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Bille au centre de la terre, épisode 2



  1. #1
    invité576543
    Invité

    Bille au centre de la terre, épisode 2


    ------

    Bonjour,

    Le fil précédent ayant bien dégrossi le problème, nouveau sondage, pour voir où en sont les opinions...

    Soit donc une cavité hypothétique centrée sur le centre de masse de la Terre, de rayon 100 m.

    Une bille (tout aussi hypothétique!) raisonnablement sphérique, de diamètre 1 cm, se trouve à un moment donné T en coïncidence parfaite avec le centre de masse de la Terre, et à vitesse relative parfaitement nulle par rapport à ce centre de masse. L'instant T est choisi comme celui d'une occultation totale du Soleil, visible de l'équateur. La bille est de couleur bleue.

    On considère la Terre telle qu'elle est (approximativement sphérique), idem pour le Soleil, la Lune, tout le toutim.

    On notera que l'accélération de la gravité due au Soleil est de l'ordre de 6 mm/s² dans le voisinage de la Terre, que l'accélération de la gravité due à la Lune est de l'ordre de 33 µm/s² dans le voisinage de la Terre.

    Au bout de combien de temps après l'instant T la bille touchera-t-elle la paroi de la cavité?

    Notes sur le sondage:

    Les intervalles se recouvrent un peu, c'est l'ordre de grandeur qui est intéressant, pas la valeur exacte (on se demande bien comment on pourrait la trouver!).

    Cordialement,

    -----
    Dernière modification par invité576543 ; 21/04/2007 à 07h01.

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  3. #2
    mariposa

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Bonjour,

    Le fil précédent ayant bien dégrossi le problème, nouveau sondage, pour voir où en sont les opinions...

    Soit donc une cavité hypothétique centrée sur le centre de masse de la Terre, de rayon 100 m.

    Une bille (tout aussi hypothétique!) raisonnablement sphérique, de diamètre 1 cm, se trouve à un moment donné T en coïncidence parfaite avec le centre de masse de la Terre, et à vitesse relative parfaitement nulle par rapport à ce centre de masse. L'instant T est choisi comme celui d'une occultation totale du Soleil, visible de l'équateur. La bille est de couleur bleue.

    On considère la Terre telle qu'elle est (approximativement sphérique), idem pour le Soleil, la Lune, tout le toutim.

    On notera que l'accélération de la gravité due au Soleil est de l'ordre de 6 mm/s² dans le voisinage de la Terre, que l'accélération de la gravité due à la Lune est de l'ordre de 33 µm/s² dans le voisinage de la Terre.

    Au bout de combien de temps après l'instant T la bille touchera-t-elle la paroi de la cavité?

    Notes sur le sondage:

    Les intervalles se recouvrent un peu, c'est l'ordre de grandeur qui est intéressant, pas la valeur exacte (on se demande bien comment on pourrait la trouver!).

    Cordialement,
    .
    Je trouve environ 170s qui est un calcul simple de chute libre

  4. #3
    invité576543
    Invité

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    .
    Je trouve environ 170s qui est un calcul simple de chute libre
    Ca correspond à l'accélération constante due au Soleil, non? (Je trouve 182 s, ce n'est pas loin).

    Mais 170 s, ça fait de l'ordre de 3 minutes...

    Cordialement,

  5. #4
    mariposa

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Ca correspond à l'accélération constante due au Soleil, non? (Je trouve 182 s, ce n'est pas loin).

    Mais 170 s, ça fait de l'ordre de 3 minutes...

    Cordialement,
    .
    Tout a fait. J'ai utilisé ton chiffre de 6 mm/s2 du au soleil.

    Cordialement.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invité576543
    Invité

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Bonjour,

    Bon, je me lance aussi. J'ai répondu le maximum.

    Je pense que les seuls effets sont ceux du genre vent solaire, météorites, etc.

    La petite accélération résiduelle mentionnée par Popol dans l'autre fil (différence entre la résultante de la gravité sur la Terre et la valeur du champ au centre de masse) ne sera pas suffisante pour faire atteindre la paroi. Et comme cette accélération tourne, elle imprimera un mouvement orbital de faible rayon à la boule, avec un rayon bien inférieur à la taille de la cavité. (Un double mouvement orbital, lunaire et solaire. A vue de nez l'orbite d'origine lunaire est dominante.)

