Rotation du temps pour integrale de chemin

**GrisBleu** · 26/06/2007, 14h24

Bonjour

En suite d'un thread ouvert il y a quelques temps, j'ai des questions sur l'inmtegrale de chemin (qui doivent etre liees a d'autre domaine dans le cas present)

Calcul de l'amplitude de transition du vide sous une source (pour avoir les geneateurs si j'ai compris)
Donc voila, on a un lagrangien (avec une sourceJ(t)):
$S[x,J]=\int_t L(x,\dot{x},t) + xJ(t) dt$
Le propagateur est alors
$<x_f,t_f|x_i,t_i>_J = \int Dx e^{\frac{i}{\hbar}S[x,J]}$
$<x_f,t_f|x_i,t_i>_J = \int Dx e^{\frac{i}{\hbar}S[x,0]}e^{\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}xJ(t) dt}$
$<x_f,t_f|x_i,t_i>_J =<x_f,t_fe^{\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}XJ(t) dt}|x_i,t_i>$
On introduit les etats d'energie
$<x_f,t_f|x_i,t_i>_J =\sum_{m,n}<x_f,t_f|m><m|e^{\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}XJ(t) dt}|n><n|x_i,t_i>$
$<x_f,t_f|x_i,t_i>_J =\sum_{m,n}<x_f|m><m|e^{\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}XJ(t) dt}|n><n|x_i>e^{\frac{i}{\hbar}(E_m t_f - E_n t_i)}$
Jusque la tout va bien (peut etre un probleme de signe sur les energies, mais bon)

L'auteur suppose les etats d'energie normalise 0=E0<E1<...<En<..
Il dit alors que si on fait tendre tf-ti vers l'infini, toutes les exponentielles avec des energies non nulles s'en vont o_0???? Je ne comprends pas trop comment c est aussi evident.
Pour donner une justification. L'auteur propose de faire le changement de variable suivant
t=iT et appelle cela une rotation vers un espace euclidien... J'avoue ne pas voir trop compris.

L'auteur se referre a un paragraphe precedent avec des calculs ou une integrales faisait intervenir des exp(it) et dit continuer la fonction sur le plan complexe, faire un changement de variable, calculer puis repasser dans un parametrage normal.

Je me doute bien que tout est justifie au final, mais je n'ai pas tout compris

- pourquoi les exponentielles s'en vont
- comment justifier clairement ces changement de variables

Merci de votre aide parceque les calculs me perdent un peu la

**inviteca4b3353** · 26/06/2007, 14h58

Pour donner une justification. L'auteur propose de faire le changement de variable suivant
t=iT et appelle cela une rotation vers un espace euclidien... J'avoue ne pas voir trop compris.

en faisant cette rotation, tu passes d'une métrique minkowskienne avec une signature (-,+,+,+) vers une métrique de signature (+,+,+,+) qui correspond à un espace-temp euclidien.
Par conséquent les exponentielles deviennent : exp(it)=exp(-T) et elles tendent bien vers zero lorsque T tend vers l'infini.

L'auteur se referre a un paragraphe precedent avec des calculs ou une integrales faisait intervenir des exp(it) et dit continuer la fonction sur le plan complexe, faire un changement de variable, calculer puis repasser dans un parametrage normal.

c'est équivalent à faire cette rotation t=iT, avant de pouvoir le faire il faut étendre t et les fonctions de t sur tout C et non plus simplement R, sinon la rotation t=iT n'est pas définie. C'est un changement de variables dans l'espace complexe si tu veux, comme quand tu passes en coordonnées polaire pour calculer certaines intégrales.

comment justifier clairement ces changement de variables

A priori tu es libre d'utiliser les variables que tu veux pour décrire un probleme. Ex en 2D, il n'y a rien qui t'empeche de choisir un systeme cartésien plutot que polaire ou elliptique, etc...
Ici c'est la meme chose, sauf que le changement de variable est dans l'espace complexe.

**GrisBleu** · 26/06/2007, 15h58

Salut !

Donc, tant que la fonction de depart est "sympa", un changement de variables complexe dans l'integrale est possible... OK
Je n'ai pas encore bien compris comment appliquer ca au exponentielle: si je suis le raisonement
- je cherche la limite de exp(it) quand t-> infini.
- je pose t=iT. ca fait 0, je conclue que ma limite fait 0.
- je pense que je me rate quelque chose, mais quoi ?. Parceque je ne vois pas la difference avec ce que fait l'auteur

Sinon, ca me rapelle le jour ou j'ai colle un T=it dans une copie de prepa (j etais fatigue). Je m'etais bien fait allume

. C'est en gros pour ca que ca me tracasse.

