[QFT] Effet Compton, calcul de l'intégrale de l'espace des phase

**invite9c9b9968** · 15/05/2007, 20h32

Bonjour tout le monde,

Voilà dans un calcul je suis un peu perdu, et j'ai besoin de vos lumières.

Je donne la référence : "Introduction to Quantum Field Theory", Peskin&Schroeder, p163.

On étudie le processus $\text{[math]}$ (effet Compton) et on calcule au niveau de l'arbre la section efficace.

Mes notations : dans le réf du labo, le moment de l'électron avant collision est $\text{[math]}$ , du photon $\text{[math]}$ ; après collision $\text{[math]}$ pour le photon, $\text{[math]}$ pour l'électron.

Le calcul de la matrice M : aucun problème (mais c'est super long et lourd !)

Le calcul de l'élement d'intégrale d'espace des phases : il y a un bug chez moi

Je dois calculer

$\text{[math]}$

L'intégration sur $\text{[math]}$ se passe très bien. Mais ensuite, ça se gâte.. En effet j'ai $\text{[math]}$ et

$\text{[math]}$

J'ai ensuite $\text{[math]}$

Et après je ne vois pas comment il trouve

$\text{[math]}$

J'ai plutôt

$\text{[math]}$

Quid ?

Merci d'avance

**inviteca4b3353** · 15/05/2007, 20h53

en utilisant :

$\text{[math]}$

ca devrait marcher non ?

ton argument dans le delta n'a qu'un pole simple, apres il doit falloir tripatouiller les variations qui sont reliées entre elles par la conservation de la quantité de mouvement. Je pense qu'il faut éliminer la masse notamment.

**invite9c9b9968** · 15/05/2007, 20h56

Ah cool, je ne ne souvenais plus de cette formule

Bon je vais voir ça.

**invite9c9b9968** · 15/05/2007, 21h09

C'est ça, tout simplement

Merci Karibou

EDIT : en fait je n'avais même jamais vu cette formule...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invite9c9b9968** · 15/05/2007, 22h32

Salut

Désolé pour ces suites de posts, mais j'ai encore une question : quelqu'un pourrait me fournir un lien où l'on démontre la formule donnée par Karibou ? J'ai essayé de le faire, et ça ne marche pas trop mal avec des polynômes (via changements de variables, découpage de l'intégrale sur les fonctions tests, etc..), puis on étend ça à des fonctions dérivables à support compact via Weierstrass, mais de façon générale, ça me semble dur...

invitedbd9bdc3 · 15/05/2007, 23h43

Ca se trouve dans le Walter Appel ("Mathematiques pour la physique et les physiciens!", mais je pense que tu le connais

), Théorème 7.45, p. 165.

Peut-etre que ce sera pas assez détaillé pour toi

invitefa5fd80c · 16/05/2007, 10h04

Envoyé par Gwyddon

Désolé pour ces suites de posts, mais j'ai encore une question : quelqu'un pourrait me fournir un lien où l'on démontre la formule donnée par Karibou ? J'ai essayé de le faire, et ça ne marche pas trop mal avec des polynômes (via changements de variables, découpage de l'intégrale sur les fonctions tests, etc..), puis on étend ça à des fonctions dérivables à support compact via Weierstrass, mais de façon générale, ça me semble dur...

Salut,

À moins que j'aie loupé quelque chose, la preuve est relativement simple.

Tout d'abord prenons une fonction continue et dérivable $\text{[math]}$ ayant une racine unique $\text{[math]}$ dans l'intervalle $\text{[math]}$ . On supposera ici que $\text{[math]}$ possède une fonction inverse sur l'intervalle $\text{[math]}$ ; dans le cas contraire on remplace cet intervalle par une réunion d'intervalles convenablement choisis (la preuve est alors simplement un peu plus longue à écrire).

Considérons l'intégrale :

$\text{[math]}$

On pose : $\text{[math]}$

On a alors $\text{[math]}$

L'intégrale s'écrit alors:

$\text{[math]}$

Étant donné que $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ . Ceci entraîne que l'on doit prendre la valeur absolue de $\text{[math]}$ dans le résultat final qui est :

$\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ a $\text{[math]}$ pôles dans l'intervalle $\text{[math]}$ , alors on introduis $\text{[math]}$ valeurs de $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ , et on décompose l'intégrale en $\text{[math]}$ intégrales, une pour chaque sous-intervalle ainsi défini. Le résultat est à toutes fins pratiques immédiat.

À part quelques points de rigueur, ai-je loupé quelque chose ?

