Bille au centre de la Terre

[invité576543]

Bonjour,

Imaginons un creux autour du centre de masse de la Terre. Dans cette cavité se trouve une bille. A un moment donné, le centre de masse de la bille et le centre de masse de la Terre coïncident parfaitement, et leurs vitesses sont strictement identiques.

Quelle est la trajectoire de la bille juste après ce moment:

1/ Elle reste au centre de la Terre

2/ Elle va se coller sur une paroi avec une accélération commensurable avec la valeur des forces de gravitation dues à la Lune et au Soleil

Cordialement,
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[tim63]

Je penche vers la deuxieme solution. L'attraction de la terre sera nulle, elle sera donc attirée par d'autres astres et planetes (lune et soleil entre autres).
Ca m'interesse, si vous avez des arguments... Ne faites pas que repondre au sondage!

[invitefa5fd80c]

2/ Elle va se coller sur une paroi avec une accélération commensurable avec la valeur des forces de gravitation dues à la Lune et au Soleil

Salut,

Une petite précision sur ma réponse. Rigoureusement parlant la réponse est "Autre". Pour connaître l'accélération de la bille relativement au centre de masse de la Terre, il faut connaître la densité de masse en chaque point de la Terre et la distance entre le centre de masse de la Terre et le centre de masse de la Lune ainsi que la distance entre centre de masse de la Terre et le centre de masse du Soleil.

Amicalement

[gatsu]

Salut,

Au début j'aurais dit comme tim63 mais en fait (la réponse exacte etant selon moi celle de PopolAuQuébec évidemment ), mais si on regarde le problème académique disons, avec une Terre à symétrie sphérique en interaction avec des astres comme la Lune et le Soleil, je pense que la bille reste au centre de la Terre puisque le mouvement de la Terre est lui même dû à l'interaction avec la Lune et le Soleil, il n'y a donc pas de raison pour que la bille ne suive pas le mouvement de la Terre une fois au centre non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Bonjour,

Je précise un point.

On accepte l'approximation que le centre de masse de la Terre reste à l'intérieur de la cavité.

La question porte sur le mouvement relatif des deux centres de masse, pas sur le mouvement du centre de masse de la Terre par rapport à la cavité.

La première réponse correspond à dire que les trajectoires des deux centres de masse coïncident.

La seconde correspond à dire que l'attraction du Soleil et de la Lune va rapidement faire diverger les trajectoires des deux centres de masse.

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

La seconde correspond à dire que l'attraction du Soleil et de la Lune va rapidement faire diverger les trajectoires des deux centres de masse.

Salut,

Alors, dans ce cas, la réponse rigoureuse est 2, à moins que j'aie fait une grossière erreur d'analyse. Ça m'arrive comme à n'importe qui d'autre

Amicalement

[invité576543]

Sinon, oui, évidemment la réponse correcte est la troisième si on regarde sur une durée infinie, je l'ai ajoutée pour cela!

Il est clair que le moindre choc d'une poussière interplanétaire (étoile filante) sera suffisant pour faire dévier les deux trajectoires.

Mais l'approche de gatsu est la bonne. Regardons le problème ordre par ordre, en "composantes principales", avant de faire dégénérer la discussion en effets en pinaillage sur les effets du cinquième ordre.

Une manière de voir les choses est de quantifier la question. Par exemple en proposant une durée au bout de laquelle les trajectoires divergent significativement.

Pour moi la réponse est la première, parce que pour une durée raisonnable, par exemple le mois (durée de la révolution lunaire, durée significative s'il y a un effet de la Lune donc dépendant de la position de la Lune), on n'observera pas de divergence significative.

Cordialement,

[invité576543]

Alors, dans ce cas, la réponse rigoureuse est 2

Pourquoi?

Si on applique scolairement le PFD, la divergence entre les deux trajectoires est déterminée par la différences des forces s'exerçant sur les deux centres de masse.

Si les trajectoires divergent, il faut que la différence soit non nulle. Quelles sont les forces qui introduisent la différence?