Merci encore

a+

**inviteca4b3353** · 26/06/2007, 16h47

Sinon, ca me rapelle le jour ou j'ai colle un T=it dans une copie de prepa (j etais fatigue). Je m'etais bien fait allume . C'est en gros pour ca que ca me tracasse.

Ca dépend du contexte, c'est sur que si tu restes en analyse réelle, poser t=iT c'est tres risqué

Il faut s'assurer avant que le prolongement analytique (dans le plan complexe) est bien défini car certainement fonctions ont des singularités ou des coupures dans le plan complexes: ex: racine, log, exp...
Mais sinon une fois ces choses la vérifiées, rien n'empeche le changement de variable.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invite9c9b9968** · 26/06/2007, 17h26

Soit dit en passant, passer en temps imaginaire nous fait tomber dans la physique statistique..

Donc il doit y avoir des liens très profonds entre mécanique quantique et physique statistique, maintenant la question que je me pose est : quelle signification physique peut-on tirer de cette rotation imaginaire qui nous fait relier physique statistique et physique quantique ?

**inviteca4b3353** · 26/06/2007, 17h34

Donc il doit y avoir des liens très profonds entre mécanique quantique et physique statistique

sans oublier qu'il faut aussi également imposer que les chemins de l'integral soient des boucles (qf à tf = qi à ti), de manière à obtenir des traces. Sans cela on ne retrouve pas la physique statistique.

quelle signification physique peut-on tirer de cette rotation imaginaire qui nous fait relier physique statistique et physique quantique ?

Je ne sais pas si il y a vraiment quelque chose de "physique" a en tirait, ca me parait simplement une relation formelle (au sein du formalisme). Ce que je veux dire c'est que l'intégrale de chemin s'avère etre un outil pour faire de la physique quantique ou de la méca stat (et donc a fortiori de la méca stat quantique). enfin je ne sais pas, j'avoue que ca m'avait intrigué aussi au dea, mais bon, le temps passe vite

**invite9c9b9968** · 26/06/2007, 18h05

Ah, je vois que je ne suis pas le seul à avoir été intrigué

Bon l'année prochaine je vais demander ça à mon prof de physique statistique, ça me titille

invite93279690 · 26/06/2007, 19h25

Envoyé par Karibou Blanc

sans oublier qu'il faut aussi également imposer que les chemins de l'integral soient des boucles (qf à tf = qi à ti), de manière à obtenir des traces. Sans cela on ne retrouve pas la physique statistique.

Faut il y voir un lien quelconque avec les formules de Gutzwiller (ou Berry-Tabor) ?
Parce que sinon je ne vois pas la nécéssité de cette affirmation tu peux expliciter svp ?
Pourquoi l'analogie formelle entre TQC et TSC ne se ferais que si il y a des boucles ?

**invite9c9b9968** · 26/06/2007, 19h26

Euh... Je ne sais plus trop exactement mais je suis d'accord avec Karibou, lorsque l'on avait présenté la physique stat via l'intégrale de chemin, naturellement on prenait des boucles et non des chemins ouverts dans l'espace des phases.

invite06686390 · 26/06/2007, 19h28

Dans certains cas , on peut voir une explication plus simple.

Imaginons par exemple que tu calcules l'intégrale sur R d'une fonction qui admets des poles dans le deuxième et le quatrième cadran. Imaginons encore que pour la calculer tu emploies le théorème des résidus , en encadrant par le haut : ça te donnera 2i pi fois la somme des résidus du deuxième cadran.
Bon , mais toi pas de chance, tu les connais pas vraiment les pôles , parce que la fonction est un peu tordue.

La , tu remarques que si tu fais l'intégrale sur l'axe imaginaire, et que tu appliques le théorème des résidus en encadrant par la gauche, tu vas envelopper les mêmes poles... Donc même résultats !!!

Faut voir si c'est toujours applicable comme approche. Moi je suis pas encore tout à fait revenu des fréquences de Matsubara chez les fermions corrélés dans les solides.... ( là on passe en fréquences imaginaires... et discrètes , espacées de 1 / kB T ... la première fois tu crois que tu es devenu fou)

**inviteca4b3353** · 26/06/2007, 19h46

Parce que sinon je ne vois pas la nécéssité de cette affirmation tu peux expliciter svp ?
Pourquoi l'analogie formelle entre TQC et TSC ne se ferais que si il y a des boucles ?

