Alain Connes et grande unification

[Thwarn]

Bonjours,

Je viens de voir sur cette video: http://stream.arte-tv.com/ramgen/per...2_512kbps.rmvb
que Alain Connes aurait trouvé (d'apres lui) une formule redonnant le lagrangien du modele standar avec en prime la gravitation, la masse du Higgs ainsi que le mélange des neutrinos...
J'ai trouvé cette article sur sa page: ftp://ftp.alainconnes.org/neutrino.pdf

Comme je ne m'y connais pas (mais que ça m'interresse ) et surtout parce que je n'avais jamais entendu parler de cette découverte, je voudrai savoir ce que les gens s'y connaissant dans le domaine sur le forum en pense.

J'attend avec impatience vos avis
-----

[mariposa]

Bonjours,

Je viens de voir sur cette video: http://stream.arte-tv.com/ramgen/per...2_512kbps.rmvb
que Alain Connes aurait trouvé (d'apres lui) une formule redonnant le lagrangien du modele standar avec en prime la gravitation, la masse du Higgs ainsi que le mélange des neutrinos...
J'ai trouvé cette article sur sa page: ftp://ftp.alainconnes.org/neutrino.pdf

Comme je ne m'y connais pas (mais que ça m'interresse ) et surtout parce que je n'avais jamais entendu parler de cette découverte, je voudrai savoir ce que les gens s'y connaissant dans le domaine sur le forum en pense.

J'attend avec impatience vos avis

.
Bonjour,

Je ne connais pas la géométrie non commutative de Alain Connes, mais son papier est plus que troublant.

Il semble avoir interpreter le modèle standard dans le cadre de la géométrie non commutative et annonce des prévisions expérimentales. Entre autre il dit que le boson de Higges découle de son modèle alors que du point de vue classique ce boson est ajouté à la main. Il dit aussi que les particules sont de métriques nulles du point de vue géométrique mais de dimension 6 du point de vue de la géométrie non commutative. Le nombre 6 est le même que les théories de supercordes mais il dit que ce n'est pas 6 dimensions supplémentaires de l'espace-temps classsique mais un effet de géométrie non commutative.
.
Au passage je note que travailler avec des espaces symplectiques unitaires est beaucoup plus contraignant que de travailler avec des groupes de Lie. Cela se joue sur le nombre de representations.
.
Voilà une réaction une réaction à chaud!

[Gwyddon]

Salut,

Dire que le boson de Higgs est ajouté à la main dans le modèle standard me semble un peu exagéré : on constate que la symétrie électrofaible est spontanément brisée, et il en ressort le boson de Higgs.

Bon après par contre, sa masse n'est pas fixée dans le modèle standard, et je ne sais pas si l'on explique pourquoi la symétrie est spontanément brisée...

[mariposa]

Salut,

Dire que le boson de Higgs est ajouté à la main dans le modèle standard me semble un peu exagéré : on constate que la symétrie électrofaible est spontanément brisée, et il en ressort le boson de Higgs.

.
Salut à toi.

On se donne un doublet de Higgs complexe (soient 4 champs réels) avec un potentiel en chapeau mexicain justement pour que couplé au modèle standard on ait une brisure de symétrie sur SU(2)*U(1). De ce couplage reste un boson de Higgs fort attendu au LHC.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Je sais bien merci, je connais le Modèle Standard...

Mais alors dans ce cas autant dire que le mécanisme de brisure spontanée de symétrie est rajouté à la main au Modèle Standard pendant que l'on y est non ?

[invite8ef897e4]

Bonjour,

moi je n'y connais rien du tout et je n'y comprends rien non plus Mais j'ai tout de meme son bouquin, en fait le gros et le petit. Le gros je n'ai pas reussi a le lire entierement, et j'ai vraiment fait des efforts pendant plusieurs mois. A une epoque je me nourrissais de cours, en repartant de la topologie algebrique generale puis la K-theorie et les C*-algebres (algebres stellaires, comme c'est joli 0. J'ai tout de meme lu le petit avec pas mal d'attention, je ne dis pas que je saisis tout mais je crois avoir obtenu une representation globale de son travail, au moins tel qu'il etait il y a quelques annees.