Où alors, c'est que l'approche scolaire du PFD est insuffisante. Si c'est ce que tu penses, pourrais-tu développer?

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

(la réponse exacte etant selon moi celle de PopolAuQuébec évidemment )

Salut,

Si tu m'avais vu me planter dans un mémorable fil sur la matière noire, tu ne dirais pas "évidemment"

[bigarreau]

bonjour,
moi je penche pour la 2, meme qu'une fois collée a la paroi, si on enleve la lune et le soleil elle reste collée là où elle était. Mais la probabilitéque je me plante n'est toutefois pas négligeable.

[mariposa]

Bonjour,

Imaginons un creux autour du centre de masse de la Terre. Dans cette cavité se trouve une bille. A un moment donné, le centre de masse de la bille et le centre de masse de la Terre coïncident parfaitement, et leurs vitesses sont strictement identiques.

Quelle est la trajectoire de la bille juste après ce moment:

1/ Elle reste au centre de la Terre

2/ Elle va se coller sur une paroi avec une accélération commensurable avec la valeur des forces de gravitation dues à la Lune et au Soleil

Cordialement,

.
Bonjour,

Appliquons la loi fondamentale de la dynamique:

...m.dv/dt = FL +FT

m masse du corps d'épreuve.

FL force du a la Lune . FT force du a la Terre.

Dans l'hypothèse où la Terre est sphérique la force du à la Terre est nulle (théorème de Gauss). Reste la contribution gravitationnelle de la Lune:

FL = G.m.ML/R2

où ML est la masse de la Lune.

R = distance centre Terre-centre Lune. (On a fait l'approximation de la Lune ponctuelle en supposant celle-ci sphérique-thèoréme de Gauss).
.
Il reste:

....dv/dt = G.ML/R2

Le trou central est très petit devant R que l'on peut considérer comme constant.L'accélération est uniforme.

on a donc un problème classique de la chute libre d'un objet sur la Lune où la gravité lunaire est calculée au centre de la Terre.
.
Remarque 1.
.
Si on tiend compte du soleil il faut d'abord faire la somme géométrique des forces de la Lune et du soleil.

Remarque 2.
.
Si la Terre n'est pas ronde et inhomogène, ce qui est rigoureusement le cas la force de la Terre s'écrit:

F= F° + (dF/dr)dr + ...

Dans ce cas on suppose que la masse test est dans un minimum de potentiel qui existe toujours. Dans ce cas F° =0 et il ya une petite contribution de (dF/dr)dr à tenir compte qui s'ajoute géométriquement à la contribution lunaire.

[mariposa]

je pense que la bille reste au centre de la Terre puisque le mouvement de la Terre est lui même dû à l'interaction avec la Lune et le Soleil, il n'y a donc pas de raison pour que la bille ne suive pas le mouvement de la Terre une fois au centre non?

.
Bonjour,
.
il y a 2 choses qui se découplent à l'ordre zéro: Les trajectoires des planètes et les mouvements internes des planètes.
.
le calcul des trajectoires des planètes en interaction se fait en réduisant chaque planète a son centre de gravité. Remarque, c'est déjà un problème à N corps
.
Les mouvements internes des planètes tels que les mouvements de l'atmosphère et la dynamique géophysique se déroulent indépendamment des trajectoires de leur centre de gravité. Du point de vue gravitationnel une planète évolue pour diminuer son énergie potentielle, c'est la raison pour laquelle il y a une stratification en couches de celle-ci.

La bille au centre est bien évidemment dans une situation instable parceque elle a interet a se coller contre la paroi pour diminuer le potentiel gravitationnel total Terre-Lune. Bien entendu ce petit gain de potentiel s'évacuera en chaleur (c'est pour le principe). A noter que le déplacement de la bille laisse inchanger le centre de gravité de la Terre et donc son mouvement relatif aux autres planètes.
.
en bref le mouvement de la bille n'est qu'une réorganisation interne de la Terre au même titre qu'un mouvement quelconque de convection de matière.