    Aucun autre effet de la gravitation n'entraîne de divergence entre la Terre et la bille, à mon humble avis. La Terre n'a quasiment pas changé de trajectoire depuis des milliards d'années, ce n'est pas en 10 ans qu'elle va changer significativement.

    Maintenant une valeur supérieure à 10 ans est d'une certaine manière impossible. Cela demanderait déjà une vitesse initiale précise à mieux que 10-7 m/s, ce qui n'est pas très réaliste! Mais l'intitulé dit "parfaitement nulle", alors...

    Cordialement,

  8. #6
    andremat

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Bonjour,
    J'aurai une hypothese, mais je n'ai pas encore pris le temps de faire des calculs :
    Peut etre que lorsque la bille s'éloignera du centre exact de gravité de la terre, cette meme gravité terrestre exercera une force de rapel, qui si elle est plus importante que celle due aux autres astres ferra que la bille restera eternellement au centre de la terre ?

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  10. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par andremat Voir le message
    Bonjour,
    J'aurai une hypothese, mais je n'ai pas encore pris le temps de faire des calculs :
    Peut etre que lorsque la bille s'éloignera du centre exact de gravité de la terre, cette meme gravité terrestre exercera une force de rapel, qui si elle est plus importante que celle due aux autres astres ferra que la bille restera eternellement au centre de la terre ?
    C'est une excellente remarque. La gravité est évidemment extrêmement faible à cet endroit, mais le centre de masse de la Terre est, sauf erreur, le fond du puits de potentiel, donc la gravité terrestre a un effet stabilisant.

    Mais comme cette gravité est très faible, cela ne peut stabiliser que contre des perturbations elles-mêmes très très faibles.

    A confirmer.

    Mais si cela se confirme, cela me conforte dans mon idée d'un temps très long.

    Cordialement,

  11. #8
    bigarreau

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    moi je pense le contraire, l'equilibre est tres precaire, la bille est attirée par chaque point situé sur le demi rayon de la terre, si elle se rapproche à peine d'un de ces points elle ira inexorablement vers lui (à defaut de force contraire).

  12. #9
    yahou

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par andremat Voir le message
    Peut etre que lorsque la bille s'éloignera du centre exact de gravité de la terre, cette meme gravité terrestre exercera une force de rapel
    Citation Envoyé par bigarreau Voir le message
    moi je pense le contraire, l'equilibre est tres precaire, la bille est attirée par chaque point situé sur le demi rayon de la terre
    En supposant la Terre pleine, on obtient effectivement une force de rappel. Mais avec un trou sphérique au milieu d'une Terre sphérique, il n'y a pas de force gravitationnelle due à la Terre dans la cavité (un coup de théorème de Gauss pour s'en convaincre).

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    le centre de masse de la Terre est, sauf erreur, le fond du puits de potentiel, donc la gravité terrestre a un effet stabilisant.
    Du coup le fond du puit est plat sur l'ensemble de la cavité.
    Those who believe in telekinetics, raise my hand (Kurt Vonnegut)

  13. #10
    andremat

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par yahou Voir le message
    En supposant la Terre pleine, on obtient effectivement une force de rappel. Mais avec un trou sphérique au milieu d'une Terre sphérique, il n'y a pas de force gravitationnelle due à la Terre dans la cavité (un coup de théorème de Gauss pour s'en convaincre).


    Du coup le fond du puit est plat sur l'ensemble de la cavité.
    J'ai répondu un peu vite apparemment, bien sur que la gravité est nulle (comme le champ l'interieur d'une cavité dans un sphère chargée).

  14. #11
    PopolAuQuébec

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par bigarreau Voir le message
    moi je pense le contraire, l'equilibre est tres precaire, la bille est attirée par chaque point situé sur le demi rayon de la terre, si elle se rapproche à peine d'un de ces points elle ira inexorablement vers lui (à defaut de force contraire).
    Excellent point !

    En effet, en un premier temps, considérons la Terre comme ayant une symétrie sphérique parfaite et considérons la cavité comme ayant une forme sphérique parfaite. De plus, oublions la présence de la Lune, du Soleil, etc... Dans ces conditions, le champs gravitationnel à l'intérieur de la cavité est strictement nul (on laisse évidemment de côté le champ gravitationnel de la bille).

    Maintenant, ajoutons un petit défaut à la symétrie sphérique parfaite de la Terre: on place une certaine masse M en un endroit situé à une distance R du centre de masse de la Terre. Cette masse génère une accélération de pour la bille.

