Onde électromagnétique et champ électrique

[invitea8fa3c8e]

Bonjour tout le monde !
Voilà j'ai un petit soucis sur une question qui a pourtant l'air bateau ... Il s'agit de l'étude de la propagation d'une onde électromagnétique entre deux parois planes conductrices supposées infinies x=0, x=a (Ces parois sont des surfaces équipotentielles ). Cette propagation se fait dans la direction de l'axe Oz avec la pulsation w et le nombre d'onde k.
La question qui m'arrête c'est qu'on me demande de justifier que le champ électrique a pour composante :
Ex=f(x)exp(i(wt-kz)
Ey=g(x)exp(i(wt-kz)
Ez=0
avec f et g fonctions à déterminer.
Pour Ez, il s'agit du fait que le champ électrique est perpendiculaire à la direction de la propagation ce qui implique le résultat nul mais j'avoue que je coince en ce qui concerne la justification pour Ex et Ey Quelqu'un peut-il me dire quoi écrire svp ? Merci d'avance
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[gatsu]

je peux peut etre t'aider (enfin on va voir):

enfait quand il t'est demandé de justifier l'expression de tu dois verifier que cette expresssion verifie l'equation de d'alembert :



et en fait en faisant cela tu vas trouver que cette expression verifie l'equation de d'alembert mais seulement pour certaines fonctions f(x) et g(x).En effet, si on projette l'equation de d'alembert sur la'axe des x il vient:



or

il vient donc :



or ,

on trouve donc l'equation verifiée par f(x):



qui est une equation differentielle du deuxieme ordre (lineaire, homogene et à coefficients constants) dont la solution pour est :



pour connaitre les constantes on utilise les conditions limites :

ce qui donne

et

ce qui nous amene soit à B=0 ... aucun interet ou soit:

avec n appartenant aux entiers naturels.

on obtient donc ce qui donne pour f(x):



j'avoue que je ne sais pas comment determiner la constante B en fait donc je ne vais pas raconter n'importe quoi et laisser B , on a donc:



ce qui me turlupine c'est que ce raisonnemnt fonctionne egalement pour ce qui signifierait que g(x)=Kf(x) K etant une constante mais bon j'ai pu me tromper notamment par rapport aux conditions limites de en effet ce dernier est normal aux plaques conductrices....il devrait y avoir une discontinuité si la plaque etait chargée mais etant donné que ce n'est pas precisé j'ai pris et à ce moment là la composante normale est continue.
voila en esperant que cela t'aidera

[gatsu]

un petit bemol à ce que j'ai ecris (si c'est juste) au niveau de la relation liant f(x) à g(x) en effet on peut appliquer le meme raisonnement pour g(x) que pour g(x) mais g(x) aura alors pour expression:
et f(x) aura l'expression (comme dans mon post precedent) :



avec B different de C et m different de n à priori (je ne sais pas si on a le droit de faire ça en physique mais mathematiquement c'est correct il me semble).
Donc selon moi ce n'est que dans le cas particulier ou n=m que f(x)=Kg(x)

On remarquera egalement que dans ce cas l'onde est polarisée rectilignement.

[invitea8fa3c8e]

Merci Gatsu pour ton aide mais euh ... le soucis c'est que ce que tu as fais c'est demandé plutôt par la suite. La deuxième question me demande justement de déduire à partir de l'équation d'onde que la fonction g(x) satisfait l'équation différentielle de la forme :

Il me demande de la résoudre et de déduire la valeur des conditions aux limites et montrer que

ce qui revient presque à ce que tu as fais donc je crois pas que ce soit ça qu'ils attendent pour la première question Mais merci beaucoup de m'aider c'est très gentil

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

oups!!bon ba je vois pas trop quoi faire alors mais si il fallait vraiment que j'ecrive quelque chose je dirais que les conditions de symetrie et d'invariance du systeme font que la champ electrique est fonction de x et de z et pas de y.Et l'onde etant donnée comme propagative dans l'enoncé la fonction la representant possede forcement un terme de la forme h(ct-z) ou h est une fonction.Si h a de bonnes proprietés mathematiques elle peut etre representée par une fonction sinusoidale..ce sera une onde de type harmonique ayant la forme or l'onde dependant egalement de x alors E "doit" s'ecrire sous la forme mais c'est plus du blabla qu'autre chose je l'avoue tout ça pour dire que cette question me laisse ...perplexe

[invite212ab20d]

Fantomette, ton problème me paraît simple mais je peux me tromper. Pour être sûr de ne pas répondre en dehors, peux-tu donner l'énoncé exact, STP. Ma réponse suivra à ma prochaine connection.