[invitefa5fd80c]

Pourquoi?

Si on applique scolairement le PFD, la divergence entre les deux trajectoires est déterminée par la différences des forces s'exerçant sur les deux centres de masse.

Si les trajectoires divergent, il faut que la différence soit non nulle. Quelles sont les forces qui introduisent la différence?

Où alors, c'est que l'approche scolaire du PFD est insuffisante. Si c'est ce que tu penses, pourrais-tu développer?

Cordialement,

Salut,

Pour que la réponse soit 1, il faut que tous les corps impliqués soient à symétrie sphérique, ce qui n'est évidemment pas le cas.

Amicalement

[invité576543]

Bonjour,

Les raisonnements proposés sont pour pour moi équivalent à dire que, si "la Terre n'est pas ronde et inhomogène", alors la gravité de la Lune n'a pas le même effet que si elle s'appliquait à une masse ponctuelle située au centre de masse de la Terre.

Dans ce cas, quelle est la définition du concept de "centre de masse" d'un solide?

Cordialement,

[invité576543]

Bonjour,

Comme il y a une majorité pour 2), il me semble utile de passer au cran d'après, de faire de la vraie physique, et de quantifier le phénomène.

La question est donc, et elle s'adresse à ceux ayant voté 2, de donner une borne inférieure à l'intensité de l'accélération relative des deux centres de masse, en la justifiant. Il s'agit évidemment de fournir une valeur chiffrée, pas d'une vague formule.

C'est seulement avec un tel chiffre qu'on pourra distinguer un pinaillage au x-ième ordre d'un phénomène significatif.

Accessoirement cela permettra de comprendre l'origine de cette accélération relative, et comment cela s'applique, ou pas, à l'intérieur du Soleil, d'un astéroïde, d'une station spatiale, ou d'un accéléromètre en orbite.

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Dans ce cas, quelle est la définition du concept de "centre de masse" d'un solide?

Salut,

Le centre de masse est une définition purement mathématique. Il ne désigne pas un objet physique mais un point imaginaire.

Amicalement

[invité576543]

Le centre de masse est une définition purement mathématique. Il ne désigne pas un objet physique mais un point imaginaire.

Tu peux dire cela de tout en physique.

La notion de centre de masse est définie dans des tas de bouquins et cours élémentaires de mécanique. Pas très usuel pour un truc "purement mathématique".

Maintenant, si jamais tu as raison, tu n'aurais pas dû répondre au sondage. Regarde le premier message, il ne parle que de centres de masse. Comment as-tu pu répondre à une question qui ne porte que sur des points imaginaires?

Tu aurais dû répondre "Le problème que tu poses n'a pas de sens, la notion de centre de masse de la Terre est une notion purement mathématique. Cela ne désigne qu'un point imaginaire, et on ne peut donc pas faire une cavité autour d'un point imaginaire".

Cordialement,

[mariposa]

Bonjour,

Comme il y a une majorité pour 2), il me semble utile de passer au cran d'après, de faire de la vraie physique, et de quantifier le phénomène.

La question est donc, et elle s'adresse à ceux ayant voté 2, de donner une borne inférieure à l'intensité de l'accélération relative des deux centres de masse, en la justifiant. Il s'agit évidemment de fournir une valeur chiffrée, pas d'une vague formule.

C'est seulement avec un tel chiffre qu'on pourra distinguer un pinaillage au x-ième ordre d'un phénomène significatif.

Accessoirement cela permettra de comprendre l'origine de cette accélération relative, et comment cela s'applique, ou pas, à l'intérieur du Soleil, d'un astéroïde, d'une station spatiale, ou d'un accéléromètre en orbite.

Cordialement,

L'accélération c'est G.ML/R2
.
Comme je n'ai pas de calculette,je suppose que: les rapports de masse entre Terre et Lune est 50, le rapport entre la distance Terre-Lune et le rayon de la Terre 30, je trouve sauf erreur stupide de calcul:

200 µm/s2

[invitefa5fd80c]

Tu peux dire cela de tout en physique.