    On sait que la Terre n'a pas une symétrie sphérique parfaite et l'effet net de cette dissymétrie peut être grossièrement représentée par une telle masse située en quelque part à l'intérieur de la Terre. Soyons pessimiste et prenons et . On obtient alors pour l'accélération de la bille une valeur de , ce qui donne , si j'ai bien calculé, un temps de 75 minutes pour que la bille atteigne la paroi. La seule chose qui pourrait faire augmenter cette valeur est une valeur de M plus petite. Déjà à , c'est relativement petit pour la Terre qui est loin d'avoir une symétrie sphérique parfaite.

    Alors je vote entre 1 heure et 7 jours.

  15. #12
    bigarreau

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    Excellent point !
    merci du fond de mon centre de masse....mais ce n'est pas exactement ce que je voulais dire.

    prenons par exemple une cavité interne est si grande que la croute terrestre ne mesure plus qu'un metre (oui je sais c'est impossible), mais la terre a toujours sa masse M.
    et bien je pense que tous les points de la cavité ne sont pas de gravité nulle, et en fait seul le tout petit point central correspond à ce cas.
    bien sur une cavité de 100 m equivaut sensiblement à un tel point mais rigoureusement la moindre distance dx au point suffit à rompre l'équilibre.
    à moins que je ne me trompe...

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  17. #13
    PopolAuQuébec

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par bigarreau Voir le message
    merci du fond de mon centre de masse....mais ce n'est pas exactement ce que je voulais dire.
    Pas grave, ça m'a quand même donné l'idée

    Citation Envoyé par bigarreau Voir le message
    prenons par exemple une cavité interne est si grande que la croute terrestre ne mesure plus qu'un metre (oui je sais c'est impossible), mais la terre a toujours sa masse M.
    et bien je pense que tous les points de la cavité ne sont pas de gravité nulle, et en fait seul le tout petit point central correspond à ce cas.
    bien sur une cavité de 100 m equivaut sensiblement à un tel point mais rigoureusement la moindre distance dx au point suffit à rompre l'équilibre.
    à moins que je ne me trompe...
    Pour les forces centrales en , le champ dans une cavité sphérique située à l'intérieur d'une distribution de masse sphérique est nul, c'est un résultat qui se démontre mathématiquement.

    Amicalement

  18. #14
    bigarreau

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    tres bien c'est e que je voulais savoir.
    merci

  19. #15
    invité576543
    Invité

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    On sait que la Terre n'a pas une symétrie sphérique parfaite et l'effet net de cette dissymétrie peut être grossièrement représentée par une telle masse située en quelque part à l'intérieur de la Terre. Soyons pessimiste et prenons et . On obtient alors pour l'accélération de la bille une valeur de , ce qui donne , si j'ai bien calculé, un temps de 75 minutes pour que la bille atteigne la paroi. La seule chose qui pourrait faire augmenter cette valeur est une valeur de M plus petite. Déjà à , c'est relativement petit pour la Terre qui est loin d'avoir une symétrie sphérique parfaite.
    Bonsoir,

    J'ai des doutes sur ton calcul.

    L'intitulé n'est pas le centre d'une sphère qu'on peut déformer ensuite, mais le centre de masse. Faut prendre ta dissymétrie en compte et recalculer le centre de masse.

    Par ailleurs, je veux bien qu'autour du cdm le potentiel soit plat, mais je ne vois pas comment le cdm pourrait avoir un potentiel plus faible que son entourage.

    A mon avis, tout ce que tu as calculé, c'est l'accélération vers le centre de masse! Tu as juste fait tomber la bille au fond du potentiel, parce que tu ne l'y avais pas mis d'entrée...

    Cordialement,

  20. #16
    PopolAuQuébec

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Bonjour mmy,

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    L'intitulé n'est pas le centre d'une sphère qu'on peut déformer ensuite, mais le centre de masse. Faut prendre ta dissymétrie en compte et recalculer le centre de masse.
    Tout à fait, mais en bout de ligne ça ne fait pas de différence sur le résultat, voir ci-bas.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Par ailleurs, je veux bien qu'autour du cdm le potentiel soit plat, mais je ne vois pas comment le cdm pourrait avoir un potentiel plus faible que son entourage.

    A mon avis, tout ce que tu as calculé, c'est l'accélération vers le centre de masse! Tu as juste fait tomber la bille au fond du potentiel, parce que tu ne l'y avais pas mis d'entrée...
    Tu attribues au centre de masse des propriétés qu’il n’a pas: il n’y a généralement pas de puit de potentiel centré sur le centre de masse. En d’autres termes, le champ gravitationnel d’une distribution de masse à l’endroit du centre de masse de cette distribution n’est généralement pas nul. Je vais te fournir un contre-exemple simple à ton énoncé que le centre de masse est au fond d’un puit de potentiel.

