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Theoreme de Gauss



  1. #1
    Claire86

    Theoreme de Gauss

    Bonjour,

    Je viens d'apprendre le theoreme de gauss et j'ai un petit probléme avec un exercice de calcul de champs E.

    p : densité volumique de charge

    p(x,y,z)=po pour x entre 0 et a
    p(x,y,z)=-po pour x entre -a et 0
    p(x,y,z)=0 sinon

    E=? V=?

    J'ai determine que E=E(x)ex. Mais je ne sais pas quelle surface je dois choisir ensuite.

    -----


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  3. #2
    obi76

    Re : Theoreme de Gauss

    C'est une plaque plane infinie ?

  4. #3
    Claire86

    Re : Theoreme de Gauss

    Oui, sinon on ne pourrait pas appliquer le theoreme je suppose.

  5. #4
    Karibou Blanc

    Re : Theoreme de Gauss

    Oui, sinon on ne pourrait pas appliquer le theoreme je suppose.
    Si on pourrait, mais le champ n'aurait pas une forme aussi simple que E(x).ex
    Du coup il faudrait se farcir une gentille intégrale double
    Well, life is tough and then you graduate !

  6. #5
    obi76

    Re : Theoreme de Gauss

    Bon ça va pas être super simple d'expliquer comme ça mais je te donne le maximum de pistes à suivre :

    Dans le cas d'une plaque plane infinie, tu prend des surfaces en forme de cylindre. L'une des faces du cylindre se trouve en x et parallèle au plan y,z. L'autre face tu la met en x<0.
    Je m'explique :
    par symétrie déjà, le flux du cjamp électrique ne sera non nulle que sur les disques du cylindre (champ parallèle à l'axe du cylindre).
    Tu pars en x<0 et tu alonge le cylindre. quand le cylindre arriverra entre 0 et a, la charge à l'interieur du cylindre sera ro*pi*r²*x. tu en déduis le champ au point x.
    lorsque tu arrive au point a, tu continue àl'allonger, mais cette fois le nombre de chages à l'intrieur sera pi*r²*a-pi*r²*(a-x).
    Tu applique le théorèmùe de Gauss et tu trouve directement le champ.
    En l'appliquant, étant donné que le champ ne doit pas dépendre de la géométrie de la surface choisie (tu prend une surface qui simplifie les calculs mais au final quelque soit la surface, au mms point tu dois trouver le même résultat), le champ doit etre indépendant du rayon du cylindre...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Claire86

    Re : Theoreme de Gauss

    Ok merci bien mais je n'aurai pas pu prendre un parallellepipede ?

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  10. #7
    Amethyste

    Re : Theoreme de Gauss

    oui

    ce qu'il faut c'est trouver une surface de Gauss qui se prête bien à des calculs simples:

    soit parce que le champ est parallèle à la surface, alors le flux est nul
    soit parce que le champ y est perpendiculaire et uniforme: le flux prend la forme très simple d'une multiplication du champ par la surface

    dès que tu as des intégrations à faire, le théorème de Gauss n'est en rien plus avantageux que le calcul direct
    La pente: d'un côté elle monte, de l'autre elle descend

  11. #8
    Claire86

    Re : Theoreme de Gauss

    Quand tu dis :
    lorsque tu arrive au point a, tu continue àl'allonger, mais cette fois le nombre de chages à l'intrieur sera pi*r²*a-pi*r²*(a-x).

    La je ne comprends plus bien ce que tu fais. Et puis dans le probleme, c'est aussi chargé avec une densité -po entre 0 et -a.
    Mais si j'ai bien compris, on a :

    E=po.x/epsilon0 entre 0 et a
    E=-po.x/epsilon0 entre 0 et -a

  12. #9
    PopolAuQuébec

    Re : Theoreme de Gauss

    Citation Envoyé par Claire86 Voir le message
    J'ai determine que E=E(x)ex.
    Je ne comprends pas ton expression pour E. Je suppose que tu veux dire que le champs E est dans la direction x et est une constante fois x ?