Pas vraiment. Je peux te montrer une photo de la Terre, mais pas une photo du "centre de masse" de la Terre.

La notion de centre de masse est définie dans des tas de bouquins et cours élémentaires de mécanique. Pas très usuel pour un truc "purement mathématique".

La physique regorge de notions qui sont des définitions mathématiques: centre de masse, moment d'inertie, etc... En termes imagés, il y a le territoire et il y a la carte du territoire.

Maintenant, si jamais tu as raison, tu n'aurais pas dû répondre au sondage. Regarde le premier message, il ne parle que de centres de masse. Comment as-tu pu répondre à une question qui ne porte que sur des points imaginaires?

Tu aurais dû répondre "Le problème que tu poses n'a pas de sens, la notion de centre de masse de la Terre est une notion purement mathématique. Cela ne désigne qu'un point imaginaire, et on ne peut donc pas faire une cavité autour d'un point imaginaire".

Pas du tout. Si tu avais demandé une photo d'un centre de masse, j'aurais pû donner cette réponse. Mais le problème que tu posais était un problème qui se pose très bien dans le cadre du formalisme de la physique, lequel fait intervenir des notions qui n'ont souvent qu'un sens mathématique.

Amicalement

[invité576543]

L'accélération c'est G.ML/R2
.
Comme je n'ai pas de calculette,je suppose que: les rapports de masse entre Terre et Lune est 50, le rapport entre la distance Terre-Lune et le rayon de la Terre 30, je trouve sauf erreur stupide de calcul:

200 µm/s2

Pourrais tu préciser ce que représentent M, L et R?

Au cas où ce n'était pas clair la question portait sur l'accélération relative entre le cdm de la Terre et le cdm de la bille, c'est à dire la différence entre les deux accélérations, dans, disons, le référentiel galactique ne tournant pas par rappport aux astres lointains.

Cordialement,

[invité576543]

Pas du tout. Si tu avais demandé une photo d'un centre de masse, j'aurais pû donner cette réponse. Mais le problème que tu posais était un problème qui se pose très bien dans le cadre du formalisme de la physique, lequel fait intervenir des notions qui n'ont souvent qu'un sens mathématique.

Alors ma question reste. Que comprends-tu quand on dit "faire une cavité autour du centre de masse de la Terre"? Comme comprends-tu comment on ferait cela en pratique, ce qui demande bien une compréhension pratique, physique, de l'expression "centre de masse", non?

Cordialement,

[invité576543]

Sinon, je suis surpris par le chiffre de Mariposa.

La constante gravitationnelle lunaire est de l'ordre de 5 10¹² m³/s². A une distance de 384000000 m, cela donne comme accélération due à la gravité lunaire (et s'appliquant aussi bien à la Terre qu'à la bille) de

5 10¹²/(384000000)² = 33 µm/s²

J'ai du mal à comprendre comme la différence entre les accélérations serait 6 fois supérieure à l'accélération elle-même.

Mais il y a peut-être une erreur dans mon calcul...

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Alors ma question reste. Que comprends-tu quand on dit "faire une cavité autour du centre de masse de la Terre"? Comme comprends-tu comment on ferait cela en pratique, ce qui demande bien une compréhension pratique, physique, de l'expression "centre de masse", non?

On ne trouve pas le centre de masse de la Terre de la même façon que l'on trouve ses clefs. On ne peut trouver ce centre de masse qu'en effectuant des calculs basés sur la connaissance de la densité de masse en chaque point à l'intérieur de la Terre. On obtient alors les coordonnées de ce point.

Amicalement

[mariposa]

Pourrais tu préciser ce que représentent M, L et R?

ML c'est la masse de la Lune.
R c'est la distance Terre-Lune (au sens des centres de gravité).

Au cas où ce n'était pas clair la question portait sur l'accélération relative entre le cdm de la Terre et le cdm de la bille, c'est à dire la différence entre les deux accélérations, dans, disons, le référentiel galactique ne tournant pas par rappport aux astres lointains.

