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[QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase



  1. #1
    Gwyddon

    [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase


    ------

    Bonjour tout le monde,

    Voilà dans un calcul je suis un peu perdu, et j'ai besoin de vos lumières.

    Je donne la référence : "Introduction to Quantum Field Theory", Peskin&Schroeder, p163.

    On étudie le processus (effet Compton) et on calcule au niveau de l'arbre la section efficace.

    Mes notations : dans le réf du labo, le moment de l'électron avant collision est , du photon ; après collision pour le photon, pour l'électron.

    Le calcul de la matrice M : aucun problème (mais c'est super long et lourd !)

    Le calcul de l'élement d'intégrale d'espace des phases : il y a un bug chez moi

    Je dois calculer



    L'intégration sur se passe très bien. Mais ensuite, ça se gâte.. En effet j'ai et



    J'ai ensuite

    Et après je ne vois pas comment il trouve




    J'ai plutôt



    Quid ?

    Merci d'avance

    -----
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  2. #2
    Karibou Blanc

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    en utilisant :




    ca devrait marcher non ?

    ton argument dans le delta n'a qu'un pole simple, apres il doit falloir tripatouiller les variations qui sont reliées entre elles par la conservation de la quantité de mouvement. Je pense qu'il faut éliminer la masse notamment.
    Well, life is tough and then you graduate !

  3. #3
    Gwyddon

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    Ah cool, je ne ne souvenais plus de cette formule

    Bon je vais voir ça.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  4. #4
    Gwyddon

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    C'est ça, tout simplement

    Merci Karibou


    EDIT : en fait je n'avais même jamais vu cette formule...
    Dernière modification par Gwyddon ; 15/05/2007 à 21h13.
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  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Gwyddon

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    Salut

    Désolé pour ces suites de posts, mais j'ai encore une question : quelqu'un pourrait me fournir un lien où l'on démontre la formule donnée par Karibou ? J'ai essayé de le faire, et ça ne marche pas trop mal avec des polynômes (via changements de variables, découpage de l'intégrale sur les fonctions tests, etc..), puis on étend ça à des fonctions dérivables à support compact via Weierstrass, mais de façon générale, ça me semble dur...
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  7. #6
    Thwarn

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    Ca se trouve dans le Walter Appel ("Mathematiques pour la physique et les physiciens!", mais je pense que tu le connais ), Théorème 7.45, p. 165.

    Peut-etre que ce sera pas assez détaillé pour toi

  8. #7
    PopolAuQuébec

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Désolé pour ces suites de posts, mais j'ai encore une question : quelqu'un pourrait me fournir un lien où l'on démontre la formule donnée par Karibou ? J'ai essayé de le faire, et ça ne marche pas trop mal avec des polynômes (via changements de variables, découpage de l'intégrale sur les fonctions tests, etc..), puis on étend ça à des fonctions dérivables à support compact via Weierstrass, mais de façon générale, ça me semble dur...
    Salut,

    À moins que j'aie loupé quelque chose, la preuve est relativement simple.

    Tout d'abord prenons une fonction continue et dérivable ayant une racine unique dans l'intervalle . On supposera ici que possède une fonction inverse sur l'intervalle ; dans le cas contraire on remplace cet intervalle par une réunion d'intervalles convenablement choisis (la preuve est alors simplement un peu plus longue à écrire).

    Considérons l'intégrale :



    On pose :

    On a alors

    L'intégrale s'écrit alors:



    Étant donné que , alors si et si . Ceci entraîne que l'on doit prendre la valeur absolue de dans le résultat final qui est :




    Si a pôles dans l'intervalle , alors on introduis valeurs de , soit , et on décompose l'intégrale en intégrales, une pour chaque sous-intervalle ainsi défini. Le résultat est à toutes fins pratiques immédiat.


    À part quelques points de rigueur, ai-je loupé quelque chose ?