Parce que en phys stat, les fonctions de corrélations sont des traces sur les dérivées de la fonction de partition. C'est à dire que l'état doit etre le bras et le ket doivent etre les memes. Dans le formalisme de l'intégrale de chemins, ce la se traduit par |qf,tf> = |qi,ti> . Sinon on n'a pas une trace.

invite93279690 · 26/06/2007, 21h15

Envoyé par Karibou Blanc

Parce que en phys stat, les fonctions de corrélations sont des traces sur les dérivées de la fonction de partition. C'est à dire que l'état doit etre le bras et le ket doivent etre les memes. Dans le formalisme de l'intégrale de chemins, ce la se traduit par |qf,tf> = |qi,ti> . Sinon on n'a pas une trace.

Oui oui ok je vois ce que tu veux dire au niveau des kets (la fonction de parttition est semblable à l'amplitude de proba entre le vide et le vide c'est ça ?) mais maintenant mon problème se trouve au niveau de l'action.
En TQC sin je ne me trompe pas, le fait que |qf,tf> = |qi,ti> se traduit par une intégrale avec contrainte pour l'action S[q] alors que en en TSC il n'y a pas ce genre de contrainte sur les champs et les "actions" utilisés.
C'est moi qui ai mal compris un truc ou c'est vraiment pas pareil ?

invitec00162a9 · 26/06/2007, 21h29

Salut,

Envoyé par Gwyddon

Soit dit en passant, passer en temps imaginaire nous fait tomber dans la physique statistique..

Donc il doit y avoir des liens très profonds entre mécanique quantique et physique statistique, maintenant la question que je me pose est : quelle signification physique peut-on tirer de cette rotation imaginaire qui nous fait relier physique statistique et physique quantique ?

je suis bien loin d'être spécialiste de ce genre de question mais il a été démontré par Nelson dans les années 60 que si on exprime l'action S dans une formulation stochastique de l'équation d'Hamilton-Jacobi, et qu'on considère aussi l'équation traditionnelle de Fokker-Planck de conservation du courant de probabilité $\rho$ , alors ces 2 équations se combinent en une seule, pourvu qu'on pose $\psi=\sqrt{\rho}*exp(2\pi*S/h)$ .
L'équation résultante est justement l'équation de Schrödinger.

Pour l'équation d'Hamilton-Jacobi stochastique :
$\frac{dS}{dt} + \frac{1}{2m}(\partial_a S)^2-2m\nu^2\frac{1}{\sqrt{\rho}}grad^2\sqrt{\rho}+U = 0$

Pour l'équation de Fokker-Planck :
$\frac{d\rho}{dt} + \frac{1}{m}(\partial_a (\rho \partial^aS )) = 0$

et on pose :
$\frac{h}{2\pi} = 2\nu m$

(Source : Lee Smolin, Matrix Models as Non-Local Hidden Variables Theories).

**GrisBleu** · 27/06/2007, 15h45

Bonjour

Merci pour vos reponses. Je ne sais pas encore trop comment calculer l'amplitude de transition en faisant disparaitre les exponentielles...
Quelqu'un a t il une idee.

A bientot !

invitea29d1598 · 27/06/2007, 18h29

salut,

si tu n'aimes pas la cuisine avec des prolongements analytiques, je crois me souvenir que tu peux relier l'utilisation de la rotation de Wick qui est faite ici au lemme de Riemann-Lebesgue

invite69d38f86 · 29/06/2007, 14h50

Envoyé par wlad_von_tokyo

Bonjour

Merci pour vos reponses. Je ne sais pas encore trop comment calculer l'amplitude de transition en faisant disparaitre les exponentielles...
Quelqu'un a t il une idee.

A bientot !

Bonjour,

Il y a un cas où l'on voit le rapport quantique/statistique avec l'échange t en it. C'est pour le propagateur de la particule libre. <x|U|x0> avec U = exp(-iH0). Sa valeur est la solution de L'équation de Schrodinger.
Si l'on remplace dans cette équation t par $\tau$ = it, on obtient une équation de la forme
$\frac {\partial} {\partial \tau}p(x,\tau) = D\frac {\partial^2} {\partial x^2} p(x,\tau)$
Cette équation (équation de la diffusion) opère non sur des amplitudes de probabilité mais sur des probabilités. On la retrouve par exemple pour les chemins browniens. Sa solution est connue c'est une gaussienne. A partir de celle solution on obtient la solution de l'équation quantique en remplacant tau par it.
le propagateur quantique libre est ici égal au propagateur euclidien dans lequel on fait le passage du temps réel au temps imaginaire.
Cette possibilité me semble liée au caractère gaussien de la solution classique.
J'ai trouvé ceci dans le livre "l'intégrale fonctionnelle" de Philippe Martin.
Il y développe ensuite l'étude des intégrales de chemins pour des propagateurs avec potentiel.