Je voudrais dire que la communaute me semble scindee en deux : les gens qui le suivent comme une idole et les gens qui le regardent de loin un peu ebahis sans vraiment le comprendre. Evidemment c'est tres schematique, mais je ne crois pas que ce soit completement faux.

Je crois qu'il a certainement trouve des choses tres importantes pour la physique. Il emerge a la fois de l'approche par les twisteurs et par la geometrie non-commutative une sorte de dedoublement de l'espace-temps, peut-etre refletant la 11iem dimension des cordes. J'en sais fichtrement rien, mais je ne crois pas que tout cela contredise forcement les theories de cordes non plus.

Au minimum, il faux feuilleter le gros bouquin et se renseigner un peu dessus. Franchement a chaque fois que je le lis il me laisse sur le c**. Quant on rentre dans son univers, il semble tellement evident qu'il a raison. Il est parti de tres loin, continuant les travaux de von Neumann sur les algebres non-commutatives (et la motivation pour cela est la MQ ordinaire. Autrement dit, Connes dit que nous n'avons pas pris le message de Heisenberg assez serieusement, et que des la MQ, le monde est non-commutatif) et il est alle tres tres loin. Pas tout seul bien sur, mais en maitre de sa discipline. Il a en fait realise une etape tres importante dans l'histoire. On peut remonter a l'epoque de Descartes et Pascal pour les tous debuts de la geometrie algebrique en fait.

Bon, je ne vais pas en ecrire des tartines la-dessus. Sachez en tout cas que beaucoup sont tres optimistes quant au destin a long terme du Monsieur. Sa stature restera peut-etre dans l'histoire a la hauteur de quelques autres connus meme du grand publique. Seul le temps peut nous dire en fait

[invite8ef897e4]

Oops, je ne peux plus editer mon message ! Zut, je voulais rajouter :
Beaucoup de materiel gratuit sur le site perso d'Alain Connes

[Karibou Blanc]

Mais alors dans ce cas autant dire que le mécanisme de brisure spontanée de symétrie est rajouté à la main au Modèle Standard pendant que l'on y est non ?

Exactement

Le mécanisme de Higgs est une simple description de la brisure dans le modèle standard, ce n'est pas un explication. On ajoute à la main un champ scalaire et un potentiel en chapeau mexicain. La conséquence de cela est une brisure spontannée de SU(2)xU(1)->U(1), mais ce n'est pas un mécanisme résultant d'une dynamique.
La brisure de symétrie dans le MS n'est rien d'autre qu'une paramétrisation (à la main) du résultat du mécanisme (inconnu) de brisure, le paramètre utilisé pour représenter les effets de la brisure (et ses propriétés) est un doublet scalaire de SU(2).

Donc ce n'est pas exagéré du tout !

[Karibou Blanc]

J'ai eu la chance d'assister à un séminaire de Connes au CERN récemment. Il a présenté ses travaux, sa démarche, les prédictions de sa théorie. En (très très) gros, parce que je n'y connais rien en géométrie non commutative, il part d'une intégrale d'action dans un espace non commutatif tordu (mais simple d'après lui). Dans cet espace, il n'y a qu'une seule représentation possible (ca c'est son principal argument pour dire que c'est élégant ou en tout cas remarquable). Lorsqu'il "projette" cette action, construite à partir de cette unique représentation, dans notre espace-temps à 4D, il retrouve le MS (c'est à dire les trois générations, le groupe de jauges, toutes les particules quoi plus le Higgs et les masses et mélanges des neutrinos) couplé à la gravité avec tous les mécanismes subtils du MS. D'après lui, il a vérifié tous les détails (les signes notamment de certains termes d'interactions) et ce qui découle de son action est bien le modèle standard + quelques prédictions, comme la masse du top (en accord avec les récentes mesures du Tevatron) et la masse du Higgs dans la fenêtre permise (autour de 120 GeV disons). Et ce sans faire aucune approximation ! (d'après lui encore, j'ai pas vérifié, je vous l'ai dit j'y comprends rien dans le détail). Mais ca semble intéressant.

