Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 9 sur 9

Moment cinétique



  1. #1
    brunop

    Moment cinétique


    ------

    Bonjour,
    Dans un exercice, on me donne : le moment d'inertie par rapport à son axe d'un cylindre plein de masse M et de rayon R est I<delta> = 1/2(MR²). (1)
    Dans la suite de l'exercice, on remplace le cylindre plein par un cylindre creux de même masse et de même rayon, ou toute la masse est repartie sur la surface.
    Dans ce cas I<delta> = MR². (2)
    Je ne parviens pas à trouver ni (1) ni (2) en partant des définitions. Voici mon raisonnement :
    I<delta> = ro(int)v(r²dV) ro désignant la masse volumique et int l'intégrale.
    I<delta> = ro[1/3R^3]v = 1/3(ro.V^3)
    On pose ro = M/V et donc I<delta> = 1/3MV² qui est différent de 1/2(MR²) (1).
    En bloquant sur (1) il ne m'est pas possible de trouver (2).
    Merci pour l'aide.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    deep_turtle

    Re : Moment cinétique

    La définition de Delta c'est

    Delta = int r2 rho 2 pi r dr dz

    où j'ai écris l'élément de volume dV = 2 pi r dr dz
    Tu intègres sur une hauteur L sur z, et sur le rayon r ce qui te donne

    Delta = 2 pi rho L R4 /4

    Or, la masse vaut M=int rho 2 pi r dr dz = rho pi R2 L.

    Si tu mets les deux ensemble ça donne bien Delta = M R2 /2.

  4. #3
    isozv

    Re : Moment cinétique

    Voir les quelques propriétés du cylindre (dont les moments d'inertie) :

    http://www.sciences.ch/htmlfr/geomet...1.php#cylindre

    (soit patient pour le chargement de la page... est la pas petite...)

  5. #4
    brunop

    Re : Moment cinétique

    Concernant (2)

    Delta = int r2 rho dS
    Delta = int r2 rho 2 pi dr dz

    où j'ai écris l'élément de volume dS = 2 pi dr dz
    Tu intègres sur une hauteur L sur z, et sur le rayon r ce qui te donne

    Delta = 2 pi rho L R^3 /3

    Or, la masse vaut M=int rho 2 pi dr dz = rho 2pi R L.

    Si tu mets les deux ensemble ça donne Delta = (M R²)2/3 et non MR² comme indiqué sur le bouquin .

  6. #5
    Gaétan

    Re : Moment cinétique

    Je pense que pour des raison de symétrie, on peut simplement calculer respectivement les moments cinétiques d'un disque plein et d'un cercle. D'ailleurs, c'est les mêmes formules.
    C'est plus simple, non ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    brunop

    Re : Moment cinétique

    Concernant (2)
    En fait en me promenant sur le site nommé précedement, j'ai concidéré le volume à traité comme le volume de rayon Rext - le volume de rayon Rint. Dans la démo on arrive à la solution Delta = MR² supposant que Rint est proche de Rext.
    int : intèrieur ext : extérieur.
    Y a t'il une autre solution qui n'oblige pas faire une approximation sur R autre que celle ou je travaillais avec dS (voir message précédent) puisque je n'arrive pas au résultat.
    Merci,

  9. Publicité
  10. #7
    deep_turtle

    Re : Moment cinétique

    Dans le cas (2) c'est un peu différent, car le distribution de masse selon r est une fonction singulière. Si tu voulais traiter ce cas comme l'autre, il faudrait écrire que

    rho = delta(r-R) M/2 pi R L

    ou delta(r-R) est la distribution de Dirac.

    Ca donne le résultat cherché, mais c'est s'embeter pour rien, il vaut mieux écrire que

    Delta = int r2 dM

    où on intègre sur la masse et remarquer que tous les éléments de masse dM se trouve au même rayon r=R, si bien que la fonction r(M) est une constante (elle vaut R) et sort de l'integrale. Tu as alors

    Delta = R2 int dM = M R2

    Sinon en effet, comme dit Gaëtan, tu peux faire le calcul avec des disques (mais la difficulté ici n'était pas selon l'axe z, n'est-ce pas ?).

  11. #8
    zoup1

    Re : Moment cinétique

    Hola !!!

    pas de panique...

    Le moment d'inertie par rapport à un axe delta est la somme sur tout les élements de masses dm (infinitésimaux) multiplié par le carré de la distance à l'axe.

    Sous forme intégrale, si on appelle r la distance à l'axe,
    On a I

    Pour un cylindre creux et c'est le cas le plus simple
    IDelta= Int rho*dV*r2
    en effet, dm = rho*dV... et rho est la masse volumique...

    si la masse volumique est constante (homogène) on peut la sortir de l'intégrale et
    IDelta= rho*Int *r2 dV

    Le cas le plus simple est celui du cylindre creux : Toute la masse est à la même distance de l'axe de rotation donc r est constant dans l'intégrale. On peut donc sortir égale r de l'intégrale qui devient un R, rayon du cylindre
    donc Delta= rho*R*Int 2 dV
    Il reste simplement à intégrer dV sur le volume du cylindre creux. Cela n'a pas forcement beaucoup de sens car la paroi d'un cylindre creux est infiniment mince du coup son volume est infiniment petit... mais cela n'a que peu d'importance la quantité physique dans cette affaire c'est rho*V c'est à dire la masse totale du cylindre soit M. On obtient donc

    IDelta= M*R2

    Comme dans le livre, c'est magique...
    On aurait pu ne pas faire de calcul du tout. Comme toute la masse est à la même distance de l'axe de rotation chaque bout joue le même rôle. IDelta= M*R2

    Pour le cylindre plein c'est un peu plus compliqué, il faut faire une intégrale quoi, un vrai...

    On peut voir le cylindre plein comme une succession de cylindre creux les uns dans les autres chacun avec un masse dm et un rayon r avec une épaisseur dr. Le volume du cylindre creux est
    dV = 2*pi*r*dr*h, où h est la hauteur du cylindre (qui n'intervient pas vraiment dans le probleme posé).
    Comme le cylindre est homogène l'un masse d'un cylindre creux de rayon r est
    dm=M*2*r*dr/R2
    - Il faut un peu réfléchir pour voir cela mais c'est juste le produit de la masse par le rapport entre les volume du cylindre plein (de rayon R) et du cylindre creux de rayon r avec une épaisseur dr...

    à parir de là,

    IDelta= rho*Int *r2 dV =Int r2 dm = Int r2*M*2*r*dr/R2
    IDelta= 2*M/R2 * Int r3dr = M*R2/2

    Et c'est encore une fois comme dans le livre...
    Merveille des merveilles...

  12. #9
    brunop

    Re : Moment cinétique

    Merci, c'est trés clair

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Moment d'un force, moment cinetique, moment d'inertie
    Par margatthieu dans le forum Physique
    Réponses: 8
    Dernier message: 19/02/2017, 00h41
  2. moment d'une force et moment cinétique
    Par benji333 dans le forum Physique
    Réponses: 1
    Dernier message: 14/11/2007, 19h02
  3. moment cinétique analogue du moment de force
    Par hammer6 dans le forum Physique
    Réponses: 2
    Dernier message: 15/11/2006, 01h48
  4. Différence entre moment cinétique et énergie cinétique
    Par eyeskitten dans le forum TPE / TIPE et autres travaux
    Réponses: 6
    Dernier message: 23/01/2005, 00h07
  5. Moment cinétique Help!
    Par isozv dans le forum Physique
    Réponses: 5
    Dernier message: 25/05/2003, 00h17