Pendules pesants

invite5731219b · 25/08/2007, 16h32

Oui, en fait c'est parceque ma matrice de départ est fausse,
mamono666 m'a corrigé (message #9) et maintenant,
j'ai cette matrice (en faisant l'approximation dont j'ai parlé) :
$\text{[math]}$
Qui est la même que celle mentionnée dans le document PDF.

Envoyé par labostyle

je suis pas convaincu que l'on puisse trouver les valeurs propres de cette matrice de facon analytique (elle est de dimension "infini" je dis infini pour ne pas dire tres tres .... grande)

C'est surtout cette histoire de dimension "infinie", pour rebasculer vers un système continu qui me pose problème maintenant (voir message #13).

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 16h39

Envoyé par SpintroniK

C'est surtout cette histoire de dimension "infinie", pour rebasculer vers un système continu qui me pose problème maintenant (voir message #13).

qu'appelles tu par systeme continu

invite5731219b · 25/08/2007, 16h44

J'ai pensé qu'à la fin il faut faire tendre n vers l'infini pour se ramener à un système continu, un peut comme si on avait fait l'étude d'une tige chauffée à une température T d'un côté et T' de l'autre en la découpant en n morceaux et que l'on souhaite connaître la température en tout point de la tige en faisant tendre n vers l'infini. (Je ne sais pas si c'est clair).

**mamono666** · 25/08/2007, 16h45

la dimension est liée au nombre de ressort, mais pas au fait que le systeme est continu. Mais il faut voir apres, lorsqu'on aura la solution quel hypothese permet de se rapprocher d'un systeme continu.

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 16h49

dans ce genre de probleme tu ne peux pas te ramener a un systeme fini

invite5731219b · 25/08/2007, 17h03

D'accord, il faut donc résoudre le problème avant...
Je pense qu'il faut construire une matrice de passage $\text{[math]}$ et comme on a déjà les valeurs propres, on a déjà une matrice semblable à la matrice $\text{[math]}$ de départ qui est digonale, notons la $\text{[math]}$ .
On a alors : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ (je pense...

)
Mais je ne sais pas vraiment comment construire $\text{[math]}$ car les vecteurs propres associés aux valeurs propres $\text{[math]}$ sont donnés par $\text{[math]}$ et je ne sais pas ce que représentent les j.

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 17h10

Envoyé par SpintroniK

D'accord, il faut donc résoudre le problème avant...
Je pense qu'il faut construire une matrice de passage $\text{[math]}$ et comme on a déjà les valeurs propres, on a déjà une matrice semblable à la matrice $\text{[math]}$ de départ qui est digonale, notons la $\text{[math]}$ .
On a alors : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ (je pense...

)
Mais je ne sais pas vraiment comment construire $\text{[math]}$ car les vecteurs propres associés aux valeurs propres $\text{[math]}$ sont donnés par $\text{[math]}$ et je ne sais pas ce que représentent les j.

la méthode que tu as employé et la bonne, je ne vois pas ce que peux représenter les j dans cette formule

**mamono666** · 25/08/2007, 17h37

Envoyé par labostyle

dans ce genre de probleme tu ne peux pas te ramener a un systeme fini

ah bon?? pourquoi?

**mamono666** · 25/08/2007, 17h50

Envoyé par SpintroniK

D'accord, il faut donc résoudre le problème avant...
Je pense qu'il faut construire une matrice de passage $\text{[math]}$ et comme on a déjà les valeurs propres, on a déjà une matrice semblable à la matrice $\text{[math]}$ de départ qui est digonale, notons la $\text{[math]}$ .
On a alors : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ (je pense...

)
Mais je ne sais pas vraiment comment construire $\text{[math]}$ car les vecteurs propres associés aux valeurs propres $\text{[math]}$ sont donnés par $\text{[math]}$ et je ne sais pas ce que représentent les j.

La en fait, tu veux repartir d'une matrice diagonale...Mais si on revient à ton problème initiale, ce qui nous importe ce sont les pulsations propres.

Et pour trouver ces pulsations propres on a uniquement besoin du déterminant, qui aurra pour solution les pulsations propres justement. Donc il n'est pas necessaire de continuer le probleme en diagonalisant.