**GrisBleu** · 30/06/2007, 02h35

Merci pour l'exemple.

Je crois m'etre sorti des exponentielles avec le lemme de riemann lebesgue.
Merci a tous pour vos infos

invite69d38f86 · 15/04/2008, 19h48

Envoyé par shahinshah

je suis bien loin d'être spécialiste de ce genre de question mais il a été démontré par Nelson dans les années 60 que si on exprime l'action S dans une formulation stochastique de l'équation d'Hamilton-Jacobi, et qu'on considère aussi l'équation traditionnelle de Fokker-Planck de conservation du courant de probabilité $\rho$ , alors ces 2 équations se combinent en une seule, pourvu qu'on pose $\psi=\sqrt{\rho}*exp(2\pi*S/h)$ .
L'équation résultante est justement l'équation de Schrödinger.

Pour l'équation d'Hamilton-Jacobi stochastique :
$\frac{dS}{dt} + \frac{1}{2m}(\partial_a S)^2-2m\nu^2\frac{1}{\sqrt{\rho}}grad^2\sqrt{\rho}+U = 0$

Pour l'équation de Fokker-Planck :
$\frac{d\rho}{dt} + \frac{1}{m}(\partial_a (\rho \partial^aS )) = 0$

et on pose :
$\frac{h}{2\pi} = 2\nu m$

(Source : Lee Smolin, Matrix Models as Non-Local Hidden Variables Theories).

Je suis en train de lire cet article.
Au passage il faut lire $\psi=\sqrt{\rho}*exp(i 2\pi*S/h)$
c'est bizarre de faire dépendre h de m.
Ce papier date de 2001. Quelqu'un sait il si les questions que se pose Smollin ont eu un début de réponse: généralisation relativiste entre autres

Le parallèle entre quantique et statistique (par la rotation de wick notamment) revient constamment.

Dans "DES PHENOMENES CRITIQUES AUX CHAMPS DE JAUGE - Une Introduction Aux Methodes Et Aux Applications De La Theorie Quantique Des Champs" Le Bellac ecrit la moitié du livre sur la mécanique statistique (avec graphes de Feynman, renormalisation, théorie en phi3 etc et l'autre moitié sur la mécanique quantique.
Il esquisse même un dictionnaire bilingue pour passer d'un langage à l'autre:
Densité d’énergie libre <----------> Densité d’énergie de l’état fondamental
Fonction de corrélation <-----------> Produit ordonné dans le temps
Inverse de la longueur de corrélation <----------> Saut d’énergie $\Delta E$

De Broglie en fin de carrière avait développé une thermodynamique de la particule isolée, persuadé que les sauts dans l'onde pilote étaient dus au contact avec un milieu thermique sous jacent.

Hawking était persuadé de la nécessité de passer au temps imaginaire pour (métrique euclidienne) pour comprendre la vraie nature de l'univers.

Envoyé par Gwyddon

Soit dit en passant, passer en temps imaginaire nous fait tomber dans la physique statistique..

Donc il doit y avoir des liens très profonds entre mécanique quantique et physique statistique, maintenant la question que je me pose est : quelle signification physique peut-on tirer de cette rotation imaginaire qui nous fait relier physique statistique et physique quantique ?

Envoyé par Gwyddon

Ah, je vois que je ne suis pas le seul à avoir été intrigué

Bon l'année prochaine je vais demander ça à mon prof de physique statistique, ça me titille

Ca y est on est l’année prochaine : as tu demandé ?

**invite9c9b9968** · 15/04/2008, 19h50

Envoyé par alovesupreme

Ca y est on est l’année prochaine : as tu demandé ?

Bah... Toujours vague, la signification physique ne semble pas évidente, et cela ne semble être qu'un truc mathématique... Mais bon ça m'intrigue toujours !

**stefjm** · 11/02/2018, 20h27

Envoyé par Gwyddon

Bah... Toujours vague, la signification physique ne semble pas évidente, et cela ne semble être qu'un truc mathématique... Mais bon ça m'intrigue toujours !

et maintenant?

invite69d38f86 · 12/02/2018, 23h36

malheureusement son dernier message date de plus de 5 ans.
le probleme reste ouvert.

invite69d38f86 · 13/02/2018, 00h05

ce que j'ai appris depuis 2008 c'est qu'un phénomene décrit par un état pur quantique pour un certain observateur,
s'il y a un horizon qui le cache un observateut derriere lui va devoir effectuer une trace pour le décrire et le percevra comme
un mélange statistique.

Rotation du temps pour integrale de chemin

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Re : rotation du temps pour integrale de chemin

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