  9. #8
    Gwyddon

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    Bah le problème c'est que généralement une distribution de Dirac se définit comme agissant sur des fonctions tests qui sont L1, ie intégrable (ici) sur IR et non pas seulement sur un segment

    Bien sûr ta démo est très bien pour des fonctions dérivables sur segment (tout comme je l'ai faite via Weierstrass), mais au-delà...

    Ceci dit, on pourra arguer que je recherche trop de rigueur pour un problème physique (mais c'est ça les théoriciens, toujours à chercher la rigueur là où l'on en a pas besoin )

    Ceci dit merci pour ta réponse ainsi que celle de Thwarn
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  10. #9
    invite54165721

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    Bonjour,

    Il n'y a pas de restriction de généralité dans ce que dit PopolAuQuebec.
    Les fonctions de test pour sont les mêmes que pour , simplement on peut donner un sens à la notation pour certaines fonctions g(x).
    Je ne suis pas sur, par exemple, que ait un sens (par contre est très souvent utilisé)

  11. #10
    Gwyddon

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    Bonjour,

    Je ne comprend pas ton intervention par rapport à mon discours. Pour moi une distribution est définie via des fonctions tests qui sont L1, quelle que soit la distribution envisagée. C'est sur ce point que je tique sur la démo de Popol.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #11
    invite54165721

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    Dans le rappel de Karibou Blanc on voit bien que l'on parle des poles de g, des dérivées de g et pas du tout des fonctions test.
    Au départ n'est qu'une notation, pas une distribution dont on peut examiner les propriétés.
    pour certaines fonctions g(x), par exemple pour des polynomes, le deuxième terme de KB est bien défini (c'est une somme finie de distributions de dirac)
    c'est une distribution sur les memes fontions de test que celles sur les quelles opèrent les . la notation est alors par définition cette distribution.

    PopomAuQuebec montre que la notation est cohérente pour certaines fonctions g: celles avec un nombre fini de poles, avec g' non nul en ces points etc. pour ces g on a bien affaire à une distribution et ceci sans restriction sur les fonctions de test.

    Des vrais matheux s'exprimeraient sans doute mieux que moi!

  13. #12
    Gwyddon

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    En fait tu ne vois pas de quoi je parle, je me suis mal exprimé. Quand je parle de fonction test, je ne parle pas de la fonction g, je parle des fonctions sur lesquelles agit la distribution ; et Popol ne m'a absolument pas montré la validité de l'égalité, puisque encore une fois il s'est limité à des fonctions à support compact.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #13
    Rincevent

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    encore une fois il s'est limité à des fonctions à support compact.
    dans mes souvenirs l'espace des fonctions tests était construit à l'aide de fonctions à support compact... ma mémoire me joue des tours ?
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  15. #14
    Gwyddon

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    Et voilà... Ou comment dire de la merde en boîte

    Effectivement les fonctions test sont à support compact, qui de toute façon est un ensemble dense dans L1..

    Désolé Popol et alovesupreme, merci Rincevent
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  16. #15
    invite54165721

    Re : [QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

    Bonjour,

    Je me suis replongé dans un livre sur les distributions.

    Il y a en fait plusieurs types de distributions en rapport avec le type d’espace de tests sur lesquelles elles opèrent..
    Il y celles liées à fonctions indéfiniment dérivables définies sur R
    Celles liées à des fonctions à support compact. et celles liées à des fonctions à décroissances rapide.

    Pour des distributions U à support K compact comme celles dont on parlait, on part de fonctions de test donc définies sur R, et on se ramène à celles à support compact:
    L’action de U sur est égale à est une fonction à support compact [a b] avec indefiniment dérivable, valant 1 sur K, nulle en a et b et dont la dérivée est nulle en a et b et sur K.
    On la note donc naturellement


    La notation utilisée par PopolAuQuebeck ne sous entend donc pas que la fonctions de test soit à support compact.
    On peut donc(et c'est heureux) utiliser dans ces calculs avec des fonctions de dirac, des fonctions du type définies sur R.

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