Apres avoir trouver les pulsations propres tu les réinjectes dans les équa diff initial (en conservant l'hypothese que les $\text{[math]}$ sont sous la forme $\text{[math]}$ ) ce qui te permet de voir qui est en phase avec qui...et à priori on aura déterminer la solution du systeme...

invite5731219b · 25/08/2007, 18h09

mamono666 est-ce que tu sais à quoi correspondent les "j" dans l'expression des vecteurs propres ?
J'aurais plutot tendance à dire $\text{[math]}$ .
Sinon, je ne comprend pas vraiment ce que tu veux dire, j'avais déjà trouvé que le déterminant valait n+1 ... ce qui signifie seulement que le proquit des pulsations propres au carré vaut n+1. Alors je ne vois pas trop comment trouver les pulsations propres avec cette méthode. Comment fait-on ?

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 20h52

Envoyé par mamono666

ah bon?? pourquoi?

car le systeme physique considéré n'est pas fini, on ne connais pas le nombre de pendule. tu pourrais me dire comment est ce que tu fais pour passer d'un système infini a un systeme fini

invite5731219b · 25/08/2007, 22h56

Je pas mal de cas dans lesquels on s'aide des renseignements que nous donne l'hypothèse d'un système fini pour le résoudre en dimension infinie (par exemple pour des endomorphismes définis par des polynomes...), donc je ne vois pas en quoi cela pose problème de mener l'étude en dimension finie puis d'étendre les résultats à la dimension infinie si besoin est.
Donc j'espère quand même obtenir une réponse pour mon message (#40) car je ne comprend pas trop ce qu'il faut faire (dailleurs en passant, j'aimerais aussi savoir ce que pense mamono666 de l'expression des vecteurs propres, merci d'avance).

**mamono666** · 25/08/2007, 23h22

Envoyé par labostyle

car le systeme physique considéré n'est pas fini, on ne connais pas le nombre de pendule. tu pourrais me dire comment est ce que tu fais pour passer d'un système infini a un systeme fini

Mais on ne passe pas de l'infini à un fini. n est fixé, il n'est pas infinie. Apres si l'on veut le faire tendre vers l'infini, c'est comme on veut.

**mamono666** · 25/08/2007, 23h45

Envoyé par SpintroniK

mamono666 est-ce que tu sais à quoi correspondent les "j" dans l'expression des vecteurs propres ?
J'aurais plutot tendance à dire $\text{[math]}$ .
Sinon, je ne comprend pas vraiment ce que tu veux dire, j'avais déjà trouvé que le déterminant valait n+1 ... ce qui signifie seulement que le proquit des pulsations propres au carré vaut n+1. Alors je ne vois pas trop comment trouver les pulsations propres avec cette méthode. Comment fait-on ?

le déterminant vaut peut etre n+1 pour la matrice composé des -1, les 2. Mais dans notre cas ce n'est pas interessant.

Je me suis mal exprimé dans l'autre post. Ce que je voulais dire, c'est que normalement, on ecrit le systeme différentiel. Puis on prend $\text{[math]}$ sous forme exponentielle.

Du coup les $\text{[math]}$ font apparaitre des pulsations $\text{[math]}$ . On a alors une matrice de la meme forme que les $\text{[math]}$ . Le lambda à le role du omega.

Donc résoudre l'exercice que tu as mis en lien et trouver les valeurs propres revient exactement à calculer la déterminant de la matrice du probleme avec les ressorts.

Les valeurs propres lambda correspondent aux pulsations propres.

Apres pour le vecteur propre j'essayerai de faire le calcul. A priori je devrais prendre $\text{[math]}$ et resoudre. A priori on dirait qu'il y a une erreur avec l'indice j. Mais j'essayerais ca demain.

sinon, un petit lien: regarde 5.8 Chaîne d’oscillateurs p29
http://lpsc.in2p3.fr/theo/Richard/EN...VO/VO0607C.pdf

invitef16d06a2 · 26/08/2007, 09h48

Envoyé par mamono666

Mais on ne passe pas de l'infini à un fini. n est fixé, il n'est pas infinie. Apres si l'on veut le faire tendre vers l'infini, c'est comme on veut.