    Citation Envoyé par Claire86 Voir le message
    Mais je ne sais pas quelle surface je dois choisir ensuite.
    Il y a aussi la forme différentielle de la loi de Gauss qui me semble plus simple à utiliser dans ce cas-ci. Est-ce que tu dois absolument utiliser la loi de Gauss sous sa forme intégrale ?

  13. #10
    Claire86

    Re : Theoreme de Gauss

    E=E(x)ex -> E depend de x et est dirigé par ex (avec les invariances et symetries).

    Quesque tu appelles forme différentielle de la loi de gauss ?

  14. #11
    PopolAuQuébec

    Re : Theoreme de Gauss

    Citation Envoyé par Claire86 Voir le message
    Quesque tu appelles forme différentielle de la loi de gauss ?
    C'est l'équation :


  15. #12
    Claire86

    Re : Theoreme de Gauss

    D'accord, mais la je trouve :

    E=po.x/epsilon0 entre 0 et a
    E=-po.x/epsilon0 entre 0 et -a
    E=poa/epsilon0 pour x>a
    E=-poa//epsilon0 en x<-a

    Cela me semble un peu trop simple

    Quelqu'un pourrait confirmer (ou non) mes resultats ?

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  17. #13
    Karibou Blanc

    Re : Theoreme de Gauss

    Ca c'est une équation de Maxwell. La terminologie consiste à ne parler de loi de Gauss que sous la forme intégrale. Ca évite les confusions, mais sinon tu as raison c'est la forme intégrale de l'équation de Maxwell que tu cites.

    Il y a aussi la forme différentielle de la loi de Gauss qui me semble plus simple à utiliser dans ce cas-ci. Est-ce que tu dois absolument utiliser la loi de Gauss sous sa forme intégrale ?
    Personnellement je ne pense pas (j'en suis meme sur en fait) que ce soit plus simple de résoudre une équation différentielle que d'utiliser le théorème de Gauss dans cette situation hautement symétrique et homogene.
    Well, life is tough and then you graduate !

  18. #14
    PopolAuQuébec

    Re : Theoreme de Gauss

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    Ca c'est une équation de Maxwell. La terminologie consiste à ne parler de loi de Gauss que sous la forme intégrale.
    Regarde Jackson à la section I.4
    Il dit de l'équation : "which is the differential form of Gauss's law of electrostatic"

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    Personnellement je ne pense pas (j'en suis meme sur en fait) que ce soit plus simple de résoudre une équation différentielle que d'utiliser le théorème de Gauss dans cette situation hautement symétrique et homogene.
    Bien au contraire, justement à cause des symétries. Le champ étant ici, par symétrie, dans la direction x, on a

    On a alors:



    ce qui est une équation différentielle des plus élémentaires à résoudre dans ce cas-ci.

    Mais bon, il est possible qu'il soit demandé dans le problème d'utiliser la forme intégrale de la loi de Gauss.

  19. #15
    Claire86

    Re : Theoreme de Gauss

    Pour revenir à l'exercice, je prend un cylindre comme surface. Mais est ce que sa base est en 0? Dans ce cas la j'ai un probleme pour la partie x<0.
    Et si je prend la base en dessous de -a le champs E varie dans la surface.

    Donc je prends laquelle ?

  20. #16
    Karibou Blanc

    Re : Theoreme de Gauss

    "which is the differential form of Gauss's law of electrostatic"
    ben, c'est ce qu'on a dit tous les deux. Mais ca ne veut pas dire que cette équation s'appelle loi de Gauss locale. C'est je voulais préciser la terminologie.
    ce qui est une équation différentielle des plus élémentaires à résoudre dans ce cas-ci.
    certes, mais rho dépend de x. Il faut faire attention et utiliser des fonctions de Heaviside pour écrire correctement le dépendance en x et surtout savoir comment les intégrer (ce qui n'est pas dur mais il faut le savoir). Du coup je pense que c'est plus simple d'utiliser le théorème de Gauss. Mais bon c'est une question de gout.
    Well, life is tough and then you graduate !