Par contre ce sur quoi il a beaucoup insisté est qu'il ne prétent pas avoir trouvé une théorie unificatrice. Son modèle n'est valable qu'aux énergies de l'ordre du TeV et moins. Son but n'était pas de trouver une physique au delà du MS à trs haute énergie (unification, etc...) mais de comprendre d'ou pouvait venir le bestiaire des particules observées et la symétrie du modèle standard, avec tous ces mécanismes subtils et complexes. Et tout cela il dit que ca peut découler d'un simple principe d'action dans un espace non commutatif particulier, qui une fois choisi conduit directement (sans manipulation intentionnée) au MS couplé à la gravité (plus quelques prédictions).

KB

[mtheory]

Salut,

Dire que le boson de Higgs est ajouté à la main dans le modèle standard me semble un peu exagéré ..

Ben non, certes il est fortement appelé pour des raisons théoriques mais tu mets son champ dans le lagrangien du début, il n'émerge pas du spectre à la fin.

[mtheory]

Exactement

Le mécanisme de Higgs est une simple description de la brisure dans le modèle standard, ce n'est pas un explication. On ajoute à la main un champ scalaire et un potentiel en chapeau mexicain. La conséquence de cela est une brisure spontannée de SU(2)xU(1)->U(1), mais ce n'est pas un mécanisme résultant d'une dynamique.
La brisure de symétrie dans le MS n'est rien d'autre qu'une paramétrisation (à la main) du résultat du mécanisme (inconnu) de brisure, le paramètre utilisé pour représenter les effets de la brisure (et ses propriétés) est un doublet scalaire de SU(2).

Donc ce n'est pas exagéré du tout !

et justement c'est THE problème dans les extensions supersymétriques de savoir comment le méchanisme de super Higgs arrive et se produit si j'ai bien compris.

[mtheory]

J'ai eu la chance d'assister à un séminaire de Connes au CERN récemment. Il a présenté ses travaux, sa démarche, les prédictions de sa théorie. En (très très) gros, parce que je n'y connais rien en géométrie non commutative, il part d'une intégrale d'action dans un espace non commutatif tordu (mais simple d'après lui). Dans cet espace, il n'y a qu'une seule représentation possible (ca c'est son principal argument pour dire que c'est élégant ou en tout cas remarquable). Lorsqu'il "projette" cette action, construite à partir de cette unique représentation, dans notre espace-temps à 4D, il retrouve le MS (c'est à dire les trois générations, le groupe de jauges, toutes les particules quoi plus le Higgs et les masses et mélanges des neutrinos) couplé à la gravité avec tous les mécanismes subtils du MS. D'après lui, il a vérifié tous les détails (les signes notamment de certains termes d'interactions) et ce qui découle de son action est bien le modèle standard + quelques prédictions, comme la masse du top (en accord avec les récentes mesures du Tevatron) et la masse du Higgs dans la fenêtre permise (autour de 120 GeV disons). Et ce sans faire aucune approximation ! (d'après lui encore, j'ai pas vérifié, je vous l'ai dit j'y comprends rien dans le détail). Mais ca semble intéressant.

Par contre ce sur quoi il a beaucoup insisté est qu'il ne prétent pas avoir trouvé une théorie unificatrice. Son modèle n'est valable qu'aux énergies de l'ordre du TeV et moins. Son but n'était pas de trouver une physique au delà du MS à trs haute énergie (unification, etc...) mais de comprendre d'ou pouvait venir le bestiaire des particules observées et la symétrie du modèle standard, avec tous ces mécanismes subtils et complexes. Et tout cela il dit que ca peut découler d'un simple principe d'action dans un espace non commutatif particulier, qui une fois choisi conduit directement (sans manipulation intentionnée) au MS couplé à la gravité (plus quelques prédictions).

KB

Il se trouve que les Dbranes et la théorie matricielle introduisent naturellement de la géométrie non-commutative, et que ça a des conséquences sur le spectre des particules, les groupes de jauge si je comprends bien.
Connes n'est pas super chaud pour les cordes mais je considère comme très probable que la GNC et les travaux de Connes ont des connexions très importantes avec les D branes.
A prendre mon avis avec des peleteuses, moi aussi la GNC ça me passe pas mal au dessus de la tête

[Karibou Blanc]

justement c'est THE problème dans les extensions supersymétriques de savoir comment le méchanisme de super Higgs arrive et se produit si j'ai bien compris.