    Prenons deux masses et placées sur l’axe des en et . Posons :






    et est un nombre positif non-nul quelconque.


    La position du centre de masse est donnée par :



    Choisissons l’origine de l’axe des de façon à ce que . On a alors :



    c’est-à-dire :



    Maintenant calculons le champ gravitationnel produit par ces deux masses en , c’est-à-dire en :



    Comme tu peux le constater, le champ gravitationnel au centre de masse de cette distribution de masse n’est généralement pas nul. Il n’est nul que dans le cas symétrique où .

    Maintenant, considérons le cas qui nous occupe. En un premier temps, prenons une Terre à symétrie sphérique : le centre de masse est situé au centre géométrique en et le champ gravitationnel en ce point est nul. Maintenant ajoutons deux masses et , avec , et plaçons-les de la même façon que ci-haut en faisant coincider le centre de masse du système formé de ces deux masses avec . De par la définition mathématique du centre de masse, il est facile de montrer que le centre de masse du système formé de la Terre sphérique et de ces deux masses est en . Le champ gravitationnel en est la somme de trois contributions : celui de la Terre sphérique, celui de la masse et celui de la masse . Le champ gravitationnel de la Terre sphérique en est nul et la somme des champs gravitationnels de et de est l’expression que j’ai donnée plus haut. Donc, à moins d’une erreur de calcul, le champ gravitationnel total en , c’est-à-dire au centre de masse de ce système, est non-nul.

    Amicalement

  21. #17
    invité576543
    Invité

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    Je vais te fournir un contre-exemple simple à ton énoncé que le centre de masse est au fond d’un puits de potentiel.
    Je me l'étais fait moi-même il y a longtemps. Mais tu prends une répartition des masses fortement bimodale.

    Maintenant, considérons le cas qui nous occupe. En un premier temps, prenons une Terre à symétrie sphérique : le centre de masse est situé au centre géométrique en et le champ gravitationnel en ce point est nul. Maintenant ajoutons deux masses et , avec , et plaçons-les de la même façon que ci-haut en faisant coincider le centre de masse du système formé de ces deux masses avec . De par la définition mathématique du centre de masse, il est facile de montrer que le centre de masse du système formé de la Terre sphérique et de ces deux masses est en . Le champ gravitationnel en est la somme de trois contributions : celui de la Terre sphérique, celui de la masse et celui de la masse . Le champ gravitationnel de la Terre sphérique en est nul et la somme des champs gravitationnels de et de est l’expression que j’ai donnée plus haut. Donc, à moins d’une erreur de calcul, le champ gravitationnel total en , c’est-à-dire au centre de masse de ce système, est non-nul.
    Bien d'accord.

    Maintenant on se trouve devant diverses approches plus ou moins contradictoires.

    Si la Terre était de symétrie sphérique parfaite, l'intérieur de la cavité serait de potentiel constant, nous dit-on.

    Par ailleurs, si elle n'est pas de symétrie sphérique, le cdm n'est pas nécessairement un minima de potentiel.

    OK.

    Maintenant, si elle n'est pas de symétrie sphérique, quel est la forme du potentiel dans la cavité?

    Il ne doit pas être constant. La question est alors si on peut dire quelque chose sur la forme du champ. Imaginons qu'il y ait un puits bien marqué à moins de 50 m, la bille va orbiter pendant très longtemps dans la cavité, non?

    Une première question serait la forme du potentiel dans le cas d'un ellipsoïde parfait. Il y a alors symétrie cylindrique, une solution envisageable serait un anneau de minima dans le plan équatorial. S'il fait moins de 50 m de rayon, la bille orbite.

    Y-a-t-il moyen de déterminer le potentiel dans ce cas?

    Cordialement,

  22. #18
    invité576543
    Invité

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Je reprend ton calcul:

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    On sait que la Terre n'a pas une symétrie sphérique parfaite et l'effet net de cette dissymétrie peut être grossièrement représentée par une telle masse située en quelque part à l'intérieur de la Terre. Soyons pessimiste et prenons et .
    La différence relative de moment d'inertie entre les deux axes équatoriaux est de l'ordre de 10-5. Le moment d'inertie d'une sphére étant de 2/5 MR², une masse de 10-6M en R modifie de 2.5 10-6 le moment d'inertie. Ta proposition a des chances d'être sous la réalité.