**invite9c9b9968** · 16/05/2007, 19h03

Bah le problème c'est que généralement une distribution de Dirac se définit comme agissant sur des fonctions tests qui sont L1, ie intégrable (ici) sur IR et non pas seulement sur un segment

Bien sûr ta démo est très bien pour des fonctions dérivables sur segment (tout comme je l'ai faite via Weierstrass), mais au-delà...

Ceci dit, on pourra arguer que je recherche trop de rigueur pour un problème physique (mais c'est ça les théoriciens, toujours à chercher la rigueur là où l'on en a pas besoin

)

Ceci dit merci pour ta réponse ainsi que celle de Thwarn

invite69d38f86 · 16/05/2007, 21h32

Bonjour,

Il n'y a pas de restriction de généralité dans ce que dit PopolAuQuebec.
Les fonctions de test pour $\text{[math]}$ sont les mêmes que pour $\text{[math]}$ , simplement on peut donner un sens à la notation pour certaines fonctions g(x).
Je ne suis pas sur, par exemple, que $\text{[math]}$ ait un sens (par contre $\text{[math]}$ est très souvent utilisé)

**invite9c9b9968** · 16/05/2007, 22h43

Bonjour,

Je ne comprend pas ton intervention par rapport à mon discours. Pour moi une distribution est définie via des fonctions tests qui sont L1, quelle que soit la distribution envisagée. C'est sur ce point que je tique sur la démo de Popol.

invite69d38f86 · 16/05/2007, 23h32

Dans le rappel de Karibou Blanc on voit bien que l'on parle des poles de g, des dérivées de g et pas du tout des fonctions test.
Au départ $\text{[math]}$ n'est qu'une notation, pas une distribution dont on peut examiner les propriétés.
pour certaines fonctions g(x), par exemple pour des polynomes, le deuxième terme de KB est bien défini (c'est une somme finie de distributions de dirac)
c'est une distribution sur les memes fontions de test que celles sur les quelles opèrent les $\text{[math]}$ . la notation $\text{[math]}$ est alors par définition cette distribution.

PopomAuQuebec montre que la notation est cohérente pour certaines fonctions g: celles avec un nombre fini de poles, avec g' non nul en ces points etc. pour ces g on a bien affaire à une distribution et ceci sans restriction sur les fonctions de test.

Des vrais matheux s'exprimeraient sans doute mieux que moi!

**invite9c9b9968** · 16/05/2007, 23h36

En fait tu ne vois pas de quoi je parle, je me suis mal exprimé. Quand je parle de fonction test, je ne parle pas de la fonction g, je parle des fonctions sur lesquelles agit la distribution $\text{[math]}$ ; et Popol ne m'a absolument pas montré la validité de l'égalité, puisque encore une fois il s'est limité à des fonctions à support compact.

invitea29d1598 · 17/05/2007, 10h15

Envoyé par Gwyddon

encore une fois il s'est limité à des fonctions à support compact.

dans mes souvenirs l'espace des fonctions tests était construit à l'aide de fonctions à support compact... ma mémoire me joue des tours ?

**invite9c9b9968** · 17/05/2007, 18h20

Et voilà... Ou comment dire de la merde en boîte

Effectivement les fonctions test sont à support compact, qui de toute façon est un ensemble dense dans L1..

Désolé Popol et alovesupreme, merci Rincevent

invite69d38f86 · 18/05/2007, 13h27

Bonjour,

Je me suis replongé dans un livre sur les distributions.

Il y a en fait plusieurs types de distributions en rapport avec le type d’espace de tests sur lesquelles elles opèrent..
Il y celles liées à $\text{[math]}$ fonctions indéfiniment dérivables définies sur R
Celles liées à $\text{[math]}$ des fonctions à support compact. et celles liées à $\text{[math]}$ des fonctions à décroissances rapide.

Pour des distributions U à support K compact comme celles dont on parlait, on part de fonctions de test $\text{[math]}$ donc définies sur R, et on se ramène à celles à support compact:
L’action de U sur $\text{[math]}$ est égale à $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est une fonction à support compact [a b] avec $\text{[math]}$ indefiniment dérivable, valant 1 sur K, nulle en a et b et dont la dérivée est nulle en a et b et sur K.
On la note donc naturellement
$\text{[math]}$

La notation utilisée par PopolAuQuebeck ne sous entend donc pas que la fonctions de test soit à support compact.
On peut donc(et c'est heureux) utiliser dans ces calculs avec des fonctions de dirac, des fonctions du type $\text{[math]}$ définies sur R.

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