relation fondamentale de la dynamique

[milsabor]

bonjour à tous.
Je bloque sur cet exercice pourtant basique:
Un objet de masse m, modélisé par un point matériel, est lancé verticalement vers le haut depuis le point O avec une vitesse V0. l'action de l'air se réduit à une force de frottements F=kv².

Exprimer la vitesse v de l'objet en fonction de son altitude z.

Alors je trouve la rfd, et en projetant sur laxe Oz, je trouve dv/dt=-g - (k/m)*v²
a partir de la, soi j'essaye de resoudre une equation differentielle du premier ordre, avec second membre, mais la vitesse elevée au carré me pose probleme dans sa resolution.
Ou alors j''integre 2 fois l'egalité pour avoir l'altitude, mais le resultat donné ne m'est pas satisfaisant, car il est precisé de faire apparaitre Vlim=racine de(mg/k) et L=m/(2k).

pourriez vous me donner une methode de resolution, plutot accessible a un eleve de terminale, meme si je suis en mpsi ^^, j'ai peur que vous me proposiez des solutions plus astucieuses que reutilisables dans d'autres exercices.

Cordialement
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[Gwyddon]

Salut

Une idée à retenir : la méthode de séparation des variables

Je te l'indique sur cet exemple :

Ici tu oublies dans un premier temps le g, et l'on va essayer de résoudre (où )

On écrit alors . Tu intègres cette relation, et ça te donne tout de suite .

A cela tu rajoutes une solution particulière constante (facile à trouver ) et c'est gagné

Maintenant, exercice : résouds l'ED

[mariposa]

A cela tu rajoutes une solution particulière constante (facile à trouver ) et c'est gagné

[/TEX]

Que veut-tu dire par solution particulière dans ce contexte? Constantes d'intégration?

[milsabor]

oui, c'est précisément a cette méthode que je faisais allusion dans mon premier message...mais bon, j'essaye quand meme et je rencontre 2 problemes:
- quand j'integre je ne fais pas attention aux constantes d'integration?
- quand je recherche la solution particuliere, je repart de la relation du debut, puisque le second membre est une constante, je recherche une constante donc la dérivée est nulle, je reviens a resoudre -g - alpha*v²=0, ce qui m'mamene a un resultat erroné, puisque j'obtiens une racines negative... help!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Bon j'ai été rapide, désolé. Effectivement la solution particulière ça ne marche pas des masses...

Je n'ai pas trop le temps ici d'y revenir, je suis désolé. Reste que j'ai fait une bourde désolé encore une fois..

[invitefa5fd80c]

Exprimer la vitesse v de l'objet en fonction de son altitude z.

Alors je trouve la rfd, et en projetant sur laxe Oz, je trouve dv/dt=-g - (k/m)*v²
a partir de la, soi j'essaye de resoudre une equation differentielle du premier ordre, avec second membre, mais la vitesse elevée au carré me pose probleme dans sa resolution.

Salut

Étant donné que tu veux la vitesse en fonction de l'altitude z et non du temps t, tu dois d'abord changer de variable indépendante, c'est-à-dire utiliser z au lieu de t comme variable indépendante.

On a :


Mais

L'équation se réécrit donc:


Cette équation est une équation différentielle du premier ordre séparable (comme l'a indiqué Gwyddon).

Tu peux la réécrire :



Les deux membres de l'équation s'intègrent facilement. La valeur de la constante d'intégration est déterminée par la vitesse initiale .

C'est en gros la même méthode que Gwyddon sauf que tu ne peux procéder avec la méthode de la "solution particulière" parce que l'équation n'est pas linéaire.

[invite249d0e17]

réponse accéssible a un élève de PCSI toulousain :
PFD : a.m=m.g-k.v

ta trouver vlim ok

d(v)/dt=k(vlim²-v²)

d(v/vlim)/dt=k.vlim(1-(v²/vlim²))

on pose u=v/vlim
du/(1-u²)=k.vlim.dt

tu intègre soit en s'éparant 1/((1-u)(1+u))=a/(1-u)+b/(1+u)

tu te retrouve avec un truc de la forme :
0,5.ln(abs((1+u)/(1-u)))+cste=k.vlim.t

avec tes conditions intiales tu retrouves cste.

t'as alors : (1+u)/(1-u)=exp(2(k.vlim.t+cste))

on pause k.vlim.t+cste=z (pour simplifier)

v(t)=vlim.((exp(z)-1)/(1+exp(z))

v(t)=vlim.th(z) (th : tangente hyperbolique).

tu intègres pour trouver d(t)=(ln(abs(ch(z)))/k +cste (l'altitude ou tu commences ton étude).

Et avec tout ça tu trouves facilement un fonction qui te donne la vitesse en fonction de ta position.

CQFD. pas si basique que ça.

[invite249d0e17]

bonne soirée. et bonjour chez toi.