    Maintenant voyons le calcul, en prenant en compte le déplacement du centre de masse.

    Le centre de masse est déplacé de 10-6R vers la masse ajoutée.

    Si on considère le reste sphérique et homogène on applique Gauss; la masse centrale est de 10-18M, donnant une attraction de 10-18GM/(10-6R)², soit 10-6 GM/R².

    La masse rajoutée donne la même attraction, dans l'autre sens.

    Les deux s'annulent.

    On obtient donc un résultat différent de ce que tu proposais.

    J'ai sûrement dû me tromper quelque part, où?

    Cordialement,

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  24. #19
    PopolAuQuébec

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Je me l'étais fait moi-même il y a longtemps. Mais tu prends une répartition des masses fortement bimodale.
    Parce que c'est le cas le plus simple. Il suffit d'un cas où le champ gravitationnel n'est pas nul au centre de masse pour démontrer que la définition du centre de masse ne peut mener à la conclusion que le champ gravitationnel est nul en ce centre de masse. On pourrait démontrer la même chose pour 3,4,...,N particules.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Maintenant, si elle n'est pas de symétrie sphérique, quel est la forme du potentiel dans la cavité?

    Il ne doit pas être constant. La question est alors si on peut dire quelque chose sur la forme du champ.
    Tout dépend de la distribution exacte de la masse. Il faut faire le calcul exact, lequel sera passablement complexe dans le cas général.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Imaginons qu'il y ait un puits bien marqué à moins de 50 m, la bille va orbiter pendant très longtemps dans la cavité, non?
    Tout à fait. Mais ce puits bien marqué pourrait tout aussi bien se trouver à 10 km du centre de masse.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Une première question serait la forme du potentiel dans le cas d'un ellipsoïde parfait. Il y a alors symétrie cylindrique, une solution envisageable serait un anneau de minima dans le plan équatorial. S'il fait moins de 50 m de rayon, la bille orbite.

    Y-a-t-il moyen de déterminer le potentiel dans ce cas?
    Aussitôt qu'il y a symétrie sphérique ou axiale, il y a un puits de potentiel dont le centre est le centre géométrique de la Terre. Une bille située au centre de masse et initialement au repos restera au centre de masse.

    Amicalement

  25. #20
    invité576543
    Invité

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    (suite)

    Je pense que la gravité résiduelle dans ton exemple à 10-6 est 106 trop grande (pas le temps de refaire le calcul proprement).

    Ton 10-5 m/s² deviendrait 10-11 m/s², soit un temps 1000 fois plus grand.

    Et surtout on pourrait calculer la distance entre de cdm et le point de potentiel minima. Comme 10-6 du rayon terrestre ça fait déjà seulement 6 m, je pense que le delta de distance entre le cdm et le point minimal est très faible...

    Cordialement,

  26. #21
    invité576543
    Invité

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    (suite et fin)

    Je propose que soit fait le calcul exact de la distance cdm/puits, et de l'accélération résultante, avec comme modèle une sphère parfaite et homogène, plus une masse ponctuelle équatoriale de 4 10-6M, ce qui correspond à la différence entre les moments d'inertie tels que mesurés actuellement (sachant que la marge d'erreur est telle que ça pourrait être 0!).

    Cordialement,

  27. #22
    PopolAuQuébec

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    (suite et fin)

    Je propose que soit fait le calcul exact de la distance cdm/puits, et de l'accélération résultante, avec comme modèle une sphère parfaite et homogène, plus une masse ponctuelle équatoriale de 4 10-6M, ce qui correspond à la différence entre les moments d'inertie tels que mesurés actuellement (sachant que la marge d'erreur est telle que ça pourrait être 0!).

    Cordialement,
    En plaçant la masse additionnelle à la surface de la Terre, on tombe sur un cas limite et le champ gravitationnel résultant est effectivement beaucoup plus petit que celui que je donnais précédemment.

    Prenons donc un cas plus général et paramétré.