Exact. Toutes les extensions du MS (SUSY, extra-dims,Little Higgs...) ont pour but de construire une dynamique nouvelle qui engendrerait le mécanisme de Higgs naturellement sans faire appel à un bricolage quelconque (grosso modo).
Dans le cadre de la paramétrisation de la brisure dans le MS, THE questionS est de comprendre quel(s) champ(s) se comporte(nt) comme un doublet scalaire à basse énergie, et surtout quel mécanisme dynamique naturel induit un signe négatif pour le terme quadratique du potentiel pour ce doublet.

[mariposa]

Je sais bien merci, je connais le Modèle Standard...

Mais alors dans ce cas autant dire que le mécanisme de brisure spontanée de symétrie est rajouté à la main au Modèle Standard pendant que l'on y est non ?

.
bonjour,

C'est excatement ce qui se passe.
.
Quelques explications:. Soit un un cristal dont toute la physique est décrit par son hamiltonien (en général un hamiltonien modèle). Il se peut que le cristal va être l'objet d'une ou plusieurs transitions de phase qu'on appelle brisure spontanée de symétrie. Toutes les transitions de phase sont intégrées, ipso facto dans l'hamiltonien. il n'est pas nécessaire de faire intervenir des couplages ad'hoc supplémentaires.
.
A contrario l'hamiltonien du modèle standard construit sur un principe d'invariance de jauge donne inévitablement des masses nulles. Aucune symétrie ne peut-être brisée spontanément. C'est pourquoi il faut rajouter à la main un nouveau champ avec comme contraintes mathématiques minimales:
.
1- Son hamiltonien doit être invariant sous le groupe produit du modèle standard.
.
2- Le terme de couplage doit être un produit "scalaire" (un invariant du groupe produit) entre un opérateur agissant dans l'espace iso-spin faible SU(2)l.U(1)y et opérateur agissant dans l'espace du champ additionnel.
.
Par essai erreur on trouve un doublet de Higgs dont une composante possède une charge électromagnétique nulle et l'autre une charge positive. [Il ne s'agit pas de l'ypercharge car on doit representer le terme d'interaction dans le sous-groupe de la symétrie brisée U(1)e.
.
Par contre Alain Connes affirme (je ne suis pas en mesure de le contredire) que le champ de Higgs est intégré à sa thèorie au même titre que l'hamiltonien d'un cristal. Si c'est vraiment le cas, et pourquoi en douter, c'est un point très fort de son algèbre non commutative.

[Karibou Blanc]

Si c'est vraiment le cas, et pourquoi en douter, c'est un point très fort de son algèbre non commutative

Oui c'est (entre autre) ca qui a l'air miraculeux !

[mtheory]

Il y a un article très clair sur le méchanisme de Higgs selon Alain Connes et son émergence dans les dérivées covariantes à partir d'un double feuillet d'espace-temps.

http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/9810524

p 53

De manière générale ce papier est excelent pour comprendre les connexions dimensions suplémentaires et théories de jauge/gravitation. Au passage, c'est un must pour comprendre les cordes.

[mtheory]

B. Gauge Theory and Noncommutative Geometry

The recent development of non-commutative geometry by Connes [64] has permitted the generalization of gauge-theory ideas to the case in which the standard differential manifolds (Minkowskian, Euclidean, Riemannian) become mixtures of differential and discrete manifolds.

The differential operators then become mixtures of ordinary differential operators and matrices.

From the point of view of the fundamental physical interactions the interest in such a generalization of gauge theory is that the Higgs field and its potential, which are normally introduced in an ad hoc manner, appear as part of the gauge-field structure. Indeed the Higgs field emerges as the component of the gauge potential in the ’discrete direction’ and the Higgs potential, like the self-interaction of the gauge-field, emerges from the square of the curvature.

The theory also relates to Kaluza-Klein theory because the Higg’s field and potential can also be regarded as coming from a dimensional reduction in which the discrete direction in the gauge group is reduced to an internal direction.