  21. #17
    obi76

    Re : Theoreme de Gauss

    ha 'avais pas retenu, je croyai que c'était + entre 0 et a et - entre a et 2a...
    oui tant que ta surface se pête à des calculs simples, pcube pavé ou cylindre peu importe tant que tu le ositionne correctement...
    De toutes façons la section se simplifierra. (le pi*r² ou le c² pour le carré n'interviendront pas dans la solution, logique)

  22. #18
    PopolAuQuébec

    Re : Theoreme de Gauss

    Citation Envoyé par Claire86 Voir le message
    D'accord, mais la je trouve :

    E=po.x/epsilon0 entre 0 et a
    E=-po.x/epsilon0 entre 0 et -a
    E=poa/epsilon0 pour x>a
    E=-poa//epsilon0 en x<-a

    Cela me semble un peu trop simple

    Quelqu'un pourrait confirmer (ou non) mes resultats ?
    Ta distribution de charge correspond à deux plaques infinies d'épaisseur a uniformément chargées, l'une avec une densité de charge positive et l'autre avec une densité de charge négative, les deux densités étant égales en valeur absolue. Alors nécessairement pour x>a et x<-a le champ E doit être nul. Le champ étant continu, il manque donc des constantes additives pour les champs dans les régions 0<x<a et -a<x<0

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  24. #19
    Claire86

    Re : Theoreme de Gauss

    D'accord mais comment je trouve ces constantes additives avec le theoreme de gauss ?

  25. #20
    PopolAuQuébec

    Re : Theoreme de Gauss

    Pour la région 0<x<a, tu prends un cylindre comme l'a expliqué Obi76, sauf que tu places une face du cylindre en x>a, où le champ est nul, et l'autre face du cylindre au point x situé entre 0 et a où tu veux évaluer le champ.

    Pour la région -a<x<0, tu procèdes de la même façon en plaçant l'une des faces du cylindre en x<-a

  26. #21
    Claire86

    Re : Theoreme de Gauss

    Je comprends mieux. Donc je reprends les resultats :

    x>a E=0
    x dans [0,a] E=po.(a-x)/epsilon0
    x dans [-a,0] E=-po(-a-x)/epsilon0
    x<-a E=0

  27. #22
    obi76

    Re : Theoreme de Gauss

    et voilà ^^

  28. #23
    PopolAuQuébec

    Re : Theoreme de Gauss

    Citation Envoyé par Claire86 Voir le message
    Je comprends mieux. Donc je reprends les resultats :

    x>a E=0
    x dans [0,a] E=po.(a-x)/epsilon0
    x dans [-a,0] E=-po(-a-x)/epsilon0
    x<-a E=0
    C'est presque ça. Il y a seulement une inversion de signe:

    x dans [0,a] E=-po.(a-x)/epsilon0
    x dans [-a,0] E=po(-a-x)/epsilon0

  29. #24
    Amethyste

    Re : Theoreme de Gauss

    "Pour revenir à l'exercice, je prend un cylindre comme surface. Mais est ce que sa base est en 0? Dans ce cas la j'ai un probleme pour la partie x<0.
    Et si je prend la base en dessous de -a le champs E varie dans la surface."

    tu prends un cylindre symétrique par rapport au plan, donc la deuxième solution, parce que tu connais le champ électrostatique au niveau des deux bases du cylindre (le même au signe près).

    l'énoncé te donne la charge surfacique, tu prends donc un rayon R arbitraire pour ton cylindre et calcule la charge qu'il contient

    le reste prend deux lignes de calcul et tu trouve un résultat indépendant de R et de la distance au plan infini d'ailleurs
    La pente: d'un côté elle monte, de l'autre elle descend

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  31. #25
    obi76

    Re : Theoreme de Gauss

    Par ailleurs l'évolution des charges ou du champ DANS la surface n'a aucune importance, et c'est bien là la puissance du théorème de Gauss ^^

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