quand je dis infini c'est juste une image pour dire que c'est tres tres grand

invitef16d06a2 · 26/08/2007, 09h51

Envoyé par SpintroniK

Je pas mal de cas dans lesquels on s'aide des renseignements que nous donne l'hypothèse d'un système fini pour le résoudre en dimension infinie (par exemple pour des endomorphismes définis par des polynomes...)

est ce que tu as un exemple physique car avec les mathématiques tu peux faire ce que tu veux (en autre avec les limites pour te ramener a un systeme infini)

**mamono666** · 26/08/2007, 10h58

Envoyé par labostyle

quand je dis infini c'est juste une image pour dire que c'est tres tres grand

oui oui, mais la on n'a pas forcement un systeme grand. n peut etre egale à 2 les equations fonctionnent aussi.
n est juste la pour avoir un cas générale....bref

invitef16d06a2 · 26/08/2007, 11h17

Envoyé par mamono666

oui oui, mais la on n'a pas forcement un systeme grand. n peut etre egale à 2 les equations fonctionnent aussi.
n est juste la pour avoir un cas générale....bref

tu confond infini avec généralisation, si tu viens à simuler un tsunami tu ferai comment ???
tu aboutiras au meme type de matrice qui a ete propose pour le pendule pesant, d'ailleurs si tu regardes en mécanique quantique tu as des hamiltoniens qui prennent aussi la meme forme que la matrice proposé ici. Si n=2 le probleme est vite fait resolu,

J'attend un exemple pour passer d'un systeme fini a infini tu en as pas un

**mamono666** · 26/08/2007, 11h57

on ne passe pas de infini à fini. Je crois que c'est toi qui confond.

Ici avec n=1 ou n=2 ou n=3 ..etc ca marche tres bien. On généralise donc avec n plus grand ou egale à zero.

Si tu n'es pas convaincu reprend les equations avec n=2 et tu veras qu'il suffit de remplacer le n par un 2 et ca marche tres bien.

La on a généralisé. Ensuite si je veux passer à un systeme infini, je ferais tendre n à l'infini. donc si n tend vers l'infini...comme toute limite en mathématique, la limite ne dépendra plus de n.... (comme quoi on ne peut confondre généralisé et infini)

(Si cela dépendais encore de n, cela signifierais que l'on a fait un develloppement limité ou généralisé ...selon sur quoi on travail)

bref, ensuite on ne pourrait plus passer de l'infini à fini effectivement. Mais ce n'est pas le cas ici....

invitef16d06a2 · 26/08/2007, 12h01

je ne suis pas convaincu, les mahs c'est bien mais tu ne peux pas tout généralisé

invite5731219b · 26/08/2007, 12h30

Envoyé par mamono666

sinon, un petit lien: regarde 5.8 Chaîne d’oscillateurs p29
http://lpsc.in2p3.fr/theo/Richard/EN...VO/VO0607C.pdf

Intéressant, très intéressant...

Envoyé par labostyle

je ne suis pas convaincu, les mahs c'est bien mais tu ne peux pas tout généralisé

Pour le moment je pense qu'il vaut mieux laisser de côté la généralisation et rester dans le cas où n est fixé ce qui fonctionne très bien, la preuve : le document dont nous fait part mamono666.
Je m'explique : il suffit de regarder ce qu'on a en bas de la page 30, c'est-à-dire :

$\text{[math]}$ et
$\text{[math]}$ et
$\text{[math]}$

Ce sont les même solutions que celles que nous avons trouvées !!!

En effet, on avait les valeurs propres, qui sont en fait les pulsations propres du système, données par :

$\text{[math]}$

donc les pulsations propres du système seront données par :

$\text{[math]}$ ce sont les mêmes que celles données dans le document !!

De plus, on sait que les vecteurs propre ont l'expression suivante (même si on ne les a pas encore calculés) :

$\text{[math]}$ .

Donc après résolution du système que j'ai proposé ( $\text{[math]}$ ),
on sait que les solutions seront des combinaisons linaires de :

$\text{[math]}$

où les constantes $\text{[math]}$ sont à déterminer en fonction des conditions initiales.
(En passant, je précise que ça explique l'expression des vecteurs propres donnée dans le document précédent !).