[mariposa]

Bonjour, à tous
.
Le modèle d'Alain Connes du modèle standard presente, un avantage nouveau:On peut avoir prise sur la géométrie non commutative a travers un exemple concret.
;
Comme beaucoup les quelques tentatives de comprendre la GNC s'est avéré pour moi un échec total. Grace a cet article, à défaut de comprendre la GNC on peut commencer à poser des questions.
.
1- L'article est visiblement dominé par des considérations de groupe. Dans ce cas cela signifie qu'une géométrie (ou une famille de géométrie) est définie par un groupe. Si c'est ainsi la GNC est compléter intergrer dans le programme d'Erlangen de Klein et c'est rassurant pour espérer comprendre!.
.
2- Il objecte que les groupes de Lie possèdent un nombre infini de representations irreductibles, ce qui est très peut contraignant. Par exemple dire qu'une representation irreductible du groupe de Poincaré est indicé par la masse, çà n'apporte rien du tout, puisque toutes les masses(positives) sont autorisées.
.
3- rejetant l'algébre de Lie peut representer une ouverture à la GNC. En effet un groupe de Lie c'est à la fois une topologie et une algébre. Il rejette donc la topologie et donc le langage des variétés, des espaces fibrés: Il faut alors trouver ce qui doit remplacer les variétés.
.
4- J'ai cru comprendre qu'il remplaçait les groupes unitaires agissant dans les espaces de Hilbert par des groupes unitaires symplectiques. il modifie là franchement le coeur de la MQ. Dans ce cas les états quantiques seraient des representations irreductibles de Sp (C)?
.
5- Dans son modèle standard-GNC il parle d'une algèbre comme somme directe de 4 composantes. Parmi lesquelles 2 fois l'algèbre des quaternions, cad le produit de 2 quaternions qui est l'algébre de clifford de l'espace de Minkowski. Autrement dit il reprend intégralement l'espace de Minkowski qui ne relève donc pas de la GNC.
.
6- En toute logique son modèle ignore les groupes SU(N) qui sont des groupes de Lie qui décrivent le modèle standart. Il semble que cela soit remplacé par le triplet F = (A,H,D) qui définissent des géométries de métriques nulles (preuve qu'il s'agit des géométries internes du modèle standard?). Par contre la dimension de ces géométries au sens de la K-théorie est de dimension 6.
.
7- La dimension 6.
.
Dans le modèle supercordes il s'agit des dimensions d'espace supplémentaires qui sont compactifiées et qui joint a des groupes de jauge ad'hoc sont censés reproduire le spectre des particules élémentaires.
.
Les mêmes particules de la théorie des cordes vont être décrites par des representations irréductibles des géométrie (A,H,D) où la dimension 6 n'est pas liée à l'espace temps mais à la K-theory.
.
8- Si au suppose que GNC et théorie des supercordes convergent on peut imaginer que tout se résume à un immense exercice de la géométrie écrit en termes de groupes. soit il y a isomorphisme de groupes soit il y a homomorphisme de groupe, auquel cas une théorie sera la théorie effective de l'autre. Oui mais laquelle?
.
8- La GNC et la théorie des supercordes se prononcent l'une et l'autre sur l'effet Hall quantique fractionnaire. Dans cette perspective on peut se demander si la géométrie de ce phénomène ne pourrait pas être une réalisasation d'une géométrie non commutative?
.
9- Il me semble donc que la GNC s'inscrive dans le programme d'Erlangen pour qui une géométrie c'est un groupe. Sous cet angle et grace a l'exemple du modèle standard la GNC pourrait devenir abordable (çà ne coute rien de le dire)

[Rincevent]

bonjour,

Dans cette perspective on peut se demander si la géométrie de ce phénomène ne pourrait pas être une réalisasation d'une géométrie non commutative?

