Développement limité

[julien_4230]

Mesdames, messieurs, bonjour.

Le poids d'un objet de masse m vaut :

P(z) = G (mM)/(R+z)², R le rayon de la Terre, M sa masse.

Effectuer un D.L. à quand z<<R, et montrer qu'à lordre 1, la variation de g (intensité de pesanteur) est proportionnelle à z.

0============================= 0

Pour moi, un D.L. quand z<<R est un D.L. en z=0.

Avec g = GM/R², on a :

P(z) = mg - 2z(GMm)/R^3.
= mg - 2zmg/R = mg(1-2z/R).

Et je ne vois pas là...
DELTA(g) = GM DELTA(1/R²final - 1/R²initial)...

Merci de m'aider !
-----

[invite46a4e601]

Pour moi, un D.L. quand z<<R est un D.L. en z=0.

Tu te trompes! Au fait z<<R signifie z/R<<1 . Au fait le DL ne porte pas sur z mais sur x= z/R.

[Coincoin]

Salut,
Tout est là :

P(z) = mg(1-2z/R)

Ce que tu as noté g, c'est g(0). On te demande g(z), puis de regarder g(z)-g(0).

[julien_4230]

je n'ai pas compris pourquoi on parle d'un DL quand z<<R...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite46a4e601]

Ben la condition z<<R ne suffit pas à faire un DL en zero sur une fonction de z.
Si R vaut 1milliard, un z de 1000 est bien plus petit mais loin de zero.
C'est pour cela que le DL ne se fait pas sur une fonction de z mais une fonction de x=z/R qui lui est proche de zero.
C'est pourtant tjs un DL.

[julien_4230]

J'aurais franchement pu m'en douter !...
Merci pour l'explication, désormais je saurai la véritable démarche intellectuelle. C'est un déclic à obtenir !

[invite46a4e601]

A ton service! C'est le genre de truc qu'on voit une fois et qu'on oublie jamais ensuite.

[Karibou Blanc]

Merci pour l'explication, désormais je saurai la véritable démarche intellectuelle. C'est un déclic à obtenir !

Conseil : Penser qu'un DL se fait TOUJOURS par rapport à une variable SANS dimension.

Ici, petit z n'a pas de sens car il faut toujours avoir à l'esprit la question suivante : petit devant quoi ? (parce que z est dimensionné) reponse : ben R ok alors si R est la distance caractéristique de mon problème, c'est le rapport z/R qui est petit (tres tres infiérieur à 1) dans l'absolu. Donc je fais un DL de ma fonction de z/R autour de 0 (et pas de z seulement).

[julien_4230]

Très bien, merci beaucoup des conseils !!!!

Maintenant, j'effectue le DL d'ordre n en z/R de... quelle fonction ??? Serait-ce de :

P(z/R) = (GmM/R²) / (1+z/R)² ? Merci !

[julien_4230]

Après à l'ordre 1 j'obtiens :

P(x) = mg(1 - 2x/(1+x)^3) avec x =z/R.

Comment je fais pour exprimer la variation de g en fonction de z ? Ca ne me dit vraiment rien....

[Coincoin]

Ce n'est pas de l'ordre 1.Tu as encore le dénominateur...

[philou21]

(1+x)^y est, à l'ordre 1, quand x <<1 à peu près égal à 1+yx

[julien_4230]

Ce que tu as noté g, c'est g(0). On te demande g(z), puis de regarder g(z)-g(0).

P(x) = mg(0) est le DL d'ordre 0 en x.
P(x) = mg(z)(1-2z/R) est le DL d'ordre 1 en x.

Donc

0 = mg(z)(1-2z/R) - mg(0) = m DELTA(g) - 2z/R

D'où : DELTA(g) = 2z/mR.

Est-ce cela ?

[philou21]

g(z)=GM/(R+z)²

au 1er ordre :
g(z)=g(0)(1-2z/R)

[julien_4230]

Je n'ai pas compris...

[Coincoin]

DELTA(g) = 2z/mR.

Est-ce cela ?

Sans rentrer dans les détails du calcul, ça me paraît bon.