Bonjour, j'ai un petit soucis pour retrouver le laplacien de vitesse de fluide dans l'équation de navier stokes qui découle de la décomposition de la divergence du tenseur de contraintes.
Je ne vois pas où est mon erreur:
Prenons la première ligne du tenseur des contraintes:
-p sigma12 sigma13
La divergence du tenseur pour la première ligne nous donne:
-dp/dx + d(sigma12)/dy + d(sigma13)/dz
or pour un fluide newtonien incompressible, on sait qu'il existe, pour les contraintes de cisaillement la relation:
sigma xy= n ( dux/dy + duy/dx)
n représentant la viscosité du fluide et entre parenthèse le taux de cisaillement du fluide selon xy.
On obtient donc pour la divergence du tenseur des contraintes:
-dp/dx+n (d²ux/dy²+d²uy/dx.dy)+ n (d²ux/dz² +d²uz/dx.dz)
soit
-dp/dx+ n (d²ux/dy² + d²ux/dz² +(d²uy/dx.dy +d²uz/dx.dz))
Soit le gradient de pression plus un terme qui ne correspond pas au laplacien de la vitesse.
On peut trouver si l'on considère que la divergence de la vitesse est nulle (car le fluide est incompressible)
soit dux/dx+duy/dy +duz/dz=0
alors on a:
d²uy/dx.dy +d²uz/dx.dz= d/dx (duy/dy +duz/dz)= d/dx (-dux/dx)=-d²ux/dx²
Pour nous donner au final:
-dp/dx+ n (d²ux/dy² + d²ux/dz² - d²ux/dx²)
Voila ce qui me pose problème, je ne comprends pas pourquoi j'obtiens un signe moins (si j'ai un + pour le dernier terme alors j'obtiens bien un laplacien) J'ai du faire une erreur grossière dans mon raisonnement.
Merci de votre aide.
Ciao
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