bonjour à tous,
Voila, question d'un de mes élèves de terminale :
si on arrivait à percer la terre de part en part, qu'arriverait-il si on plongeait dans le trou au niveau de la gravité ?
J'ai le vague souvenir qu'au centre de la terre g s'annule et j'ai eu également souvenir d'un exo de JM Levy-Leblong sur le sujet ou il était question de faire un oscillateur autour du centre de la terre, mais qqn pourrait-il m'éclairer ?
Merci !!
BonsoirEnvoyé par fano
La seule masse qui compte dans g est celle qui se trouve entre l'objet et le centre de la terre : la masse va donc être proportionnelle au volume c.-à-d. proportionnelle à r3 si on considère une densité constante (si qui faux bien sûr...) donc g serait linéaire en r
Ben les lois de l'attraction gravitationnelle sont en M/R^2.
En sachant ceci, on peut en déduire que nous pouvons appliquer le théorème de Gauss à notre "sphère"(la Terre n'est pas exactement sphérique je sais).
De cette maniére, on apprend que le champ gravitationnel radial est proportionnel à M(r)/4piR^2 avec M(R) la masse contenue dans la sphére de Gauss de rayon R.
Si la densité de la Terre est uniforme on peut dire que M(R)= a 4piR^3/3 avec a une constante.
D'où un champ gravitationnel de norme linéaire sur notre sphére et qui s'annule pour une sphére virtuelle de rayon nul(ce qui est toujours vrai comme pourM(0) = 0).
Si quelqu'un tombait dans un tel puit, il accelererait jusqu'a centre puis decelererait et reapparaitrait de l'autre coté avec une vitesse nulle je pense.
On peut même imaginer un oscilateur je pense(mais pas harmonique).
J'oubliais:connaitre la repartition de masse jusqu'au noyau pourrait nous aider à avoir des calculs plus précis.
Le résultat est d'ailleurs assez spectaculaire : avec la Terre sphérique et homogène (hypothèses pour avoir l'oscillateur harmonique) et sans frottement, on arrive de l'autre côté en un peu moins de 13 min !
Those who believe in telekinetics, raise my hand (Kurt Vonnegut)
Oui, tu as raison, j'aurais du tourner ma langue dans ma bouche avant de dire que l'oscillateur n'était pas harmonique.
V= mg(z)z = Az^2
On a bien un potentiel harmonique.
13min, c'est vraiment impressionnant!!!une bonne petite balade en tout cas.
Bonjour
Moi je trouve une période d'oscillateur desecondes, soit pour passer d'un côté à l'autre 2542,5 s, soit 42 minutes 23s.
Par ailleurs il est à remarquer que ce temps est le même que celui de révolution d'un satellite d'altitude nulle (i.e. au ras du sol), donnée par la troisième loi de Képler.
Enfin, si on prend en compte la rotation de la Terre, le temps calculé plus haut n'est valable que pour un tunnel creusé selon l'axe des pôles. Pour un tunnel "équatorial" on a une légère correction : 5094 s, d'où une traversée complète en 42 mn 27s
Voili voilou
je trouve comme toi :2pi*SQRT(Rt/g0)
par contre, je pense que si tu creuses autre part qu'entre les deux pôles, tu risques de te cogner contre les parois à cause de la rotation...
Mea culpa. Erreur d'application numérique.
Pour me rattraper voilà une autre caractéristique marrante de ce problème : le temps de parcours est le même pour un tunnel rectiligne reliant n'importe quel couple de point à la surface de la Terre (en admettant qu'il y aie un rail sans frottement pour absorber la composante normale). J'imagine déjà les publicités : "allez n'importe où en 42 min" !
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