Finalement, à part le calcul des vecteurs propres, nous avons déjà résolu le problème (en dimension finie bien sûr !!!).

Je vais essayer de calculer les vecteurs propres cet après midi.
Et je vais aussi essayer de voir si on peut faire tendre n vers l'infini sans que cela ne pose de problème(s)...

invitef16d06a2 · 26/08/2007, 12h45

cool le doc mamono

**mamono666** · 26/08/2007, 14h35

il y a confusion, fixé un n revient à généraliser.....

invite5731219b · 26/08/2007, 14h44

Oui, tu as raison, on le fixe seulement à la fin...

**mamono666** · 26/08/2007, 15h58

pour les vecteurs propres à priori on fait:

$\text{[math]}$

idem pour la seconde valeur propre, la troisième...la k-ième ...etc

on a alors le systeme: (je prend directement a = 2 et b = 1)

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

(Ce qui permet, par ailleurs, de déduire le k-ième vecteur: $\text{[math]}$ )

Finallement le vecteur X est de la forme:

Pour $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

donc le premier vecteur propre appartient au $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Pour $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

donc le k-ième vecteur propre appartient au $\text{[math]}$

C'est à dire que le k-ième vecteur propre à pour k+1-ième composante: $\text{[math]}$

C'est pour cela qu'il y a un j dans l'exercice que tu avais mis en lien. Ca correspondant à la j-ième composante dans le vecteur.

Bon ici je ne pousse pas le calcul, donc reste à vérifier que cela concorde avec l'exo.

Donc maintenant qu'on a tous les vecteurs propres, on peut déduire la matrice de passage:

$\text{[math]}$

**mamono666** · 26/08/2007, 16h00

Envoyé par SpintroniK

Oui, tu as raison, on le fixe seulement à la fin...

au lieu de dire: il y a deux ressorts.

on généralise et on dit il y en a n.

on le fixe au début.

invite5731219b · 26/08/2007, 16h40

Je crois qu'il y a un problème dès le départ :

Envoyé par mamono666

pour les vecteurs propres à priori on fait:

$\text{[math]}$

idem pour la seconde valeur propre, la troisième...la k-ième ...etc

on a alors le systeme: (je prend directement a = 2 et b = 1)

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

[...]

Lorsque tu écrit : $\text{[math]}$ je suis d'accord, mais ce n'est vrai que pour les deux premières composantes du vecteur, regarde la matrice...

Je pense que c'est plus simple, j'ai essayé ce qui suit, ça semble être bon mais j'aimerai quand même ton avis

:

Je prend le vecteur propre suivant :

$\text{[math]}$

En calculant $\text{[math]}$ on trouve la relation suivante :

$\text{[math]}$

c'est la même relation que pour $\text{[math]}$ donc on connait la solution qui est :

$\text{[math]}$

On a donc toutes les composantes (j) de tous les vecteurs $\text{[math]}$ associés aux valeurs propres $\text{[math]}$ .

Qu'en pensez-vous ?

**mamono666** · 26/08/2007, 17h32

oui, oui, c'est bien ca. Mon raisonnement est correcte, mais je suis allé trop vite et du coup je me suis trompé....

Et effectivement on se rappelant de la relation $\text{[math]}$ on retrouve directement ce que l'on cherche.

Il ne reste plus qu'a retouver le $\text{[math]}$

invite5731219b · 26/08/2007, 18h22

Je pense que l'erreur vient du changement de variable.
En effet, quand on pose le changement de variable, on le fait pour une valeur propre donnée $\text{[math]}$ et dans ce cas : $\text{[math]}$ .
Mais lorsqu'on calcule $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ , et ce n c'est le k de la valeur propre...
Donc je pense qu'en fait on aurait du calculer $\text{[math]}$ .
Et donc on trouve $\text{[math]}$ .
Et il faut aussi corriger l'expression des vecteurs propres en remplaçant n par n+1
(j'ai vérifié à la calculatrice ça fonctionne pour les vecteurs propres, par contre $\text{[math]}$ ne donne pas le bon résultat !!! étrange non ? on dirait une erreur, à vérifier...)

invite5731219b · 26/08/2007, 19h51

J'ai rien dit

...

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