The Non-Commutative Geometry of the Quantum Hall Effect

[mtheory]

.
1- L'article est visiblement dominé par des considérations de groupe. Dans ce cas cela signifie qu'une géométrie (ou une famille de géométrie) est définie par un groupe. Si c'est ainsi la GNC est compléter intergrer dans le programme d'Erlangen de Klein et c'est rassurant pour espérer comprendre!.
..
Dans le modèle supercordes il s'agit des dimensions d'espace supplémentaires qui sont compactifiées et qui joint a des groupes de jauge ad'hoc sont censés reproduire le spectre des particules élémentaires.
.
Les mêmes particules de la théorie des cordes vont être décrites par des representations irréductibles des géométrie (A,H,D) où la dimension 6 n'est pas liée à l'espace temps mais à la K-theory.
.
8- Si au suppose que GNC et théorie des supercordes convergent on peut imaginer que tout se résume à un immense exercice de la géométrie écrit en termes de groupes. soit il y a isomorphisme de groupes soit il y a homomorphisme de groupe, auquel cas une théorie sera la théorie effective de l'autre. Oui mais laquelle?
.
8- La GNC et la théorie des supercordes se prononcent l'une et l'autre sur l'effet Hall quantique fractionnaire. Dans cette perspective on peut se demander si la géométrie de ce phénomène ne pourrait pas être une réalisasation d'une géométrie non commutative?
.
9- Il me semble donc que la GNC s'inscrive dans le programme d'Erlangen pour qui une géométrie c'est un groupe. Sous cet angle et grace a l'exemple du modèle standard la GNC pourrait devenir abordable (çà ne coute rien de le dire)

J'ai parcouru l'article, j'ai la même analyse que vous sur les points que j'ai repris.

[mariposa]

Il y a un article très clair sur le méchanisme de Higgs selon Alain Connes et son émergence dans les dérivées covariantes à partir d'un double feuillet d'espace-temps.

http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/9810524

p 53

De manière générale ce papier est excelent pour comprendre les connexions dimensions suplémentaires et théories de jauge/gravitation. Au passage, c'est un must pour comprendre les cordes.

Merci beaucoup. Ce papier est sympa. c'est tout a fait abordable. A travailler!

[mariposa]

bonjour,



The Non-Commutative Geometry of the Quantum Hall Effect

J'en connais un certain nombre qui ont bien compris comment me faire plaisir!

[mtheory]

Je résume ce que j'ai compris.

On sait en géométrie différentielle que l'on peut reconstruire une géométrie à partir de l'algèbre commutative des fonctions sur cette géométrie (Cf Kobayashi Nomizu).

L'apport de Connes c'est qu'il a développé l'idée que si l'on remplace l'algèbre des fonctions commutatives par une algèbre non commutative on généralise la géométrie différentielle avec tout son attirail, fibré, dérivées covariantes, métriques etc...à une géométrie non commutative.

L'opérateur clé pour une géométrie dans l'espace-temps c'est l'opérateur de Dirac, or un Lagrangien doit être construit à partir d'un invariant.
La trace d'un certain opérateur de Dirac possédant un spectre donné est équivalent à se donner une variétée géométrique non commutative. Ce qui veut dire aussi qu'une variété non commutative induit automatiquement sur le spectre d'un opérateur de Dirac des contraintes et des groupes de symétries pour cet opérateur agissant sur la variété.

Connes semble donc prendre une sorte de produit genre Kaluza-Klein mais avec un espace discret*l'espace-temps. Cela induit une géométrie non commutative et donc un spectre et une algèbre de fonctions en rapport avec cette géométrie.
Si on construit un lagrangien avec l'invariant lié à la trace de l'opérateur de Dirac, la métrique et les dérivées covariantes sur cette géométrie introduisent automatiquement les champs de jauge, les groupes de symétries du modèle standard, le champ de Higgs et des connexions inattendues entres les constantes de couplages et les masses du MS. Le tout couplé à la gravité avec le lagrangien d'Einstein Hilbert plus des corrections quadratiques à ce lagrangien avec le tenseur de Weyl automatiquement !
C'est impressionnant comme résultat, je crois que c'est le même phénomène avec les D branes qui ont permis de trouver de nouvelles façon de ré engendrer des structures du modèles standard à partir de la géométrie non commutative qu'elles peuvent induire.
Je pense donc que ce qu'a fait Connes est une nouvelle généralisation de la théorie quantique des champs...que précisément les D branes comportent aussi.

Je dis tout ça très humblement car je ne maitrise pas du tout ces histoires

[mariposa]

Je résume ce que j'ai compris.