[invitea8fa3c8e]

Elle me laisse également perplexe Gatsu Je pense que ton blabla comme tu dis doit être ce qui était attendu merci
Pour Patrick voici l'énoncé exact bien que je pensais l'avoir mis de façon assez claire le voici tel quel :

On étudie la propagation d'une onde électromagnétique entre deux parois planes conductrices supposées infinies x=0, x=a.
La propagation a lieu dans la direction avec la pulsation et le nombre d'ondes .
Les parois x=0,a sont des surfaces équipotentielles.

1) Justifier que le champ électrique a pour composantes :



où f(x) et g(x) sont deux fonctions à déterminer.

2) Déduire de l'équation d'onde que la fonction g(x) satisfait une équation différentielle devant être de la forme :

réel.
Résoudre cette équation.
Déduire la valeur des conditions aux limites et montrer que


3)Utiliser les équations de Maxwell pouir obtenir la fonction f(x), ainsi que les composantes du champ magnétique

4)Existe-t-il une fréquence de coupure
Exprimer et la longueur d'onde correspondante en fonction de a .

Voilà le problème dans son intégralité

[gatsu]

c bien ce que je craignais (malheureusement) le raisonnement que je t'ai donné pour f(x) ne fonctionne apparemment que pour g(x) .... il va faloir faire les calculs pour connaitre le fin mot de l'histoire...

[gatsu]

si on applique la premiere equation de maxwell:
(dans le vide)

on obtient en developpant:


=>

=>

or, pour obeir aux conditions limites il faut que

et comme

on trouve bizarrement que
ce qui correspond en fait dans le calcul que nous avions fait pour obeir aux conditions limites à
dites le moi si vous voyez une erreur de raisonnement parceque ce resultat m'etonne un peu.

ce qui nous donne finallement pour :


est ce qu'on est d'accord ou quelqu'un a une autre idée?

[invite212ab20d]

Désolé je reviens tard sur ce problème posé il y a quelques jours et que je trouve intéressant. Je suis d'accord avec Gatsu pour dire que la composante Ex est indépendante de x entre x = 0 et x = a (car comme écrit div E = 0) par contre, je ne pense pas que cela signifie que f(x) = 0.

En effet :
La condition aux limites x = 0 et x = a pour le champ E dit que la composante tangentielle est continue (donc c'est ici celle dans le plan yz). Comme elle est nulle dans le conducteur elle est nulle à la limite des surfaces de séparation (x = 0 et x = a). Par contre la composante normale (Ex) peut être discontinue dans le cas d'un conducteur parfait (cas ici). On ne nous dit pas qu'il y a des charges à la surface mais si Ex existe (cas général) ces charges doivent apparaitre pour respecter la condition aux limites sur E. Ces charges n'apparaissent bien sûr pas spontanément mais sont prises ailleurs dans le conducteur pour permettre à E d'avoir une composante Ex juste à l'extérieur du conducteur. A mon avis, avoir Ex = 0 ou pas dépend du type d'onde avant les deux plans (bah oui, il doit bien y avoir une source quelque part même si elle est loin) et du couplage de l'onde à l'entrée entre les deux plans. Dans le cas général, il est donc possible d'avoir ici (à mon avis, mais je ne suis pas sûr):

Ex = Cte exp(i(wt-kz)).

Pour revenir à la question d'origine, je ne suis pas encore persuadé que les fonctions f(x) et g(x) ne pourraient pas aussi être dans un cas plus général fonction de x et y. Encore là, je pense que tout dépend du type d'onde EM qu'on veut faire se propager entre les plans x= 0 et x = a. Disons que dans le cas présenté, puisqu'il n'y a rien pour différencier une valeur de y d'une autre à x et z constants, je ne vois pas physiquement pourquoi y serait une variable dont dépendraient les champs E et B. Si on connaissait le champ EM avant d'entrer dans les plans, je ne suis pas sûr que la variable y n'aurait pas de rôle à jouer surtout à l'entrée de l'onde EM entre les plans (effets de bords). Encore là rien n'est sûr.