    On a la Terre sphérique. Prenons une masse , où est la masse de la Terre sphérique. Plaçons cette masse à une distance du centre de la Terre, étant le rayon terrestre. Le centre de masse du système se trouve déplacé à une distance du centre de la Terre donnée par:




    Le champ gravitationnel généré par la Terre sphérique en est:



    est la masse terrestre à l'intérieur de la sphère de rayon

    On a donc:




    Le champ gravitationnel généré par la masse en est:




    Le ratio est donc donné par :



    Lorsque l'on place la masse à la surface de la Terre, on a et donc effectivement les deux forces sont à peu près d'égale intensité et en direction opposée, ce qui donne quelque chose de beaucoup plus petit que la valeur que je donnais.

    Par contre, on peut donner à une quelconque valeur entre 0 et 1. Plus on prend petit plus le champ de la Terre est négligeable vis-à-vis celui généré par la masse et, de plus, la valeur de devient de plus en plus grande vis-à-vis de . Par exemple, si l'on prend , on a:



    et



    ce qui donne un champ gravitationnel net environ 4 fois plus grand que celui que je donnais précédemment.


    Si on prend la masse que tu proposes, à savoir 4 10-6M, et qu'on la place au milieu de l'intervalle ouvert ]0,R[ , soit en , on a donc pour le champ gravitationnel net :



    ce qui donne un temps approximatif de 19 minutes pour que la bille atteigne la paroi, soit un temps 4 fois plus court que celui que je donnais précédemment.


    Amicalement
    Dernière modification par PopolAuQuébec ; 22/04/2007 à 17h15.

  28. #23
    invité576543
    Invité

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    Si on prend la masse que tu proposes, à savoir 4 10-6M, et qu'on la place au milieu de l'intervalle ouvert ]0,R[ , soit en
    La valeur que je proposais est celle qui colle avec la différence des moments cinétique. Si la masse est à seulement R/2, il faut une masse 4 fois plus grande. Si on accepte ton calcul, ça fait fois plus, soit 6.4 10-4 m/s², soit un temps (si on suppose l'accélération constante) de 560 s.

    Mais il manque la distance entre le centre de masse et le minimum de potentiel...

    Amicalement,

  29. #24
    PopolAuQuébec

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    La valeur que je proposais est celle qui colle avec la différence des moments cinétique. Si la masse est à seulement R/2, il faut une masse 4 fois plus grande. Si on accepte ton calcul, ça fait fois plus, soit 6.4 10-4 m/s², soit un temps (si on suppose l'accélération constante) de 560 s.
    Effectivement, cela donnerait un temps deux fois plus petit pour que la bille atteigne la paroi.

    Par contre, il ne faut pas prendre un tel calcul trop au sérieux, même au niveau de l'ordre de grandeur. Le seul calcul vraiment fiable serait celui qui prendrait en compte une distribution de masse correspondant raisonnablement bien à la distribution de masse réelle à l'intérieur de la Terre.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Mais il manque la distance entre le centre de masse et le minimum de potentiel...
    Je vais le calculer et te reviendrai là-dessus.

    Amicalement

  30. Publicité
  31. #25
    PopolAuQuébec

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Salut,

    Le centre du puits de potentiel est défini par en ce point.

    Soit le centre du puits de potentiel.

    Le champ gravitationnel terrestre en ce point est donné par:



    et le champ gravitationnel généré par la masse en ce point est donné par:



    L'endroit ou les deux champs s'annulent est donc caractérisé par:



    c'est-à-dire:



    Évidemment ici, est beaucoup plus petit que . De plus et donc:



    c'est-à-dire:



    Donc la distance entre le cdm et le fond du puits est:



    Par conséquent, à moins d'une erreur d'analyse ou de calcul, la bille atteint la paroi en un temps un peu plus long que 560 secondes, mais ça demeure du même ordre de grandeur.

    Amicalement

  32. #26
    invité576543
    Invité

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    Donc la distance entre le cdm et le fond du puits est:



    Par conséquent, à moins d'une erreur d'analyse ou de calcul, la bille atteint la paroi en un temps un peu plus long que 560 secondes, mais ça demeure du même ordre de grandeur.
    Salut,

    Oui, mais cela veut dire que l'on est dans le même ordre de grandeur du cas où la bille orbite dans la cavité.

    J'ai pris 100 m de rayon au hasard. J'aurais pris 200 m de rayon, et la bille orbite dans la cavité sans toucher la paroi avec la configuration de masse proposée, non?

    ---

    En conclusion, l'argument de la non nullité de l'accélération de la gravitation de la Terre au centre de masse indique que la réponse à la question originale peut être, sur ce seul critère n'importe quoi entre quelques secondes et l'infini, selon la distribution de masse de la Terre. L'intitulé et les connaissances actuelles ne permettent pas de répondre.