On sait en géométrie différentielle que l'on peut reconstruire une géométrie à partir de l'algèbre commutative des fonctions sur cette géométrie (Cf Kobayashi Nomizu).

.
Je ne comprends pas bien cette phrase. Est-ce que tu voudrais dire:

Soit une géométrie (définie comment?), alors je construit une algébre des fonctions commutatives. Inversement étant donné cet algébre je peux en retour reconstruire la géométrie. Il y aurait comme une "bijection".
.
Que ce soit conforme ou pas à ce que tu as écrits pourrait-tu redire la même chose avec un exemple?

L'apport de Connes c'est qu'il a développé l'idée que si l'on remplace l'algèbre des fonctions commutatives par une algèbre non commutative on généralise la géométrie différentielle avec tout son attirail, fibré, dérivées covariantes, métriques etc...à une géométrie non commutative.

.
Je pense que c'est conforme à Alain Connes, à la nuance que je dirais, non pas qu'il généralise le géométrie différentielle etc.. mais qu'il la substitue à autre chose puisqu'il ne travaille plus dans des espaces topologiques. C'est probablement pourquoi cela nous est très difficile à comprendre.Il faut complètement réécrire notre logiciel neuronal. On ne remplace pas comme çà 1 millions de lignes de code

La trace d'un certain opérateur de Dirac possédant un spectre donné est équivalent à se donner une variétée géométrique non commutative. Ce qui veut dire aussi qu'une variété non commutative induit automatiquement sur le spectre d'un opérateur de Dirac des contraintes et des groupes de symétries pour cet opérateur agissant sur la variété.

.
Je ne suis pas sur que l'on puisse parler de variétés, donc d'espace topologique, dans le cadre de la GNC.

Je dis tout ça très humblement car je ne maitrise pas du tout ces histoires

.


Moi non plus. On pourrait former un club de ceux qui de bonne volonté veulent comprendre la GNC et qui n'y arrivent pas.

[mtheory]

.
Je ne comprends pas bien cette phrase. Est-ce que tu voudrais dire:

Soit une géométrie (définie comment?), alors je construit une algébre des fonctions commutatives. Inversement étant donné cet algébre je peux en retour reconstruire la géométrie. Il y aurait comme une "bijection"

Absolument, c'est un théorème fondamental.
Pas si étonnant que ça, sur une sphère la géométrie et donc les solutions/types d'équations différentielles avec symétries ne sont pas les mêmes que sur un plan.
L'un code l'autre, encore des trucs de groupes !

Le type de valeurs propres pour les vibrations d'un tambour rond n'est pas le même que pour un tambour carré , et tout simplement pour un instrument de musique. Les spectres des opérateurs différentiels sur objet élastique donnent des indications sur la forme et la géométrie de l'objet.

En fait tout vient de la géométrie algébrique.

[mtheory]

.Je ne suis pas sur que l'on puisse parler de variétés, donc d'espace topologique, dans le cadre de la GNC.

Je crois que si mais c'est pas évident

[mtheory]

un beau truc de Connes, les premières pages sont lisibles

http://xxx.lanl.gov/abs/math.QA/0011193

[mtheory]

http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9906059


http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/9802129

http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0012145



Attention ça fait mal !

[mtheory]

Je crois que si mais c'est pas évident

Les variétés ne sont pas toutes des variété différentiables au sens habituel, il y a aussi les variétés algébriques par ex.

[mariposa]

Absolument, c'est un théorème fondamental.
Pas si étonnant que ça, sur une sphère la géométrie et donc les solutions/types d'équations différentielles avec symétries ne sont pas les mêmes que sur un plan.
L'un code l'autre, encore des trucs de groupes !

Le type de valeurs propres pour les vibrations d'un tambour rond n'est pas le même que pour un tambour carré , et tout simplement pour un instrument de musique. Les spectres des opérateurs différentiels sur objet élastique donnent des indications sur la forme et la géométrie de l'objet.

.
A ce propos connais-t-on les techniques pour résoudre ce genre de problèmes inverses. Je n'ai jamais rien vu de concret.

En fait tout vient de la géométrie algébrique.

.
Et oui, pas facile, facile!