Bille au centre de la terre, épisode 2

[invite8915d466]

moi aussi j'avais loupé ce fil, la question est rigolote.

Pour la distribution de potentiel au centre de la cavité : le plus simple est de partir de l'équation de Poisson gravitationnelle ; en l'absence de matière , elle se réduit à celle de Laplace . Si V est constant sur la surface de la cavité, ce qui est forcément le cas pour une cavité sphérique avec une distribution sphérique, alors mathématiquement V est constant dans tout le volume, donc le champ est strictement nul. Ce sera le cas chaque fois que la cavité a la forme d'une équipotentielle gravitationnelle : on peut donc contourner le probleme de la non sphéricité de la Terre en supposant que la cavité est creusée exactement selon une surface équipotentielle, ce qui assure automatiquement l'annulation stricte du champ gravitationnel terrestre.

Reste donc les effets résiduels de marée due à la petite différence entre la résultante du champ gravitationnel extérieur (Lune + Soleil) sur la Terre et la valeur du champ à la position de la bille. Pas d'idée quantitative, mais elle est surement extremement faible, et de plus, il faut raisonner dans un repère en rotation autour du Soleil ce qui donne une force de Coriolis stabilisante : je pense également que la bille fait des petites oscillations autour du centre, et il se pourrait qu'elle ne touche jamais les parois.
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[sitalgo]

Il y a une condition supplémentaire : la cavité contient-elle du gaz ? il serait étonnant que le vide y règne.
Ce gaz est en rotation avec la terre et on a là la cause d'une force centrifuge et accessoirement la mise en rotation de la bille si elle était fixe.

Si la gravité dans une mine sur (plutôt sous !) Terre n'est pas nulle, c'est parce que la distribution des masses n'est pas uniforme : le noyau est plus dense que la croûte.

Je pense que ce n'est pas dû à la surdensité du noyau, qui joue quand même assurément, mais à la répartition des masse en haut et en bas de la mine. A l'échelle de la terre, une mine c'est pratiquement la surface.

quand on se rapproche de la paroi, l'influence de la partie dont on se rapproche augmente, mais la masse de cette partie est plus petite, et il y a parfaite "compensation"). C'est du moins ce que j'ai compris sur la page citée au début de ce post.

J'y ai pensé mais pour la distance on est en 1/d² alors qu'au centre de la terre, le gradient de diamètre de la terre, donc le gradient de masse de part et d'autre, est pratiquement linéaire.
Quand je dis diamètre je parle du diamètre au niveau des parallèles (opposés aux méridiens) correspondant à la postion de la bille.

[sitalgo]

Maintenant que tout le monde a donné son avis, je pense que seul un calcul (sans 36 paramètres) peut amener une certitude.

[pmdec]

Bonsoir,

...7...J'y ai pensé mais pour la distance on est en 1/d² alors qu'au centre de la terre, le gradient de diamètre de la terre, donc le gradient de masse de part et d'autre, est pratiquement linéaire.
Quand je dis diamètre je parle du diamètre au niveau des parallèles (opposés aux méridiens) correspondant à la postion de la bille.

Je pense que , justement, le gradient de masse n'est pas linéaire : pour un petit déplacement depuis le centre, tu fais passer un quasi disque "de l'autre côté". Or la masse de ce quasi disque est 4 pi rho R².
Regarde bien le calcul de cette page : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...ell2.html#wtls . Il est, pour moi, plus explicite que celui de gilles38 (qui a raison, bien sûr, mais de manière moins "physique"). Il faut admettre (ce qui va à l'encontre de ce qui était mon intuition il n'y a pas bien longtemps ...) qu'il y a une discontinuité du champ de gravitation quand on considère une sphère homogène et son extérieur : dès qu'on pénètre dans la sphère, la gravitation (dûe à la sphère) devient nulle !
Ce qui rend ce fait difficile à admettre doit être notre habitude de "ressenti" terrestre.
Autre conclusion : dans un vieux fil où l'on parlait de pression dans une bulle d'eau de 5km de rayon en "apesanteur" autour de la Terre, la pression au centre de la bulle doit être quasi nulle (pas nulle, car, d'une part la moindre vibration doit créer une compression, donc une augmentation de densité qui peut (?) se symétriser, et d'autre part il y a la tension superficielle du liquide).

Par contre, en cas de non symétrie sphérique de la répartition des masses de la Terre, je ne suis pas sûr que la "solution" évoquée par gilles38 ("on peut donc contourner le probleme de la non sphéricité de la Terre en supposant que la cavité est creusée exactement selon une surface équipotentielle") soit possible : à mon avis, une telle surface n'existe pas si on ajoute deux (ou des) masses diamétralement opposées à une sphère homogène (il n'y a qu'un point (ou des points, mais séparés) où la gravité est nulle).

[pmdec]

Re-bonsoir,

.../...Regarde bien le calcul de cette page : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...ell2.html#wtls . Il est, pour moi, plus explicite que celui de gilles38 (qui a raison, bien sûr, mais de manière moins "physique"). Il faut admettre (ce qui va à l'encontre de ce qui était mon intuition il n'y a pas bien longtemps ...) qu'il y a une discontinuité du champ de gravitation quand on considère une sphère homogène et son extérieur : dès qu'on pénètre dans la sphère, la gravitation (dûe à la sphère) devient nulle ! .../...

Je reviens sur cette "histoire" de gravité nulle à l'intérieur d'une sphère homogène ... et que j'ai du mal à avaler.

Soit, donc, une sphère de centre O et un point M sur une droite D passant par O, avec M à l'intérieur de la sphère.
Et soit un plan P, perpendiculaire à D et passant par M. Ce plan sépare la sphère en deux calottes, une rouge et une grise.