    Aurais-je posé la question:

    "Est-il possible qui, dans les limites des incertitudes que l'on a actuellement sur la distribution des masses de la Terre, la bille reste pendant des mois dans une cavité de rayon 500 m?",

    que répondriez-vous?

    Autre question. Si on centre la cavité sur un minima de potentiel, cela va influer sur la différence d'accélération impartie par la gravité de la Lune et du Soleil. Mais cela peut amener un rayon d'orbite bien plus faible.

    Si on pose la question: "Est-il probable qu'il existe un point près du centre de la Terre tel qu'une bille au centre d'une cavité de 100 m de rayon y orbite sans toucher les parois pendant des mois?", que répondriez-vous?

    Amicalement,

  33. #27
    PopolAuQuébec

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Oui, mais cela veut dire que l'on est dans le même ordre de grandeur du cas où la bille orbite dans la cavité.

    J'ai pris 100 m de rayon au hasard. J'aurais pris 200 m de rayon, et la bille orbite dans la cavité sans toucher la paroi avec la configuration de masse proposée, non?
    Salut,

    Tout à fait. De la même façon j'aurais pu modéliser la non-symétrie sphérique d'une autre façon et on arriverait à un autre résultat.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    En conclusion, l'argument de la non nullité de l'accélération de la gravitation de la Terre au centre de masse indique que la réponse à la question originale peut être, sur ce seul critère n'importe quoi entre quelques secondes et l'infini, selon la distribution de masse de la Terre.
    Tout à fait. Pour une Terre à symétrie sphérique, la bille demeurera toujours au centre de masse. Pour une Terre suffisamment "anarchique", la bille atteindra la paroi en un temps aussi court que l'on veut.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    L'intitulé et les connaissances actuelles ne permettent pas de répondre.
    Même si on connaissait la distribution exacte de la masse à l'intérieur de la Terre, ce ne serait pas de la tarte à calculer.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Aurais-je posé la question:

    "Est-il possible qui, dans les limites des incertitudes que l'on a actuellement sur la distribution des masses de la Terre, la bille reste pendant des mois dans une cavité de rayon 500 m?",

    que répondriez-vous?
    Pour ma part, je répondrais oui: c'est possible, mais ce n'est pas certain.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Autre question. Si on centre la cavité sur un minima de potentiel, cela va influer sur la différence d'accélération impartie par la gravité de la Lune et du Soleil. Mais cela peut amener un rayon d'orbite bien plus faible.

    Si on pose la question: "Est-il probable qu'il existe un point près du centre de la Terre tel qu'une bille au centre d'une cavité de 100 m de rayon y orbite sans toucher les parois pendant des mois?", que répondriez-vous?
    Étant donné que la Terre n'est pas très loin de la symétrie sphérique, il y a presque surement un puits de potentiel centré sur un point passablement voisin du centre de masse de la Terre. Si on néglige les champs du Soleil et de la Lune, une bille placée en ce point avec une vitesse initiale nulle y restera indéfiniment au repos.

    Amicalement

  34. #28
    pmdec

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Bonjour,
    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Si on pose la question: "Est-il probable qu'il existe un point près du centre de la Terre tel qu'une bille au centre d'une cavité de 100 m de rayon y orbite sans toucher les parois pendant des mois?", que répondriez-vous?
    Ma réponse serait que ça dépend des variations de l'orbite terrestre non dépendantes de l'influence gravitationelle des autres corps :

    Après avoir lu les différents posts, je me suis demandé, au-delà des problèmes liés à l’hétérogénéité de la Terre, quelles pouvaient être les causes qui pouvaient agir sur l’orbite terrestre sans affecter la bille, et qui donc pouvaient amener un déplacement relatif de la bille dans la cavité :

    A mon avis, tous les effets gravitationnels sur la Terre affectent aussi la bille, donc pas de mouvement relatif de la bille par rapport à la Terre.

    Reste … le reste (chutes de météorites, pressions de rayonnement, …). J’ai donc cherché (sur Internet) des données sur les changements de l’orbite terrestre. Et je n’ai rien trouvé d’extra-gravitationnel en ce qui concerne l’orbite (alors qu’on trouve facilement des données sur la variation de la durée du jour due aux marées, tempêtes et autres tremblements de terre).

