie, c'est-à-dire que p se trouve être le générateur infinitésimal de translation du groupe de Poincaré.

L'hypothèse selon laquelle me semble justifiable par l'expérience.

Il me reste à justifier , qui doit ne doit pas être difficile si on connaît bien ces mathématiques.

Est-ce que cela constitut, selon vous, une "dérivation" de l'équation de Schrödinger, basée seulement sur la dépendance d'une fonction sur ses arguments (x,y,z,t) et sur quelques conséquences (provenenant de la théorie des groupes et de l'expérience)?

Merci pour vos contributions,

Simon
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[invite9c9b9968]

salut Simon,

Tout ça ok. Mais après tu introduis *et j'ai l'impression que ta dérivation ne tient pas (en gros l'égalité d'après je ne vois pas d'où elle sort).

[invite8ef93ceb]

Je divise tout par dt.

[invite8ef93ceb]

en gros l'égalité d'après je ne vois pas d'où elle sort.

C'est de l'algèbre élémentaire...

edit:croisement avec Gwyddon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Justement mathématiquement, cette division par dt me gêne pas mal en fait...

Notamment par le fait que tu n'as pas montré rigoureusement que *est bien une forme différentielle. Mais bon peut-être que ce n'est pas si grave que ça, mais c'est il me semble relié à la justification dont tu recherches des éclaircissements.

Il faudrait d'autres avis

[invite8ef93ceb]

tu n'as pas montré rigoureusement que *est bien une forme différentielle

est une variation infinitésimale de la fonction , j'ai défini ce que c'était à la première ligne du calcul: c'est le changement de la fonction si on change infinitésimalement ses arguments. Cette quantité, pour moi, est bien définie, tout comme dt est bien définie, tout comme le rapport des deux.

Le problème (s'il y a en a un) me semble être plutôt lorsque je fais l'approximation .

J'aimerais bien qu'un matheux me dise ce qu'il en pense et s'il y a des circonstances où cela pourrait s'avérer faux.

Cordialement,

Simon

[invite9c9b9968]

Ok effectivement vu de loin c'est ça. Alors voici le souci : cette approximation consiste tout simplement à oublier le terme d'advection de , ie , donc l'approximation n'est pas vraie en général.

[invite8ef93ceb]

Je viens de vérifier quelques trucs et je pense maintenant que tout ça est valide seulement si psi ne dépend pas de x. Dans ce cas à partir d'une étape dans le calcul, j'égalise deux quantités qui sont nulles pour en déduire faussement l'équation de Schröd.

C'était quand même amusant

A+

Simon

[invite93279690]

Ok effectivement vu de loin c'est ça. Alors voici le souci : cette approximation consiste tout simplement à oublier le terme d'advection de , ie , donc l'approximation n'est pas vraie en général.

oui en MQ ça veut dire quoi x(t), y(t),z(t)?

[invite8ef93ceb]

Bonsoir,

Ce sont des opérateurs.

Cordialement,

Simon

[invite93279690]

Bonsoir,

Ce sont des opérateurs.

Cordialement,

Simon

Je voulais dire en tant que variables. C'était peut être mal posé mais je vois pas le sens physique d'un terme d'advection en MQ en fait.

[invite40507569]

Je voulais dire en tant que variables. C'était peut être mal posé mais je vois pas le sens physique d'un terme d'advection en MQ en fait.

L’équation de Schrödinger dépendant du temps, semble due à Gordon et Dirac, est considérée, au même titre que la loi fondamentale de la dynamique, comme un postulat. Mais ce n’est pas un principe fondamental simple au même titre que la coïncidence entre particule et paquet d’ondes associé. A l’utilisation, pour retomber sur ses pieds, on élimine une partie de la solution, la vibration correspondante étant supposée négligeable car oscillant suffisamment rapidement! « Elle ne se démontre pas ; aucun raisonnement rigoureux ne l’impose » ; elle ne semble pas non plus disposer de preuve expérimentale directe. Son intérêt est d’éliminer l’énergie, remplacée par une dérivée temporelle.
D'ailleurs, quelle est la signification physique d'un opérateur?

[invite40507569]

Voici l'adresse de mon modèle graphique extrait de mon livre "relativités et quanta clarifiés"

http://books.google.fr/books?id=PuUJ...FZZU#PPA201,M1

[invitef618c422]

Bonjour,
je ne suis absolument pas physicien mais puisque la question est celle de la rigueur mathématiques du raisonnement je pense que vous faites un raisonnement "a la physicienne" assez peu rigoureux ,generalement il faut s interdire d'invoquer des "quantites infitésimales" qu'on manipulerait comme des réels.L'équation de Schrodinger peut s introduire proprement en partant du hamiltonien et une fois qu'on parle le langage de la théorie des opérateurs (à un niveau élémentaire),
cordialement

[invite40507569]

Bonjour,
je ne suis absolument pas physicien mais puisque la question est celle de la rigueur mathématiques du raisonnement je pense que vous faites un raisonnement "a la physicienne" assez peu rigoureux ,generalement il faut s interdire d'invoquer des "quantites infitésimales" qu'on manipulerait comme des réels.L'équation de Schrodinger peut s introduire proprement en partant du hamiltonien et une fois qu'on parle le langage de la théorie des opérateurs (à un niveau élémentaire),
cordialement

Je ne sais pas si vous avez compris mon modèle graphique mais il donne exactement les mêmes harmoniques sphériques que la résolution de l'équation de schrödinger ou celle de Laplace. Ce n'est pas un problème de rigueur mathématique, il l'est parfaitement.
Les mathématitiens ont compliqué à l'envi la physique et en particulier la mécanique quantique, à tel point qu'un prix Nobel de Chimie, J.M. Lehn a pu dire que la mécanique quantique était incompréhensible et il a raison.

[invitef618c422]

Bonjour,
ma remarque faisait référence à la preuve de Lévesque, ensuite pour ce qui est de la méchante communauté mathématiques qui cherche a rendre la physique incomprehensible aux physiciens je ne suis pas tout a fait du même avis, certains mathématiciens cherchent a justifier des manipulations effectuees par les physiciens pour s assurer que celles ci ont bien un sens,je vais essayer de donner quelques exemples pour me faire comprendre:
1) la théorie de Fourier (analyse harmonique si vous aimez les gros mots)
2)la théorie des distributions (pour justifier les manipulations de Heaviside par exemple), personne ne dit qu'un physicien se doit de la connaitre (je crois qu'aux Etats-Unis on ne l'enseigne meme pas) mais on est content de savoir qu'il existe une justification formelle a cette pratique des physiciens,
cordialement

[invite64c4b5da]

Si on suppose que et que , on trouve



Si on suppose que , on trouve finalement

.

Je ne suis plus tres matheux, mais tout cela ne semble pas tres rigoureux... Les premieres lignes ressemblent a

Puis s'il y a deux notations et , c'est justement pour distinguer les deux types de derivees.

[invitec9750284]

C'est pas une dérivée fonctionnelle par hasard ?

[invitec9750284]

mmmmmm non n'est pas une fonctionnelle.
Par contre je me demande si vous avez le droit d'écrire cela :

car on a :