Le calcul de la page déjà citée dans mon précédent post semble (mais j'ai peut-être mal compris) démontrer que la gravité au point M est nulle (1ère ligne du schéma : la partie grise est plus grosse mais son centre de gravité est plus loin que celui de la partie rouge)

Cependant, qu'est-ce qui empêche d'imaginer qu'on découpe dans la partie grise une calotte (jaune), identique à la calotte rouge, et symétrique par rapport au plan P (2ème ligne du schéma). J'ai bien l'impression que M est situé en un point où la gravitation induite par chaque point de la calotte rouge est "annulée" par un point symétrique (par rapport à M) de la calotte jaune. En ne considérant que ces deux calottes, la gravité serait donc nulle en M.

Reste la partie grise !!! Par construction, elle est entièrement "d'un même côté" du plan P et devrait donc générer en M un champ de gravitation non nul (3ème ligne du schéma).

Où est l'erreur ???

[zoup1]

Je débarque un peu au miliieu d'une conversation, mais le champ de gravité à l'intérieur d'une sphère homogène n'est pas nul. C'est à l'intérieure d'une sphère creuse qu'il est nul. Pour une sphère homogène le champ croit linéairement avec la distance au centre.

[sitalgo]

Le calcul de la page déjà citée dans mon précédent post semble (mais j'ai peut-être mal compris) démontrer que la gravité au point M est nulle

Je trouve étonnant dans cette page qu'ils prétendent étudier un "shell", alors que si on regarde le calcul, c'est un disque plan. Ca ne change rien dans le principe puisque cela reste symétrique. Mais quand même.

Si dM est le secteur circulaire je ne vois pas comment ils trouvent dM = sigma.2pi.R.sin(theta).R.dthet a, pour moi c'est tout simplement sigma.1/2.R².dtheta.

Bref, je ne saisis pas bien leur calcul mais je suis un peu léger aussi.

Toujours est-il qu'ils étudient en fait un disque. Le problème est que s'ils ont raison, il n'y a plus de gravité sous la surface de la terre.
Prenons un point m quelconque dans la terre, 3 plans orthonormés (que l'on peut orienter dans tous les sens) passant par ce point, Par rapport à chacun de ces 3 plans qui délimitent un disque avec la terre, il y a gravité 0 pour le point m. Ca c'est étonnant.

[zoup1]

Je voudrais pas avoir l'air d'insiter mais il ne s'agit ni d'une sphère homogène ni d'un disque dans le calcul proposé mais bel et bien d'une sphère creuse.
Le champ à l'intérieur d'une sphère creuse homogène (c'est à dire que la répartition de masse à la surface de la sphère est homogène) est nul.

[pmdec]

Bonsoir,

Je débarque un peu au miliieu d'une conversation, mais le champ de gravité à l'intérieur d'une sphère homogène n'est pas nul. C'est à l'intérieure d'une sphère creuse qu'il est nul. Pour une sphère homogène le champ croit linéairement avec la distance au centre.

Bon sang mais c'est bien sûr ! J'avais tellement "envie" d'y voir un calcul pour une sphère homogène que j'ai zapé le "shell"
Et je n'ai même pas tilté sur le calcul de la masse (4 pi rho M²) qui est celui de la surface !!!
J'avais "passé" sur le reste du calcul, qui est limite pour moi ...

D'un autre côté, le résultat me rassure plutôt !

Mais alors, qu'en est-il, finalement, du champ de gravité dans une cavité vide sphérique centrée sur le centre de masse d'une sphère homogène (sauf la cavité) ?

[pmdec]

Re-bonsoir,

Je voudrais pas avoir l'air d'insiter .../...

T'as raison d'insister quand on peut voir le nombre de bêtises que j'ai racontées

[sitalgo]

Je voudrais pas avoir l'air d'insiter mais il ne s'agit ni d'une sphère homogène ni d'un disque dans le calcul proposé mais bel et bien d'une sphère creuse.

Ok, je vais revoir ça sous cet angle.

[pmdec]

Re-re-bonsoir,

.../... Mais alors, qu'en est-il, finalement, du champ de gravité dans une cavité vide sphérique centrée sur le centre de masse d'une sphère homogène (sauf la cavité) ?

A relire plus attentivement la page, il semble qu'on ai le droit de considérer la spère creuse comme "l'empilage" de sphères fines de diamètres de plus en plus grands :
"Physically, this is a very important result because any spherically symmetric mass distribution outside the position of the test mass m can be build up as a series of such shells. This proves that the force from any spherically symmetric mass distribution on a mass inside its radius is zero. If a given mass m is inside a spherically symmetric distribution of mass, that part of the mass outside its radius does not contribute to the net force on it. "

C'est bien ça ?

[invité576543]

Bonjour (me revoilà après quelque absence...)

Il y a une condition supplémentaire : la cavité contient-elle du gaz ? il serait étonnant que le vide y règne.

Je n'avais rien précisé pour l'intérieur, simplement parce qu'une telle cavité est impossible (pression, liquide ou solide, température, ...). Comme elle est totalement imaginaire, autant l'imaginer parfaitement vide, tant qu'à faire...

Cordialement,

[sitalgo]

A relire plus attentivement la page, il semble qu'on ai le droit de considérer la spère creuse comme "l'empilage" de sphères fines de diamètres de plus en plus grands :

C'est bien ça ?

C'est bien ce qu'on peut en conclure. Ainsi que pour calculer la gravité sur un point à l'intérieur de la sphère, il suffit de calculer la gravité exercée par la sphère "intérieure", toute la partie située à une altitude supérieure n'a pas d'effet.