Autre point qui me chicote, pour moi il n'est pas évident que le cas général soit nécessairement avec Ez = 0. Si on est habitué aux ondes transverses EM (TEM) ce n'est pas la (seule?) solution des équations de Maxwell lorsque le milieu est limité par des plans comme ici. Si on retourne au bouquin de Jackson, on y retrouve par exemple que dans un guide rectangulaire simple les ondes TEM ne peuvent se propager et il existe d'autres modes de propagation soit TE soit TM. Dans notre cas, on peut faire l'hypothèse Ez = 0 et travailler avec mais j'aimerais qu'on me montre qu'une onde avec Ez non nulle ne peut se propager entre ces deux plans. Je ne serai pas étonné (mais je n'ai pas le temps poru le calcul) que si Ez = 0 on arrive à une solution avec Bz non nul (mais c'est plus une intuition qu'un raisonnement).

Bref, problème à suivre et je manque de temps pour le résoudre avant mon départ aujourd'hui pour quelques jours de vacances et loin du Net. J'espère que d'autres continueront de s'intéresser à ce problème que je trouve plus compliqué que je ne le pensais et qui sera peut-être résolu à mon retour (ce qui m'évitera de m'y replonger).
Bon courage.

[invite212ab20d]

Est-ce que ce problème est encore d'actualité pour quelqu'un? J'ai eu le temps d'y réfléchir et j'en arrive à la conclusion que plusieurs type d'onde EM peuvent se propager entre les plans infinis : notamment une transverse EM, et une transverse électrique. Je n'ai pas encore vérifié si des ondes TM pouvaient se propager. Il me semble donc que l'énoncé initial est mal posé ou pour le moins ne décrit pas complètement l'ensemble des solutions.
Si ça intéresse quelqu'un on peut relancer le fil.

[gatsu]

desolé patrick999 je n'ai pas reflechi à l'ensemble des solutions du probleme puisque ce n'est pas ce qui est demandé dans l'exercice.Par contre en effet tu as raison Ex est proportionnelle à exp(i(wt-kz)) et ce facteur de proportionnalité depend de la densité surfacique de charges des plaques.Ainsi, il n'est pas impossible de prendre sigma=0 (ou sigma est la densité surfacique de charge) en effet si c'est le cas on trouve comme je l'ai deja dit Ex=0 (j'avais choisi cela arbitrairement pour que la solution soit plus simple ce qui n'est pas tres rigoureux de ma part je l'avoue).En tout cas si l'enoncé est mal posé c'est juste parcequ'il ne nous donne pas la charge des plaques (d'apres moi).

[invite212ab20d]

Gatsu, merci pour ta réponse. Je pense que l'énoncé est mal posé car il suppose un seul type d'onde EM (une qui serait Transverse électrique) alors qu'il y a (à mon avis) d'autres solutions. Je vais voir à retrouver cette solution non transverse électrique.

Concernant la charge des plaques, je ne suis pas d'accord avec toi, elle n'a pas besoin d'être définie au préalable si le champ électrique est défini. Par contre, il faut définir soit l'un (sigma) soit l'autre (E vectoriel). Si Ex est non nul alors il apparaît nécessairement une densité surfacique de charge (qui n'existait pas en absence d'onde EM entre les plaques). En absence de charge initiale, pour savoir si Ex est nul ou pas il faut savoir quel est le champ EM introduit entre les plaques (elles ont bien un début et il existe bien une source)

[gatsu]

merci de ta reponse,

Je pense que l'énoncé est mal posé car il suppose un seul type d'onde EM

pour moi en ce sens l'enoncé n'est pas mal posé car il IMPOSE l'etude d'un type d'onde EM il ne dit pas du tout que seule cette onde peut exister entre ces plaques.Si cet exercice est un controle d'une demi-heure par exemple ils ne peuvent pas nous demander d'etudier toutes les ondes qui peuvent circuler entre ces plaques....il faut se rappeler que ce n'est qu'un exercice.

Concernant la charge des plaques, je ne suis pas d'accord avec toi, elle n'a pas besoin d'être définie au préalable si le champ électrique est défini

je voulais juste parler du fait de savoir si sigma est nulle ou non etant donné que si sigma est nulle Ex est nulle aussi (c'est presque la nature de l'onde EM qui est entre les plaques qui est changée en fonction de cette donnée)

Si Ex est non nul alors il apparaît nécessairement une densité surfacique de charge (qui n'existait pas en absence d'onde EM entre les plaques).

tout à fait d'accord avec toi