    J’ai donc posé la question sur un site d’astronomie et j’ai reçu la réponse aujourd’hui.
    Elle semble donner raison à ceux qui ont choisi une très grande stabilité de la bille, même en l’absence de tout effet de rappel (cad si la gravité d’origine terrestre dans une cavité sphérique centrée sur le centre de gravité terrestre est bien nulle) : avec une variation estimée du rayon de l’orbite terrestre de l’ordre du kilomètre par 5000 ans, le temps de rencontre de la bille avec la paroi devrait être, effectivement, supérieur à 10 ans (Terre sphérique et distribution de masse régulière).

    Question et réponse obtenue du site http://astro.cornell.edu :

    "Hello,

    I am questioning about the Earth orbit : Is it stable ? My question is not about orbit eccentricity, but about the average distance from the Sun :

    As the Earth's rotation is slowly slowing down, the Moon is slowly getting further away because of interactions between the two. OK, but is it the same "thing" for the Earth and Sun ?

    And there is also the added mass from falling asteroids.
    And the action of the "light pressure" (I don't know the exact English word for this), And so on ...

    All these phenomenas have to make the earth orbit change ! Is this measurable ? Is the average distance varying by millimeter, by meter or by kilometer each year ?

    Sorry for my bad English ... and for the length of the question, but after many researches I found nothing on this on the web.

    So, thank you by advance for your answer,
    PM D[nom supprimé pour le forum futura] (France)

    Background [demandé par le site]: Curious person, archaeologist (just for the study level : I'am not making a "new theory" on something !!!).

    ANSWER :

    Dear Curious,

    The effects you mention do indeed change the Earth's orbit. However the largest changes are due to the gravity of other planets, mostly Jupiter.

    These changes are orders of magnitude larger than the ones you list. As the changes in the earth's orbit are random they don't add up and over the millennia the Earth's orbit doesn't change much (on the order of plus/minus 1km/5000 years). The Sun will have reached the end of its lifetime before the Earth's orbital changes become relevant.

    Regards

    Marc Berthoud"

  35. #29
    sitalgo

    Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Bonsoir,

    Je n'avais jamais vu ce fil, j'étais à l'hosto à ce moment-là.
    Pour moi la bille est en équilibre instable au même titre qu'un crayon vertical ou un bout de feraille entre deux aimants.

    Sans trop vouloir répéter ce qui a déjà été dit, le centre gravitationnel de la terre est une résultante située au centre de la terre, mais la cavité n'est source d'aucune gravitation. Les forces de gravitation commencent depuis la paroi de cette cavité jusqu'à la croute terrestre. La bille sera donc attirée par la paroi.

    En imaginant une planète torique, si on lâche un objet loin et dans l'axe (de révolution) du tore, dans un premier temps l'objet est attiré par le centre de gravitation du tore. Il pourra même passer à l'intérieur du tore mais au final il finira sur la planète, car c'est la matière qui attire.
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  36. #30
    pmdec

    Wink Re : Bille au centre de la terre, épisode 2

    Bonsoir,
    Citation Envoyé par sitalgo Voir le message
    .../...
    Pour moi la bille est en équilibre instable au même titre qu'un crayon vertical ou un bout de feraille entre deux aimants. .../...
    A lire cette page :
    http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...ell2.html#wtls
    il me semble qu'on peut en déduire que la gravité à l'intérieur d'une masse uniforme est partout 0.
    Si la gravité dans une mine sur (plutôt sous !) Terre n'est pas nulle, c'est parce que la distribution des masses n'est pas uniforme : le noyau est plus dense que la croûte.
    Cependant, si la distribution des masses composant la Terre était parfaitement "concentrique", il me semble que cette "nullité" serait atteinte au centre, en particulier dans une cavité sphérique centrée sur le centre de masse, et ceci quelle que soit la taille de la cavité : la gravité serait partout nulle dans cette cavité (quand on se rapproche de la paroi, l'influence de la partie dont on se rapproche augmente, mais la masse de cette partie est plus petite, et il y a parfaite "compensation"). C'est du moins ce que j'ai compris sur la page citée au début de ce post.
    L'équilibre n'est donc pas instable au centre de la cavité, il est indifférent partout.
    MAIS la distribution des masses de la Terre n'a pas de symétrie sphérique comme indiqué plus haut dans ce fil (ou dans sa première partie : http://forums.futura-sciences.com/thread141350.html ).

    PS : cet "gravité nulle" à l'intérieur de toute sphère homogène m'interpelle, par ailleurs, en ce qui concerne les "effondrements gravifiques" : il faut qu'il y ait un gradient de densité dès le départ.

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