Cordialement,

Oui c'est bien çà. Autrement dit j'ai calculé l'accélération à laquelle la bille se dirige vers la paroi interne de la cavité interne à la Terre..

[bigarreau]

Sinon, je suis surpris par le chiffre de Mariposa.

5 10¹²/(384000000)² = 33 µm/s²

Cordialement,

oui je trouve pareil

[bigarreau]

Au cas où ce n'était pas clair la question portait sur l'accélération relative entre le cdm de la Terre et le cdm de la bille, c'est à dire la différence entre les deux accélérations, dans, disons, le référentiel galactique ne tournant pas par rappport aux astres lointains.

Cordialement,

pour ça il faut la distance entre les deux cdm, non.?

[mariposa]

Sinon, je suis surpris par le chiffre de Mariposa.

La constante gravitationnelle lunaire est de l'ordre de 5 10¹² m³/s². A une distance de 384000000 m, cela donne comme accélération due à la gravité lunaire (et s'appliquant aussi bien à la Terre qu'à la bille) de

5 10¹²/(384000000)² = 33 µm/s²

J'ai du mal à comprendre comme la différence entre les accélérations serait 6 fois supérieure à l'accélération elle-même.

Mais il y a peut-être une erreur dans mon calcul...

Cordialement,

.
Ton calcul est probablement excate. Dans mon calcul pifométrique j'avais pris comme distance Terre-Lune 150 000 km. Donc il faudrait diviser mon chiffre par 3.8/1.5 au carré qui donne 6.4 et qui donne un chiffre tres proche du tien. Donc je retiens comme accélération 33 µm/s2.

[invité576543]

Bon. Selon ce calcul, et mon interprétation, l'accélération du cdm de la Terre due à la gravitation lunaire est 33 µm/s², et l'accélération du cdm de la bille due à la gravitation lunaire est aussi de 33 µm/s². Comme ils sont coïncidents, la direction de l'accélération est la même, différence 0 µm/s².

Faut passer à une formule plus subtile pour montrer une différence non nulle.

Quelle formule? Quelle valeur de borne inférieure pour la différence?

Cordialement,

[bigarreau]

y' a pas de difference significative (une extremement faible quand meme), l'un est plus mobile que l'autre, mais ça n'engage que moi...

[mariposa]

Bon. Selon ce calcul, et mon interprétation, l'accélération du cdm de la Terre due à la gravitation lunaire est 33 µm/s², et l'accélération du cdm de la bille due à la gravitation lunaire est aussi de 33 µm/s². Comme ils sont coïncidents, la direction de l'accélération est la même, différence 0 µm/s².

Faut passer à une formule plus subtile pour montrer une différence non nulle.

Quelle formule? Quelle valeur de borne inférieure pour la différence?

Cordialement,

Je crois comprends ton raisonnement. Tu dis que les différences d'accélération sont nulles, ce sur quoi je suis à 100% d'accord (je retiens pratiquement ton chiffre de 33µm/s2) et en conséquences de quoi la bille reste au centre puisque les accélérations relatives sont nulles. Je croit comprendre que d'autres ont du faire le même raisonnement.
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Maintenant ce que je conclue est différent.

En effet, bien que la Terre subisse une accélération centrale vers la Lune il n'en reste pas moins vrai que la distance Terre-Lune ne change pas (pour simplifier le raisonnement je suppose des orbites circulaires). Ceci est bien entendu du au fait que la Terre possède une vitesse tangentielle non nulle.
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La bille qui subit la même accélération que la Terre a comme propriété de n'être pas solidaire de la Terre, ce qui change tout. En effet dans ce cas son accélération (au sens d'une force) va se transformer en mouvement accéléré vers la Lune jusqu'a toucher la paroi interne de la cavité. A partir de ce moment là elle deviendra complétement solidaire de la Terre et toutes les parties solidaires voisines d'un point de la Terre subissent de la part de la Lune la même force (même accélération).